Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA
Dạng 1 : Phương trình 
Dạng 2: Phương trình Tổng quát: 
Dạng 3: Phương trình 
 (chuyển về dạng 2)
 +) (1)
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : (2)
Dạng 4: 
Dạng 5: > g(x) Û Dạng 6: < g(x) Û 
Dạng 7: Dạng 8: 
Dạng 9: Dạng 10: 
Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1).
Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
13) 	14) 	15) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1 . - x + 2 > 0 .
2 . ³ 1 - x 
3 . Cho BPT ³ m - x 
 +. Giải khi m = 12. + Giải và biện luận.
4 - ĐHHải phòng 97: 
5 - ĐH Tài chính kế toán 97: < 1
+ Nếu x < 1 Thì BPT Û < 1 - x 
+ Nếu x > 1 Thì BPT Û > 1 - x 
6 - ĐH Xây dựng 97: < 2 
7 - ĐHQGia (D) 97: = 8x - 23 
8 - ĐHQGia (G) 97:> x + 1 
9 - 
10 - ĐH Kiến trúc 90: 
+ < 
11 - ĐLuật. 98: ³ 1 - x. 
12 - ĐH Mở 96: > x - 1 
13 - 12.II.1: - > 1
14 - 113.III.1: + < 
15 - 48.III.2: > x - 
2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Các phương trình có dạng :
 * , đặt 
 * , đặt 
 * đặt 
 * 	Đặt 
 Đặt t= 
Chú ý:
 * Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại 
Bài 1. Giải các phương trình sau:	7) 
1) 	2) 3) 
4) 5) 6) 
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
 a) 	b) 
Bài 3. Cho phương trình: 
a. Giải phương trình khi m = 12	b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4. Cho phương trình: (Đ3)
a. Giải phương trình với m = -3	b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) (QGHN-HVNH’00) 	b) - 2
c) (AN’01) 	d) 
e) (Đ36)	g) (TN- KA, B ‘01) 
h) i) (KTQS‘01)
Bài 6. Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998)
a. Giải phương trình khi a = 3.	b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 7. Giải các bất phương trình sau:
1. CĐSPQNinh (D) 97: x2 + > 31 2. ĐHMỹ thuật CN 97 (135.III.1): + x2 + 2x ³ 7
3. 5+ < 2x + + 5 4. ++ 2 £ 181 - 14x.
5. + < 35 - 2x. 6. x3 + 1 = 2. 
Dạng 2: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: Đặt , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rút thay vào thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau
1) 	2) 	3) 
4) 	 5) 5)
3. ĐƯA VỀ “HỆ TẠM”
a) Phương pháp 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đó ta có hệ: 
b) Ví dụ 
Bài 1. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 2. Giải phương trình : 
Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	 5) 	 6) 
7)
8)
9) 
4. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ .
Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ đối xứng loại một.
Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v 
Bài 1. Giải phương trình: 
Đặt 
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là 
Bài 2. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trình sau: 
Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:
Vậy 
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt .
Khi đó ta được hệ phương trình: 
Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 
 (ĐHTCKTHN - 2001)
 (ĐHDL HP’01)
 (Đ12)

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
I/ Dạng 1: Giải phương trình.
	1/ (Dự bị 2 khối D 2006) : , .
	2/ (Dự bị 1 khối B 2006) : ,.
	3/ (Dự bị 1 khối B 2005) : .
	4/ ( ĐH KD-2005) ;
	5/ ( ĐH KD-2006) : ,
	6/ ;	7/ 
	8/ ;	9/ 	
	10/ ;	11/ .
	12/.
II/ Dạng 2: 
 Bài 1: Giải bất phương trình.
1/ (Dự bị 2 khối B 2005) : ;	
2/ (Dự bị 1 khối D 2005) : ;
3/ ( ĐH KD - 02) ;
4/ ( ĐH KA-05) ;
5/ ( KA-04) 
6/ (KA-2005)
 7/ ( ĐH KA-2010): 
8/ (x-3)	
 9/
Bài 2: Giải các bất phương trình sau 
1/ 	
2/ 
3/ 	
4/ 	
5/ 	
6/ (x+1)(x+4)	
7/ 
8 8/ 
III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm .
	Thông thường ở dạng này ta sử dụng một trong các phương pháp sau:
	* PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số.
	* PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số.
	1/ (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: có nghiệm.
	2/ (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : 
	có nghiệm .
	3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực . 
	4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị của mọi m, phương trình có 2 
	nghiệm thực phân biệt .
	5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình ,
	có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 
	6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có đúng một nghiệm :.
	7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 
	 .
	8/ ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: có 2 nghiệm thực phân biệt
Chuyên đề: hÖ ph­¬ng tr×nh
I. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
	 Ví duï : Giaûi caùc heä: 
a) b) 
 Caùch giaûi: Giaûi baèng pheùp theá
2. Heä phöông trình ñoái xöùng :
2.1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.
b.Caùch giaûi:
Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn .
Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : 
	 ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä 
AÙp duïng:
Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau : 
 1) 2) 
 3) 4) 
Ví duï2 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: 
2.2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau 
 thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.
b. Caùch giaûi:
Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .
AÙp duïng:
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 6) 7) 
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:
 a. Daïng : 
 b. Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï hoaëc . Giaû söû ta choïn caùch ñaët . 
 Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?
Böôùc 2: Vôùi y0 ta ñaët x = ty. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông trình ta khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y.
AÙp duïng:
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
1) 2) 
IV. Caùc heä phöông trình khaùc:
 Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau:
a. Ñaët aån phuï:
 Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình : 
 1) 2) 
b. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá:
 Ví duï: Giaûi heä phöông trình : 
Bài tập đề nghị
Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :
1, 	2,
3,	4,
5,	6,
7,	8,
9,	10,
11,
12,	13,
 phuong trinh nam tren chuyen ve y(xy+1)=6x2:::binh phuong hai ve ====OK
chuyen ve dang cap voi t=x/y
14, 15,
16, 	 17,
18,chuyen ve x3+5x=y3+5y19,chuyen ve (x-y)(1+3(x+y)/x2y2)=0, suy ra rang truong hop 1+3(x+y)/x2y2=0 la khong the , do khi do -x2y2=3(x+y)=(1/x2 + 1/y2).
20,binh phuong hai ve len.21,
22,	23,nhan phuong trinh duoi voi 19x, phuong trinh tren voi 6, cong hai phuong trinh lai thu duoc phuong trinh tich (xy+1)(2xy+3)(3xy+2)=0.
24,	25,nhan phuong trinh tren cho 10y, nhan phuong trinh duoi cho 3x, cho 2 ve = ve , suy ra he dang cap, suy ra loi giai.