Chuyên đề Nguyên lí đi ricle

Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú 
********************************************** 
CHUYÊN ĐỀ. NGUYÊN LÍ ĐI RICLE 
I. Mục tiêu 
 – Hiểu được nguyên lí Diricle thông qua các ví dụ cụ thể 
 – Áp dụng thành thạo nguyên lí Diricle vào việc giải các bài toán thực tế 
 – Rèn luyện tư duy suy luận logic 
II. Nội dung 
Tiết 1 
Nguyên lí: không thể nhốt 7 chú thỏ vào 3 cái lồng sao cho mỗi lồng không quá hai chú thỏ 
1. Sự trùng lặp 
Bài 1. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 
10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra 
là một số tự nhiên) 
Giải: Có 43 học sinh phân thành 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử trong 8 loại điểm đều là điểm của 
không quá 5 học sinh thì lớp học có 5 × 8 = 40 học sinh, ít hơn 3 học sinh. Theo nguyên lý Diricle 
tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau 
Bài 2. Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ 
44 học sinh trở lên 
Giải: Giả sử 23 lớp mỗi lớp có không quá 43 học sinh. Khi đó số học sinh là: 43 × 23 = 989 học 
sinh (ít hơn 1000 – 989 = 11 học sinh). Theo nguyên tắc Diricle phải có ít nhất một lớp có từ 44 học 
sinh trở lên 
Bài 3. Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau 
Giải: 50 học sinh là 50 “thỏ”. 12 tháng là 12 “lồng” 
Bài 4. Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu 3 bài 
tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu 1 số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài 
tập coi như thiếu 0 bài) 
Giải: Giả sử mỗi loại bài tập có 16 học sinh. Số học sinh không quá 16 × 3 = 48 (thiếu 2 học sinh). 
Do đó, theo nguyên tắc Diricle có ít nhất 17 học sinh thiếu một số bài tập như nhau 
Tiết 2 
Bài 5. Một lớp học có 34 học sinh, tổng số tuổi của các học sinh là 460. Có tồn tại 20 học sinh mà 
tổng số tuổi của họ lớn hơn 260 không? 
Giải: Có, giả sử 20 học sinh lớn tuổi nhất lớp có tổng số tuổi không quá 260 Þ tồn tại 1 học sinh 
trong số đó có tuổi không quá: 260 : 20 = 13 
 14 học sinh còn lại cũng không quá 13 tuổi nên tổng số tuổi của họ không quá 13 × 14 = 192 
 Suy ra, tổng số tuổi không quá: 260 + 192 = 452 < 460 (trái giả thiết) 
Vậy: phải tồn tại 20 học sinh mà tổng số tuổi của họ lớn hơn 260 
Bài 6. Bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D có tất cả 44 học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp 6D 
không quá 10 người. Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 lớp 6A, 6B, 6C có số học sinh giỏi từ 12 
em trở lên 
Giải: 3 lớp có 44 – 10 = 34 học sinh giỏi Þ có 34 “thỏ” mỗi “lồng” có 11 học sinh 
Bài 7. Chia 50 kẹo cho 10 em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào 
cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau 
Giải: Giả sử không ai có số kẹo bằng nhau, thế thì 10 em sẽ có số kẹo là 1, 2, ..., 10. Khi đó tổng số 
kẹo phải là: 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55 (thiếu 5 cái). Theo nguyên tắc Diricle thì tồn tại ít nhất có hai 
em có số kẹo như nhau 
Bài 8. Có 33 con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh 4m. Chứng minh rằng có ít nhất 3 
con đậu trong một đường tròn có bán kính 1m 
Giải: Chia hình vuông ra 16 hình vuông nhỏ cạnh 1m. Có 16 hình vuông chứa 33 con chim. Theo 
nguyên tắc Diricle có ít nhất 3 con chim đậu bên trong hoặc trên cạnh của nó. Vẽ đường tròn thì 
đường tròn chứa hoàn toàn hình vuông nhỏ 
Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú 
********************************************** 
Tiết 3 
2. Sự chia hết 
Bài 1. Cho 12 số tự nhiên khác nhau có 2 chữ số. Chứng minh rằng tồn tại 2 số có hiệu là một số có 
hai chữ số như nhau 
Giải: Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà chỉ có 11 số dư trong phép chia cho 11. Do đó tồn tại 2 số có 
cùng số dư trong phép chia cho 11, hiệu của chúng là một số chia hết cho 11. Đó là số có hai chữ số 
giống nhau 
Bài 2. Chứng minh rằng tồn tại một số là bội số của 17: 
 a) Gồm toàn chữ số 1 và 0 
 b) Gồm toàn chữ số 1 
Giải: a) Xét 18 số 1, 11, 111, ..., 
18
11.....1 . Có 18 số, mà trong phép chia cho 17 chỉ gồm 17 số dư (0, 
1, 2, 3, ...., 16) nên tồn tại hai số có cùng số dư. Giả sử hai số đó là  
m n
11...1;11...1 (0 ≤ n ≤ m ≤ 17). 
Hiệu của chúng bằng 
m n n
11...100...0
-
 chia hết cho 17 
Vậy: Tồn tại số gồm toàn chữ số 1 và 0 là bội số của 17 
 b) Theo câu a) thì tồn tại số:  
n
m n n m n
11...100...0 11...1 10 17
- -
= ´  . Mà (10n , 17) = 1 Þ 
m n
11...1 17
-
 
Chú ý: Tổng quát, trong câu a) có thể thay 17 bằng một số tự nhiên n bất kì, trong câu b) có thể 
thay 17 bằng một số tự nhiên n nguyên tố cùng nhau với 2 và 5 (tức là các số có tận cùng bằng 1; 
3; 7; 9) 
Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k tận cùng bằng 001 
Giải: Trong phép chia cho 1000 có 1000 số dư là 0, 1, 2, 3, ..., 999 
 Xét 1001 số 3, 32, 33, ..., 31001. Tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 1000, giả sử hai số 
đó là 3m và 3n (0 ≤ n ≤ m ≤ 1000) Þ 3m – 3n  1000 Û 3n(3m–n – 1)  1000 
 Vì (3n , 1000) = 1 Þ 3m–n – 1  1000. Tức là 3m–n có tận cùng là 001 
Bài 4. Viết 20 số tự nhiên vào 20 tấm bìa. Chứng minh rằng ta có thể chọn 1 hay nhiều tấm bìa để 
tổng các số trên đó chia hết cho 20 
 Xét 20 tổng: S1 = a1 
 S2 = a1 + a2 
 ........... 
 S3 = a1 + a2 + ... + a20 
 Nếu một trong các tổng trên chia hết cho 20. Bài toán đã giải xong 
 Nếu không tồn tại tổng nào chia hết cho 20. Xét 20 tổng trên khi chia cho 20, có 20 tổng mà chỉ 
có 19 số dư (1, 2, ..., 19). Suy ra có 2 tổng có cùng một số dư, giả sử hai tổng đó là Sm, Sn 
 Þ Sm – Sn = (a1 + a2 + ... + am) – (a1 + a2 + ... + an) = an+1 + an+2 + ... + am  20 
III. Hướng dẫn học ở nhà 
 Ôn tập các nội dung đã học 
********************************************************* 
Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú 
********************************************** 
CHUYÊN ĐỀ. NGUYÊN LÍ ĐI RICLE 
I. Mục tiêu 
 – Biết cách giải một số dạng toán có sự áp dụng của nguyên lí Diricle 
 – Áp dụng thành thạo nguyên lí Diricle vào việc giải các bài toán thực tế 
 – Rèn luyện tư duy suy luận logic 
II. Nội dung 
Tiết 1 
Bài 5. Anh Nam là một vận động viên chơi cờ, để luyện tập mỗi ngày anh chơi ít nhất một ván, để 
khỏi mệt mỗi tuần anh chơi không quá 20 ván. Chứng minh rằng tồn tại một số ngày liên tiếp trong 
đó có anh chơi đúng 20 ván 
Giải: Gọi số ván cờ mà anh Nam chơi ngày thứ nhất, thứ hai, ... thứ 20 là a1, a2, ..., a20 
 Xét 20 tổng: S1 = a1 
 S2 = a1 + a2 
 ............ 
 S20 = a1 + a2 + ... + a20 
 Ta có: S1 < S2 < ... < S20 < 36 (vì trong 20 ngày anh Nam chơi ít hơn 12×3 = 36 ván) 
 Theo bài 4, thì Sk  20 hoặc Sm – Sn  20 (1 ≤ k ≤ 20, 1 ≤ n ≤ m ≤ 20). Giá trị này bằng 20 
– Nếu Sk = 20 tức là: a1 + a2 + ... + ak = 20 
– Nếu Sm – Sn  20 thì: an+1 + an+2 + ... + am = 20 
Bài 6. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 23 gồm toàn chữ số 4 
Giải: Xét 23 số 4, 44, 444, ... , 
24
44...4 . Có 23 số có số dư khi chia cho 23 có 23 số dư (0, 1, 2, ..., 22) 
 – Nếu có số dư bằng 0, bài toán giải xong 
 – Nếu không có số dư nào bằng 0 thì 23 số có 22 số dư (1, 2, ..., 22) nên tồn tại ít nhất hai số có 
cùng một số dư Þ có hiệu chia hết cho 23. Giả sử hai số đó là: 
   
m n m n n
44...4 44...4 44...400...0 23
-
- =  
 Mà (10n, 23) = 1 nên: 
m n
44...4 23
-
 
Bài 7. Tồn tại một bội số của 17 tận cùng bằng 219 
Giải: Xét 18 số 219, 219219, ..., 
'18 sô 219
219219...219 . Có 18 số mà số dư của phép chia cho 17 có 17 số 
dư 0, 1, 2, ..., 16. Tồn tại ít nhất hai số có cùng một số dư: 
 3n
' ' ' ' 'm sô 219 n sô 219 m n sô 219 n sô 000 m n sô 219
219219...219 219219...219 219219...219000000...000 219219...219 10 17
- -
- = = ´     
 Mà (10n , 17) = 1. Suy ra: 
'm n sô 219
219219...219 17
-
 
Bài 8. Cho ba số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng: 
 a) Tồn tại ít nhất hai số có hiệu chia hết cho 2 
 b) Tồn tại hai số có tổng chia hết cho 2 
Tiết 2 
Bài 9. Cho 5 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng: 
 a) Tồn tại hai số có hiệu chia hết co 4 
 b) Tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 
Giải: b) Có 5 số tự nhiên bất kì, có ba số dư là 0, 1, 2 khi chia cho 3. 
 – Nếu 3 số có cùng số dư thì tổng chia hết cho 3 
Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú 
********************************************** 
 – Nếu không có 3 số nào có cùng số dư (tức là có 3 số dư khác nhau là 0, 1, 2) thì tổng của 
chúng có số dư là 0 + 1 + 2  3 
Bài 10. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng trong ba số đó tồn tại hai số mà tổng hoặc 
hiệu của chúng chia hết cho 12 
Giải: Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 có số dư 1, 5, 7, 11 
 Xếp 3 số nguyên tố đã cho vào hai nhóm: 
 – Nhóm I gồm các số có số dư 1 hoặc 11 
 – Nhóm II gồm các số có số dư 5 hoặc 7 
 Nếu hai số có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 12 
 Nếu hai số này có số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 12 
3. Sự tương hỗ 
Bài 1. Chứng minh rằng trong 10 người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau 
Giải: Xét 10 “lồng”: 
 – Lồng “0” chứa những người có 0 người quen 
 – Lồng “1” chứa những người có 1 người quen 
 ....................... 
 – Lồng “9” chứa những người có 9 người quen 
Chú ý: “lồng” 0 và “lồng” 9 không thể đồng thời chứa người, vì nếu lồng 0 tồn tại (không quen 
những người khác) thì lồng 9 không thể tồn tại 
 Thực tế chỉ có 9 lồng lại có 10 người nên theo nguyên lý Diricle tồn tại ít nhất một “lồng” chứa 2 
chứa 2 người trở lên. Đó là 2 người có số người quen như nhau 
Bài 2. Có 5 đấu thủ thi cờ, mỗi người đấu 1 trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt 
thời gian thi đấu luôn tồn tại 2 đấu thủ có số trận đấu bằng nhau 
Giải: Xét 5 “lồng” 0, 1, 2, 3, 4 thứ tự chứa các đấu thủ đã đấu 0, 1, 2, 3 trận (chú ý là lồng 0 và lồng 
4 không thể cùng một lúc tồn tại). Như vậy chỉ có 4 “lồng” mà có 5 người nên tồn tại ít nhất 2 đấu 
thủ có số trận đã đấu bằng nhau 
Chú ý: Bài 1 và bài 2 cũng đúng nếu thay 10 (hay 5) bởi một số tự nhiên n bất kì lớn hơn 1 
4. Sự sắp xếp 
Bài 1. Cho một bảng vuông 4 × 4 trên 16 ô của bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ 1 đến 16. Chứng minh 
rằng tồn tại hai ô kề nhau (tức là hai ô có cạnh chung sao cho hiệu các số ở hai ô đó lớn hơn hoặc 
bằng 3 
Giải: Giả sử tất cả các bước chuyển đều nhỏ hơn hoặc bằng 2. Thế thì từ số 1 qua không 
quá 6 bước chuyển tăng thêm không quá 12 (không đạt đến 16) 
Vậy: tồn tại hai ô kề nhau có hiệu các số có ở hai ô đó lớn hơn hoặc bằng 3 
Bài 2. Viết 16 số mỗi số có giá trị bất kì là 1, 2, 3, 4. Ghép thành từng cặp hai số được 8 cặp số. 
Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số mà tổng các số trong hai cặp đó bằng nhau 
Giải: Tổng hai số mỗi cặp trong 8 cặp số có giá trị nhỏ nhất là 1 + 1 = 2, có giá trị lớn nhất là 4 + 4 
= 8. Như vậy: 8 tổng đó nhận 7 giá trị (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) nên tồn tại ít nhất hai cặp có tổng bằng 
nhau 
Bài 3. Cho 64 ô vuông xếp thành một hàng ngang. Viết vào mỗi ô một số bất kì từ 1 đến 16. Ghép 
thành từng cặp hai ô đầu và cuối, các ô cách đều 2 ô đầu và cuối. Chứng minh rằng tồn tại hai cặp 
có tổng các số ở 2 ô trong mỗi cặp bằng nhau 
Giải: Tổng hai số mỗi cặp trong 32 cặp số có giá trị nhỏ nhất là 1 + 1 = 2 và giá trị lớn nhất là 16 + 
16 = 32. Như vậy 32 tổng nhận 31 giá trị (2, 3, ..., 32) nên tồn tại ít nhất hai tổng bằng nhau. Tức là 
hai cặp có tổng bằng nhau 
III. Hướng dẫn học ở nhà 
 Ôn tập các nội dung đã học 
***************************************************