Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân (phần 1)

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM 
1. Khái niệm nguyên hàm
	· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
	, "x Ỵ K
	· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
	, C Ỵ R.
	· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
	· 	· 	
	· 
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
· 	
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
4. Phương pháp tính nguyên hàm
	a) Phương pháp đổi biến số
	Nếu và có đạo hàm liên tục thì:
	b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
	Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
	Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
	Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
	– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
	– Nắm vững phép tính vi phân.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
	a) 	
	b) 
	c) 
Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 
	h) 
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: 	f(x) = thì ta đặt .
	Khi đó:	 = ,	 trong đó dễ dàng tìm được.
	Chú ý: Sau khi tính theo t, ta phải thay lại t = u(x).
· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
hoặc	
hoặc	
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
	q) 	r) 	s) 	
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
	Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
P(x)
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 	
	q) 	r) 	s) 	
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
	Bước 1: Tìm hàm g(x).
	Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
	Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra là nguyên hàm của f(x).
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: 
	– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
	– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
	Chẳng hạn:	
2. f(x) là hàm vô tỉ 
	+ f(x) = 	 ® đặt	
	+ f(x) = 	® đặt 	
	· f(x) là hàm lượng giác
	Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
	+ ,	
	+ ,	
	+ , 	
	+ Nếu thì đặt t = cosx
	+ Nếu thì đặt t = sinx
	+ Nếu thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m)