Chuyên đề Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số

MỞ ĐẦU
Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung.
 Vì thế đây là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong PPCT cũng như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp THPT, đặc biệt tuyển sinh Đại học, cao đẳng, THCN,Giải quyết vấn đề này luôn được giáo viên, học sinh quan tâm. Câu hỏi phụ liên quan khảo sát hàm số trong các đề thi luôn là câu hỏi "e ngại" đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong phú; đòi hỏi cần có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén.
Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,tôi xin trình bày một số bài toán điển hình cho mỗi dạng toán cơ bản trong chuyên đề: " Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số ". Nội dung chủ yếu xét các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số cơ bản, từ đó rút ra phương pháp giải cho mỗi dạng; còn khảo sát hàm số chỉ nêu trong các bài toán như là công cụ để phục vụ cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đó.
 Nội dung chuyên đề gồm:
	 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
	 I/ Dạng 1	: Các bài toán về tiếp tuyến có yếu tố hình học
	 II/ Dạng 2	: Các bài toán về cực trị
	 III/ Dạng 3	: Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số
	 IV/ Dạng 4	: Các bài toán về khoảng cách
	 V/ Dạng 5	: Các bài toán về tương giao giữa 2 đồ thị
	 VI/ Dạng 6	: Các bài toán về điểm đặc biệt trên đồ thị
	 VII/ Dạng 7 : Các bài toán về diện tích- thể tích
	 Tác giả muốn chuyên đề này như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên; song chắc chắn tác giả chưa thể đề cập hết các dạng toán và còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp, bổ sung của đọc giả.
Mọi sự góp ý xin gửi về: kieumybinh79@yahoo.com hoặc: Tổ Toán- Trường THPT Hoàng Quốc Việt-Bắc Ninh. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I/ DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC
* Kiến thức cơ bản:
 Cho hàm số y=f(x) (C). 
+ Tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có hệ số góc k=f'(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0): y= f'(x0)(x-x0)+y0.
 Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm .
- Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị .
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc 
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là .
- Giải phương trình: , tìm nghiệm .
- Phương trình tiếp tuyến dạng: .
Chú ý: Cho đường thẳng , khi đó:
- Nếu Þ hệ số góc k = a.
- Nếu Þ hệ số góc .
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(xA; yA) .
- Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó 
- Điều kiện tiếp xúc của là hệ phương trình sau phải có nghiệm: 
Tổng quát: Cho hai đường cong và . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm: .
Ví dụ 1: (ĐHQGHCM-96): Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
.y'=3x2+2mx
. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 (1)
 x(x2 + mx + 1) = 0 
. d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt(1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
	(*)
. Khi đó (2) có 2 nghiệm x1; x2
 hay (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B(x1; -x1 +1), C(x2; -x2 +1).	
 .Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau 
. Đ/S: Giá trị m cần tìm là: m=.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C). Gọi M là điểm trên (C ), I là giao 2 tiệm cận. Tiếp tuyến của (C ) tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B
	a. CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi.
	b. CMR: M là trung điểm của đoạn AB.
	c. Tìm M sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
 d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
LG:
Giả sử tiếp điểm M(.
 Tiếp tuyến () của đồ thị (C) tại M có phương trình: 
Giao 2 tiệm cận là I(-2; 2). 
a. + () cắt TCĐ: x=-2 tại A(-2; )
 + () cắt TCN: y=2 tại B(2a+2; 2)
+ Diện tích tam giác IAB: (Đpcm)
b. Ta có: . Vậy M là trung điểm của AB (Đpcm).
c. Chu vi tam giác IAB là: p=
	Dấu = xảy ra khi và chỉ khi IA=IB .
 Vậy có 2 điểm cần tìm là: O(0; 0) và M(-4; 4).
d. Khoảng cách từ I đến () là: 
	Dấu = xảy ra khi và chỉ khi .
* Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=x; y=x+8.
Ví dụ 3 (ĐH-A-2009): Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
LG: 
.Giả sử tiếp tuyến (d) của (C ) tại M(x0; y0) thoả mãn bài toán.	
Tam giác OAB cân tại O (d) có hệ số góc: k=
Ta có tiếp điểm M1(-2; 0) và M2(-1; 1)
. Phương trình tiếp tuyến tại M1(-2; 0): y=-x+2( t/m)
 Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1; 1): y=-x (loại) 
 * KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2
*NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b). Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC: (d) (a,b 0)
. Sử dụng điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) ta tìm được a, b => (d)
* Bài tập tự luyện
Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4.
(ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân.
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân với I là giao 2 tiệm cận.
Giả sử là tiếp tuyến tại M(0; 1) của đồ thị (C): . Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến là ngắn nhất.
(HVQHQT-2001): Cho đồ thị (C): . Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Cho đồ thị (Cm): . Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại A sao cho tiếp tuyến tại A của (Cm) cắt trục Oy tại B thoả mãn tam giác OAB vuông cân.
Cho hàm số: y=x4-2x2-1 (C). Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C)
II/ DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
* Kiến thức cơ bản:
	Cho hàm số (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
- Nghiệm của phương trình là hoành độ của điểm cực trị.
- Nếu thì hàm số đạt cực đại tại .
- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại .
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía trên trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành	.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số 
 Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số 
 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y= x3-3x2-3m(m+2)x-1 có 2 cực trị cùng dấu. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
LG: 
	. y'= 3x2-6x-3m(m+2);
	 y'=0 
 . Ta có: y=y'-(m+1)2(2x+1)(*)
 .Hàm số có 2 cực trị cùng dấu 
* Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1)2(2x+1).
* NX: Ở bài toán này ta dễ xác định được toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó. Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹ thuật chia y cho y' như trên vì không xác định được toạ độ các điểm cực trị.
Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau: 
 Cho hàm thoả mãn: thì y(x0) = 
Ví dụ 2 (ĐH An ninh-A-99): Cho hàm số .Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng (d): 9x-7y-1=0.
LG:
. TXĐ: D=R\{1}
. 
 y'=0 Đồ thị hàm số có 2 điểm CĐ, CT là: A(-2; m-4); 	B(4; m+8).
. A, B nằm về 2 phía (d) 
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: -3<m<9/7.
Ví dụ 3: Cho hàm số .Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV).
LG:
. TXĐ: D=R\{-m}.
. 
 y'=0	(1)
Khi đó (1) có 2 nghiệm x1=my1=3m2+1; x2=-3my2=5m2-1
=> đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là: A(m; 3m2+1), B(-3m; 5m2-1) thoả mãn yêu cầu bài toán (vì yA=3m2+1>0) 	(2)
* Từ (1) và (2) ta có m cần tìm là: 
* Bài tập tự luyện
(ĐH-B-2007): Tìm m để đồ thị hàm số: có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ O.
(HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.
 Tìm m để đồ thị hàm số: có 3 điểm cực trị, đồng thời góc toạ độ O là trọng tâm tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị đó.
 Cho hàm số .Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV).
Cho hàm số .Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của trục Ox.
III/ DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
* Kiến thức cơ bản:
	Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D.
+ f(x) đồng biến trên D .
+ f(x) nghịch biến trên D .
(f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D)
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
* 	* 	* 
Ví dụ 1(ĐHMĐC-2001): Tìm các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng [1; )
LG:
. TXĐ: D=R\{-m}
. y'= 
. Hàm số đồng biến trên [1; ) 
. Xét f(x)=, có: 
	+f'(x)=2x+2m
 	 	f'(x)=0 khi x=-m<1 do đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng 
	=>f(x)f(1)=1-6m
Do đó 
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: 
Ví dụ 2( ĐHQGHN_2000): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
 LG:
. TXĐ: D=R
. y'= 3x2+6x+m là tam thức bậc hai có 
 + Nếu thì y'Hàm số đồng biến trên R => m3 không thoả mãn.
 + Nếu m<3: y' có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2. Dựa vào bảng biến thiên có hàm số chỉ nghịch biến trong khoảng (x1 ; x2). Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 kết hợp với m<3 ta được giá trị m cần tìm là: .
* Bài tập tự luyện:
 1.Cho hàm số . Tìm m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.
2. Xác định m để hàm số .
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên .
3. Cho hàm số .Tìm m để 
a. Hàm số đồng biến trên khoảng .
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
4. Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên .
IV/ DẠNG 4:CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
* Kiến thức cơ bản:
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): .
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng và điểm M(x0;y0) khi đó .
 1/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số 
 Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách giữa 2 điểm A, B.
 LG:
 Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị nên ta giả sử A(x1; ), B(; ) với x1<-2<x2
Đặt do đó AB2 = 
Áp dụng BĐT cosi có: => 
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2); B(-1; 0)
* KL: Giá trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị hàm số là AB=2.
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm hai điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn AB nhỏ nhất.
LG:
 .
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị (C)nên ta giả sử A(x1; ), B(; ) với x1<-1<x2
Đặt
 do đó
 AB2 = 
mà 
=> 
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
* Vậy 2 đi ... p tuyến (d) là: d(M; d)max =.
4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đường thẳng đi qua một điểm cố định
Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C). Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu. Gọi là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. Tìm điểm cố định mà luôn đi qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I( đến đường thẳng .
LG: 
. y'=3x2 -6x+m
 y'=0 3x2 -6x+m= 0 (1)
. Hàm số có CĐ, CT (1) có 2 nghiệm phân biệt (*)
 . Với m t/m (*), (1) có 2 nghiệm: x1; x2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là:
	 A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2))
. Lấy y chia cho y' được: y=y'.
	=> 
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
	y= 
. Giả sử đi qua M(x0; y0) cố định 
	Vậy đi qua điểm cố định M( có vtcp 
	N/ x: d(I; ) IM. Dấu = xảy ra 
Hay d(I;)max = IM= 5/4 khi m=1
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.
* N/x: 1- Với bài toán dạng 4, nếu không phát hiện điểm cố định M mà luôn đi qua, ta có thể 	áp dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có: 
	d(I; )= 
	Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận 	f(m) hay d(I; )max= f(1)= 5/4 khi m=1.
2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng thay đổi biết luôn đi qua điểm cố định M: 
+ d(I; ) IM
	+ d(I; )max= IM khi M là hình chiếu của I lên hay 
5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số , đến 2 tiệm cận.
Ví dụ 6 (§H AN-97): Cho hµm sè: (C). T×m c¸c ®iÓm M trªn (C) cã tổng kho¶ng c¸ch ®Õn 2 tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt.
LG: 
 	. Giả sử M(
	. (C) có TCĐ: (d1): x-3=0
	 TCN: (d2): y-2=0
	. Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là: 
	d= 
	Dấu = xảy ra khi 
* Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(; : M2(; 
* Bài tập tự luyện
Cho hàm số . Tìm m để có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
Cho hàm số . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Cho hàm số: (C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bằng 4
Cho hàm số (C). CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận là số không đổi.
Cho hàm số . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
(HVKTQS-2000): Cho hàm số: (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ nhất.
Cho hàm số .
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
(ĐH Khối-A 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số)	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
	b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng .	
V/ DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
 * Kiến thức cơ bản:
 1. Cho 2 đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x)
	 Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x).
2. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m.
3. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành.
1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị	
Ví dụ 1: Cho hàm số .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm m để phương trình:(1) có 4 nghiệm phân biệt.
LG: 
a. Vẽ đồ thị (C)
b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C'): y=
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C') và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có:
 (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3
Ví dụ 2: Cho hàm số .
Khảo sát hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (2)
LG: 
(2) . Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C'): y= và đường thẳng (d): y=m.
 Dựa vào đồ thị ta có:
	+ Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt
	+ Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt
	Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt
2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phương trình
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): tại 2 điểm phân biệt.
LG: 
. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): (1)
. (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt 
* Đ/s: Giá trị m cần tìm: m-2.
3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt
 *PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x)
Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
 LG:
 . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0 x3 -3x2-9x=-m 
 . Xét hàm số y=x3 -3x2-9x có:
	+ y'=3x2 -6x-9 =3( x2 -2x-3) 
	+y'=0x=-1 hoặc x=3
	+ BBT: 
x
- -1 3 +	+
y'
 + 0 - 0 +
y
 5 +
 -27
- 
Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
* PP2: Đưa về pt: (x- x0 ).g(x)=0
Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3 thoả mãn: x12+ x22+ x32 <4
LG:
 . phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3-2x2+ (1-m)x+m =0 (1)
	(x-1)(x2 -x-m)=0 
(d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt pt: f(x)=x2 -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác1
(*)
. Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x1, x2 ,x3=1.
do đó x12+ x22+ x32 <4 (**)
. kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m0.
4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
LG: 
. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0(1)
=>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm 
x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3 => x2 =1
. Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11
<=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11.
* Bài tập tự luyện:
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
	b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Cho hàm số .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.
(ĐH Khối-D 2006): Cho hàm số .	
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. .
(ĐH Khối-A 2004): Cho hàm số 	(1) 	a. Khảo sát hàm số (1).
	b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. 
	 ĐS: b. .
(ĐH Khối-A 2003): Cho hàm số 	(*) (m là tham số)	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=-1.
	b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có 	hoành độ dương.
	ĐS: b. .
(ĐH Khối-A 2002): Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham số)	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	 b. Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
	 c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 	
Tìm m để đồ thị hàm số y = - x3 - 3mx2 + 2m(m -4)x + 9 m2 -m cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thành cấp số cộng .
(ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3(2m+1)x2 + 6mx + 1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
(ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
VI/ DẠNG 6:CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
1. Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua
Phương pháp:
Từ hàm số ta đưa về dạng . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình .
Ví dụ 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
LG:
 . Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m 
	y0= x03-3(m-1)x02-3mx0+2, mọi m 
	(3x02+3x0)m+y0-x03-3x0-2=0, mọi m
Vậy luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4)
* Bài tập tự luyện:
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Cho hàm số . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua ba điểm cố định.
2. Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị
Điểm là tâm đối xứng của đồ thị Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: 
Vậy là tâm đối xứng của (C) .
 Ví dụ 2 (ĐH Khối D-2008): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:	
	.d : y - 2 = k(x - 1) Û y = kx - k + 2.
	.Phương trình hoành độ giao điểm: x3 - 3x2 + 4 = kx - k + 2 Û x3 - 3x2 - kx + k + 2 = 0.
	Û (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = 0 Û x = 1 Ú g(x) = x2 - 2x - k - 2 = 0.
	Vì D' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!.
* Bài tập tự luyện:
Cho hàm số có đồ thị .
Tìm giá trị của m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Cho hàm số .
Định m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 
Cho hàm số 	(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.	ĐS: a. Þ  m>0.
Cho hàm số có đồ thị . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Cho hàm số . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1).
 3. Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên
Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số (C) các điểm có toạ độ là các số nguyên.
LG: 
 . Giả sử M( là điểm có tọa độ là các số nguyên
 . Vì nên 
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(0; 2) và M2(-2;0) 
VII/ DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH-THỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân 
a. Diện tích
x
y
O
f(x)
g(x)
b
a
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
ÆChú ý: 
x
y
O
f(x)
x(x)
b
a
y
x
c
d
O
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b 
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức: 
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C): x=x(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy
được tính bởi công thức: 
	Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)³g(x), "xÎ[a;b]) được tính bởi công thức:.
 Ví dụ (ĐH-D-2002): Cho hàm số: (Cm)
	a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=-1
	b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục toạ độ.
 LG: 
 .Khi m=-1 ta có: 
 . Diện tích cần tính là: 
	S= (Đvdt)
 * Bài tập tự luyện:
(ĐHHH-2000): Cho hàm số (1)	
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
	b. Tính diện tích hình phẳng của miền D giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng: 	y=4.
	c. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi D khi nó quay quanh trục Ox.