Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân - GV: Đỗ Bá Thành

Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 1
Phần I: Mở đầu 
I/Đặt vấn đề. 
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán 
tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì 
nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của 
tích phân. 
Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh hiểu sâu hơn và tránh 
được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài toán về tích phân. 
II/ Phương pháp 
- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải. 
- Bài tập ứng với từng dạng toán, và chỉ ra những lỗi thường mắc phải của học sinh. 
Phần II: Nội dung 
I/ cơ sở khoa học 
1/Nguyên hàm: 
Đn: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số 
f(x) trên K nếu F’(x) =f(x) với mọi x thuộc K. 
Kí hiệu: 
( ) ( )f x dx F x C= +∫ 
Nhận xét: khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay 
bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên nhớ rằng : “ để tính ( )f x dx∫ ta cần 
tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)” 
T/c: các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 
a) ( ( ) ) ' ( )f x dx f x=∫ 
b) ( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫ 
c) [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
2. Tích phân: 
ĐN: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz 
( ) ( ) ( ) ( )
bb
a a
f x d x F x F b F a= = −∫ 
T/c: 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 2
Tính chất 1: ( ) ( )
b a
a b
f x d x f x d x= −∫ ∫ 
Tính chất 2: ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫ với k thuộc R 
Tính chất 3: [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
Tính chất 4: ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
A) các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân. 
Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào. Do vậy mà ở 
đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đườn lối. Nó được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm 
hợp và đạo hàm của hai hàm. 
Đó là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, 
phương pháp tính Tích phân từng phần. 
I/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản: 
 Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được 
các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân. 
1. kdx kx C= +∫ 
 2. 
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+∫
 ( ( , 1)Rα α∈ ≠ − 
 3. lndx x C
x
= +∫ 
4. 
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ 
5. x xe dx e C= +∫ 
6. 2 arctanx+C1
dx
x
=
+∫
 ( hoặc có thế đặt x= tant/2) 
7. 
2
arcsinx+C 
1
dx
x
=
−
∫ ( hoặc có thể đặt x= sint) 
8. s inx dx= - cosx + C∫ 
9. cosx dx= sinx + C∫ 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 3
Bài tập 1: Tính các tích phân sau 
a) I=
2
3
1
( 2 1)x x dx+ +∫ b) I= 
1
3 1
1
3
xe dx+
−
∫
Giải: 
a) I = ( )4 2 21 1 31 2 2 1 1 24 4 4x x x   + + = + + − + + = +      
b) I= 
3 1
1 4 0
1
3
1 ( )
3 3
xe
e e
+
−
 
= − 
 
Bài tập 2: Tính tích phân sau 
 I = ∫
−
+
2
2
2)1(x
dx
Giải 
Hàm số y = 2)1(
1
+x
 không xác định tại x= -1 [ ]2;2−∈ suy ra hàm số không liên tục trên 
[ ]2;2− do đó tích phân trên không tồn tại. 
* chú y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: I = ∫
−
+
2
2
2)1(x
dx
 = ∫
−
+
+2
2
2)1(
)1(
x
xd
 =-
1
1
+x
2
2− =- 3
1
-1 = -
3
4
* Nguyên nhân sai lầm : 
Hàm số y = 2)1(
1
+x
 không xác định tại x= -1 [ ]2;2−∈ suy ra hàm số không liên tục trên 
[ ]2;2− nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. 
* Chú ý đối với học sinh: 
Khi tính dxxf
b
a
)(∫ cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên [ ]ba; không? nếu có thì áp 
dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích 
phân này không tồn tại. 
* Một số bài tập tương tự: 
Tính các tích phân sau: 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 4
1/ ∫
−
5
0
4)4(x
dx
. 
2/ dxxx 2
13
2
2 )1( −∫
−
. 
3/ dx
x
∫
2
0
4cos
1
pi
4/ dx
x
xex x
∫
−
+−1
1
3
23
.
Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó. Các bạn thường phải áp dụng phương 
pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau ( ) p(x)x, x( )( ) (x-a)(x-b)(x-c)
p x d d
x a x b− −∫ ∫
 trong 
đó P(x) là đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu. Khi đó ta phải thiết lập các hệ 
phương trình để đi tìm A,B,C như sau: ( ) Ax = x( )( )
p x Bd d
x a x b x a x b
 
+ 
− − − − 
∫ ∫ 
( ) A
x = x( )( )( )
p x B Cd d
x a x b x c x a x b x c
 
+ + 
− − − − − − 
∫ ∫ 
II/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: 
 Giả sử ta cần phải tìm ( )f u du∫ . Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u 
như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm ( )f u du∫ đưa về việc tìm 
( ( )) '( )f u x u x dx∫ một cách đơn giản hơn. 
 Bài 1: Tính tích phân: 
 I = 
3
5 2
0
1x x dx+∫ 
Giải: 
 Đặt t = 2 2 21 1 2 2x t x tdt xdx+ ⇔ = + ⇒ = 
 Đổi cận: 
1
3 2
x o t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 5
3 2
4 2 2 2 2
0 1
7 5 3
2
1
1 . ( 1)
2 848
7 5 3 105
x x xdx t t dt
t t t
+ = −
 
= − + = 
 
∫ ∫
Bài 2 :Tính tích phân: I = ∫ +
pi
0 sin1 x
dx
* Giải: 
I = ∫ +
pi
0 sin1 x
dx
 = ∫∫ 





−=






−






−
=






−+
pi
pi
pi pi
pi
pi
pi 0
0
20 42
42
cos
42
2
cos1
x
tg
x
xd
x
dx
= tg 2
44
=




 −
−
pipi
tg 
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
 thì dx = 21
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
= 2
2
)1(
1
t
t
+
+
⇒ ∫ + x
dx
sin1
= ∫ + 2)1(
2
t
dt
= ∫
−+ 2)1(2 t d(t+1) = 
1
2
+t
 + c 
⇒ I = ∫ +
pi
0 sin1 x
dx
 = 
2
tan 1
2
x
−
+
pi
0 = 
2
tan 1
2
pi
−
+
- 
2
tan 0 1+
do tan
2
pi không xác định nên tích phân trên không tồn tại 
*Nguyên nhân sai lầm: 
Đặt t = tan
2
x
 x [ ]pi;0∈ tại x = pi thì tan
2
x
 không có nghĩa. 
. 
* Chú ý đối với học sinh: 
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có 
đạo hàm liên tục trên [ ]ba; . 
*Một số bài tập tương tự: 
 Tính các tích phân sau: 
1/ ∫
pi
0 sin x
dx
2/ ∫ +
pi
0 cos1 x
dx
Bài 3: Tính 
2
dx
x a−
∫ 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 6
Giải: 
Đặt 
2
2
dt dx
t x x a
t x a
= + − ⇒ =
−
2
lndx dt t C
tx a
⇒ = = +
−
∫ ∫ 
Bài 4: Tính I = ∫ +−
4
0
2 96xx dx 
* Sai lầm thường gặp: 
I = ∫ +−
4
0
2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) 4
2
9
2
1
2
3333 40
4
0
24
0
2
−=−=
−
=−−=− ∫∫
x
xdxdxx 
* Nguyên nhân sai lầm: 
Phép biến đổi ( ) 33 2 −=− xx với x [ ]4;0∈ là không tương đương. 
* Lời giải đúng: 
I = ∫ +−
4
0
2 96xx dx 
 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ −−+−−−=−−=−
3
0
4
3
4
0
4
0
2 3333333 xdxxdxxdxdxx 
 = -
( ) ( ) 5
2
1
2
9
2
3
2
3 4
3
2
3
0
2
=+=
−
+
− xx
* Chú ý đối với học sinh: 
( )( ) ( )xfxfn n =2 2 ( )Nnn ∈≥ ,1 
I = ( )( ) =∫
b
a
n nxf2 2 ( )dxxf
b
a
∫ ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ ]ba; rồi dùng tính chất tích phân 
tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Một số bài tập tương tự: 
1/ I = ∫ −
pi
0
2sin1 x dx ; 
 2/ I = ∫ +−
3
0
23 2 xxx dx 
3/ I = ∫ 





−+
2
2
1
2
2 21
x
x dx 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 7
4/ I = ∫ −+
3
6
22 2cot
pi
pi
xgxtg dx 
Bài 4: Tính I = ∫
−
++
0
1
2 22xx
dx
* Sai lầm thường gặp: 
I = ( )( ) ( )
0
0
12
1
1
arctan 1 arctan1 arctan 0
41 1
d x
x
x
pi
−
−
+
= + = − =
+ +
∫ 
* Nguyên nhân sai lầm : 
Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào 
chương trình thpt. 
* Lời giải đúng: 
Đặt x+1 = tant ( )21 tandx t dt⇒ = + 
với x=-1 thì t = 0 
với x = 0 thì t = 
4
pi
Khi đó I = 
( )24 4
4
0
0 0
1 tan
tan 1 4
t dt
dt t
t
pi pi
pi pi+
= = =
+∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh: 
Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc 
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết 
theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này 
không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì 
vậy khi gặp tích phân dạng ∫ +
b
a
dx
x 21
1
 ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t 
= cotx 
 ∫
−
b
a
dx
x 21
1
 thì đặt x = sint hoặc x = cost 
*Một số bài tập tương tự: 
1/ I = ∫
−
8
4
2 16 dx
x
x
2/ I = dx
x
xx
∫ +
++1
0
2
3
1
322
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 8
3/ I = ∫
−
3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài 5: 
Tính :I = ∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt 
∫ ∫=
−
dt
t
tdx
x
x
cos
sin
1
3
2
3
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 
với x= 
4
1
 thì t = ? 
* Nguyên nhân sai lầm: 
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 21 x− thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích 
phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 
4
1
 không tìm được chính xác t = ? 
* Lời giải đúng: 
Đặt t = 21 x− ⇒dt = xdxtdtdx
x
x
=⇒
−
21
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 
4
1
 thì t = 
4
15
 I = ∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
 =
( ) ( )∫ ∫ −=−






−=





−=−=
−
4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
11 ttdtt
t
tdtt
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 21 x− thì thường đặt x = 
sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận 
của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo 
phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. 
*Một số bài tập tương tự: 
1/ tính I = dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 9
2/tính I = ∫
+
2
1
2 1xx
dx
Bài 6: Tính I = ∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1 dx
x
x
* Sai lầm thường mắc: I = ∫ ∫
− −
−





+






−
=
+
−1
1
1
1
2
2
2
2
2
21
11
1
11
dx
x
x
x
x
x
x
Đặt t = x+ dx
x
dt
x






−=⇒ 2
111 
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; 
I = ∫
−
−
2
2
2 2t
dt
= dt
tt
)
2
1
2
1(
2
2 −
−
+
∫
−
=(ln 2+t -ln 2−t ) 2222 2
2ln
−−
−
+
=
t
t
 = ln 
22
22ln2
22
22ln
22
22
−
+
=
−−
+−
−
−
+
* Nguyên nhân sai lầm: 
2
2
2
4
2
1
11
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
 là sai vì trong [ ]1;1− chứa x = 0 nên không thể 
chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x=0 không 
thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời. 
* Lời giải đúng: 
Xét hàm số F(x) = 
12
12ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx
 ( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) 
 F’(x) = 
1
1)
12
12(ln
22
1
4
2
2
2
+
−
=′
++
+−
x
x
xx
xx
Do đó I = ∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1 dx
x
x
= 
12
12ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx ln
2
11
1 =− 22
22
+
−
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để 
ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 10 
BÀI TẬP ĐỀ NGHI 
1) a)Tính 2x adx+∫ ( tính đạo hàm của hàm số f(x)= 2x x a+ ) 
2) ( )1 33 4
0
1x x d x+∫ ( đặt 2 1t x= + ) 
3) 2
0
sin
1 os
x x dx
c x
pi
+∫ ( đặt x= tpi − ) 
4) 
2 2
4
1
1 x dx
x
+
∫ ( đặt t = 
1
x
) 
5) 2 2
0
a
a x dx−∫ 
6) 2 2a x dx+∫ 
7) 
4
2
0 tan
dx
x
pi
∫ ( đặt t=tan x) 
8) 
4
2
0
1 sin 2
os
x dx
c x
pi
+
∫ ( đặt t= 1+sin2x ) 
III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; 
 Từ đẳng thức (uv)’=uv’+u’v 
Ta có: ' 'uv dx uv u vdx= −∫ ∫ đó là công thức tính tích phân từng phần 
Để tính tích phân ( )
b
a
I f x dx= ∫ ta thực hiện các bước như sau: 
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng 
 1 2( ) ( ) ( )
b b
a a
I f x dx f x f x dx= =∫ ∫ 
Bước 2: đặt 
1
2
u = f ( ) u '
v '= f ( ) v{ {xx ⇒
Bước 3: Khi đó 
'
b
b
a
a
I uv u vdx= −∫
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 11 
Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân 
thủ theo các nguyên tắc sau : 
1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng. 
2. Tích phân '
b
a
vu dx∫ được xác định một cách dễ dàng hơn so với I 
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau : 
 Dạng 1 : 
lnx dx,I xα= ∫ khi đó cần đặt u= lnx 
Dạng 2: 
( ) xI p x e dxα= ∫ với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x) 
Dạng 3: ( )sinI p x xdxα= ∫ (hoặc ( ) osI p x c xdxα= ∫ ) Với P(x) là một đa thức và khi đó 
ta đặt u=P(x) 
Dạng 4: ax osI e c xdxα= ∫ (hoặc ax sinI e xdxα= ∫ ) Khi đó đặt u= cos ax (hoặc u= sin 
ax) 
Bài 1: a) Tìm 3lnx dxx∫ 
 b)Tìm 2 s inxdxx∫ 
Giải: 
a) đặt u= lnx, u’=1/x 
 v’=
4
3
,
4
x
x v = 
Khi đó ta có 
4 4
3 4ln 1 ln
4 4 4
x x x xI x dx x C= − = − +∫ 
 b)Đặt 
2
, ' 2
' s inx, v=-cosx
u x u x
v
= =
=
Khi đó : 
2 2
2
osx-2 xcosxdx osx+2(xsinx- sinxdx)
osx+2(xsinx+cosx) +C
I x c x c
x c
= − = −
= −
∫ ∫
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 12 
Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như 
ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân 
từng phần nếu như gặp khó khăn. C ó những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng 
tích phân từng phần nhiều lần. Chú y bài toán sau 
Bài 2: Tính 
2
2
0
os3xdxxe c
pi
∫ 
Giải: 
Đặt 
2 x 2 x
, ' 2 eu e u= =
 v = cos 3x, v’= sin 3x
3
222 x 2 x
1
0 0
sin 3x 2 2
sin 3x dx=
3 3 3 3
eI e e I
pipi
pi
 
= − − −  
∫ 
Tính 1I Đặt 2x 2x' 2eu e u= ⇒ = 
-cos3x
sin 3x, v'= 
3
v =
2 222 x 2 x 2 x
1
00 0
o s 3 x 2
s i n 3 x d x o s 3 x d x
3 3
pi pipi
 
= = − +  ∫ ∫
cI e e e c
1
3
I= +
Do đó: 
2 1 2 4
3 3 3 3 9 9
3e 2
13
e eI I I
I
pi pi
pi
 
= − − + = − − − 
 
+
⇒ = −
Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn. 
Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính 
chất lặp đi lặp lại. 
Bài tập tương tự: a)Tính
2
1
sin(ln x)dx∫ 
 b)Tính 2x
0
sin 2xdxe
pi
∫ 
Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 
 13 
Bài 3: Tính 
2
4
0
sin xxd
pi
∫ 
 Giải: 
Đặt 
2
2
, 2 dt=dx
x=o t=o
x=
4 2
t x x t t
t
pi pi
= → =
⇒
⇒ =
Khi đó ta có: 
2
4 2
0 0
sin x 2 sintdtxd t
pi pi
=∫ ∫ 
Đặt: u = t, u’=1 
 v = sint, v’= -cos t 
 khi đó : 
2 2
2 2
o 0
0 0
sin t d t= -tcost ost d t sin 1t c t
pi pi
pi pi
+ = =∫ ∫ 
Bài tập đề nghị : Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau 
a)
12
x
0 0
( 1)s inx dx b) (x+1)e xx d
pi
+∫ ∫ 
c) 
22
2 5
0 1
osx sin dx d) x ln xdxxc x
pi
∫ ∫ 
e)
1
2
0
x (1 )
xxe d
x+∫
 ( đặt ẩn số phụ t=1+x sau đó lại tiếp tục chuyển về tích phân từng phần) 
Phần III : TỔNG KẾT 
 Qua chuyên đề này tôi muốn gủi đến các thầy cô, cũng như các em học sinh một hệ thống 
lí thuyết về nguyên hàm và tích phân. Trong chuyên đề này tôi không đưa ra những bài quá 
khó, vì thực tế với đối tượng học sinh của chúng ta thì không cần phải mang tích chất đánh 
đố. Mục đích của chuyên đề là nêu ra các phương pháp có tính chât đường lối, và chỉ ra 
một số sai lầm thường gặp. Ngoài ra các bạn có thể tìm hiểu một số phương pháp như là PP 
hệ số bất định, Phương pháp lặp lại hàm. 
Rất mong sự góp ý !