Chuyên đề: Khảo sát về hàm số và các bài toán liên quan

KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ
 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. LÝ THUYẾT.
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Tính đơn điệu của hàm số: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b).
Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b).
Nếu f’(x)< 0 với mọi x (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b).
2. Cực trị: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ điểm x0).
Hàm số đạt cực trị tại x0 nếu và chỉ nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0.
x
x0 - h
x0
x0 + h
f’(x)
+
0
-
f(x)
CĐ
x
x0 - h
x0
x0 + h
f’(x)
-
0
+
f(x)
CT
3. Tiệm cận: Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), ta có:
*):TCN: Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:	
*) TCĐ: Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:	.
*) TCX: Đường thẳng y = ax +b là tiệm cận xiên của (C) nếu điều kiện sau được thỏa mãn	.
4. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1) Tìm TXĐ của hàm số và xét các tính chất: tính chãn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).
2) Xét sự biến thiên của hàm số:
Tính đạo hàm, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số.
Tìm các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên.
3) Vẽ đồ thị.
Xác định một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị.
Vẽ đồ thị.
5. GTLN, GTNN của hàm số liên tục.
 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
	Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu M=maxf(x) )
	Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên (a,b)
Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm x1,x2, ..., xn [a,b] mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Chú ý:
Có thể sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, khoảng.
Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó. Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có GTLN, GTNN.
II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
6. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2). Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm phân biệt của phương trình f(x) = g(x) và ngược lại.
7. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đồ thị (C) và x0 (a; b). Nếu tồn tại đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 thì tiếp tuyến với (C) tại M0(x0; f(x0)) có phương trình là y - f(x0) = f’(x0)(x - x0).
B. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN.
I. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Thực hiện theo các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx +d (a ≠ 0).
Các dạng của đồ thị hàm số bậc 3
a > 0
a < 0
Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép
Phương trình y’ = 0 vô nghiệm
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = - x3 + 3x2 -2 ;
Hướng dẫn:
*)TXĐ: D = R
*) Sự biến thiên:
 +) Chiều biến thiên: y’ = -3x2 + 6x
y’ = 0 -3x2 + 6x 
y’ > 0 khi nên hàm số đồng biến trên 
y’ < 0 khi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng: .
 +) Cực trị, điểm uốn:
 - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 yct = y(0) = -2
 - Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ycđ = y(2) = 2
 - Ta có y’’ = -6x + 6, y’’ = 0 khi x = 1 và y’’ đổi dấu khi x qua x = 1 do đó đồ thi hàm số có một điểm uốn I(1;0)
 +) Giới hạn: 	
Bảng biến thiên 
x
-
0
2
+
y’
-
+
-
y
+
-2
2
-
*)Đồ thị
Một số điểm đặc biệt
x = -1 y = 2 A(-1; 2)
x = 1 y = 0 B(1; 0)
x = 3 y = -2 C(3; -2)
Bài tập tự làm
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x3 – 6x2 + 9x;	
b) y = - x3 + 3x2 ; 	
c) y = 2x3 + 3x2 – 1;	
d) y = -x3 + 3x2 - 9x +1.
2. Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0).
Các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương
a > 0
a < 0
Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình y’ = 0 có một nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2 + 1
Hướng dẫn:
 *) TXĐ: D = R
 *) Sự biến thiên: 
 +) Chiều biến thiên: Ta có y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 x = 0; x = -1; x = 1
y’ > 0 khi do đó hàm số đồng biến trên các khoảng và ( 1; )
y’ < 0 khi do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng () và (0;1)
 +) Cực trị, điểm uốn: Hàm số đat gtct tai x = => yct = y(-1) = y(1) = 0
 Hàm số đạt gtcđ tại x = 0 => ycđ = y(0) =1
 Ta có y’’ = 12x – 4, y’’ = 0 đồ thi có 2 điểm uốn I1(), I1
 +) Giới hạn: 
 +) Bảng biến thiên
x
- -1 0 1 +
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
+ 1 +
 0 0 
Đồ thị
Bài tập tự làm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 1	
b) y = -x4 + 3x2 + 4;	
c) y = x4 - 3x2 + 4;
d/ y = x4 – 2x2 – 1 	
3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (ad - bc ≠ 0, c ≠ 0 ).
Các dạng đồ thị
D = ad - bc > 0
D = ad - bc < 0
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a/ y = 	b/ y = 
Hướng dẫn: Đồ thị của các hàm số như sau
a) y = 
b) y = 
Bài tập tự làm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
a) b) 
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị . 
Bài toán 1: Viết PTTT của hàm số y = f(x) (C) tại điểm M0(x0; y0)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = (x0)(x – x0);
Bước 2: Tính (x); Suy ra (x0);
Bước 3: Thay x0, y0 và (x0) vào bước 1.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 5.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; 5).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ là x = -1; x = 1;
HD: 
a) TXĐ: D = R.
y’ = 3x2 - 6x
Bảng biến thiên:
x
-
0
2
+
y’
+
0
-
0
+
y
-
5
1
+
Đồ thị:
b) Tại M(3; 5) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng
y – y0 = (x0)(x – x0);
Với x0 = 3; y0 = 5; f’(3) = 9
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 9x - 22.
c) * x = -1 y = 1; f’(-1) = 9
 phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 10.
* x = 1 y = 3; f’(1) = -3
 phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 6.
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-2; 5)
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
Bài 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm có hoành độ là x = 0, -2, 2.
Bài 3: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương của tiếp tuyến. 
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết phương tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (d) )
C1: F Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)	
 F Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
C2: F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 F Bước 2: Lập và giải hệ pt: Þ m = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = .
Hướng dẫn : 
a) Đồ thị : 
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = nên hệ số góc của tiếp tuyến là 
f’(x0) = 3x2 – 6x = 9x2 – 18x + 5 = 0 x = và x =
HS tự làm tiếp.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
Hướng dẫn:
a) Đồ thị:
b) HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1.
Do đó f’(x) = -1 	
x = 5 y = 3
x = 1 y = -1
ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài tập tự làm
Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24.
c) Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 1
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x - 3
4. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng f(x) = m. 
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
	1) x3 + 3x2 – 4 = m;	2) x3 + 3x2 – m = 0.
HD: a) BBT:
x
-
-2
0
+
y’
+
-
+
y
+
0
-4
-
 Đồ thị:
b1) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – 4 = m chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường thẳng y = m (song song với trục Ox)
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Với m > 3 hoặc m < 0 thì pt có một nghiệm,
Với m = 4 hoặc m = 0 thì pt có hai nghiệm
Với 0 < m < 4 thì pt có ba nghiệm phân biệt.
b2) Phương trình x3 + 3x2 – m = 0 x3 + 3x2 – 4 = m – 4
Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – m = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường thẳng y = m - 4 (song song với trục Ox)
(tương tự câu a) HS tự làm tiếp)
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
Bài 3:Cho hàm số có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .
Bài 4: Cho hàm số có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1).
c. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
Bài 5: Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3.
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), haõy tìm k ñeå phöông trình = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät.
Bài 6: C ho hàm sè 
a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hàm số 
b. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt .
Bài 7: Cho haøm soá y = (2 – x2)2 coù ñoà thò (C). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn. 
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos2x – cosx + 2
Hướng dẫn: 
a) y’ = 1 - =	
y’ = 0 
Trên [3;5] ta có y’ = 0 khi x = 4
y(3) = 8; y(4) = 7; y(5) = 
Vậy GTLN của hàm số trên [3;5] là 8 đạt được khi x = 3
GTNN của hàm số trên [3;5] là 7 đạt được khi x = 4.
b) Đặt t = cosx với t 	 [-1; 1].
Khi đó bài toán đưa về tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(t) = t2 – t +2 trên [-1; 1]
f'(t) = 2t -1
f’(t) = 0 t = ½
f(-1) = 4; f(1/2) = 7/4; f(1) = 2
Vậy GTLN của hàm số là 7/4 đạt được khi t = ½ tức cosx = ½ x =.
GTNN của hàm số là 4 đạt được khi t = -1 tức cosx = -1 x = 
Bài tập tự làm
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	(TN-THPT 03-04/1đ)
	d) 	xÎ[0,π/2]	(TN-THPT 01-02/1đ)
	e) trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn
[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng	 với mọi giá trị x.
6. Một số bài toán khác.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (2m-1)x – 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1;
b) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Hướng dẫn:
a) m = 1 => y = x3 + 3x2 + x – 2 có đồ thị như sau:
b) Hướng dẫn
y’ = 3x2 + 6x + 2m -1
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và dấu của y’ thay đổi khi đi qua các giá trị đó.
Do đó ’ = 9 -3(2m-1) > 0 m < 2
Vậy với m < 2 thì hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1).
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0
Bài 4: Cho hàm số (m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).