Chuyên đề khảo sát hàm số: Hướng dẫn và đáp án Toán

 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  11 
 Chuyªn ®Ò kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n 
Baøi 1: 
1) Khaûo saùt haøm soá:



1
1
x
y
x
 (C) TXÑ: D = R \ (1) 
2
2
' 0 
( 1)
y
x

  

Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh. 
TCÑ: x = 1 vì 


1
lim
x
y 
TCN: y = 1 vì 

lim 1
x
y 
BBT: 
Ñoà thò: 
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1): 
Ñöôøng thaúng (d) qua P coù heä soá goùc k:y = k( x-3) + 1 
(d) tieáp xuùc (C) 


 


2
x+1
 = k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
 = k (2)
(x-1)
 coù nghieäm 
Thay (2) vaøo (1) : 

 
 2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x
           2 21 2( 3) ( 1) 4 8 2x x x x x 
Thay vaøo (2)   2k Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7 
3) 0 0 0( , ) ( )M x y C . Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét 2 ñöôøng tieäm caän taïo thaønh moät tam giaùc 
coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M. 
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M:   0 0 0'( )( )y f x x x y 
  
  
  
  
2
0 0 0
0 2 2
0 0 0
2
0
1 3 13
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng x =1. 
  
     
  
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ngang y = 1. 
  
     
 
0 05 2 5 21 ,1
3 3
x x
y x B 
Giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän: I(1, 1) 
Ta coù : 
 
      

0 0
0
4 5 21 1 1
. . 1 . 1
2 2 2 1 3
A I B IIAB
x x
IA IB y y x x
x
S 

   

0
0
5 21 5 25
. 1 haèng soá
2 1 3 6
x
x
 Vaäy: IABS khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M. 
A
B
M
O x
y
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  12 
C©u 2: (2 ñieåm) 
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2
1
x
y
x



 TXÑ: D=R\{1} 
 
3, 0
21
y
x

  

Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh 
TCD: x=1 vì lim
1
y
x
 
 
TCN: y=1 vì lim 1y
x


BBT: 
Ñoà thò: 
2) Xaùc ñònh a ñeå töø A(0,a) keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán 
(C) 
sao cho 2 tieáp ñieåm ñeán naèm veà 2 phía cuûa 0x. 
Goïi ( ; ) ( )
0 0
M x y C
2
0
0 1
0
x
y
x

 

Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: 
'( )( )
0 0 0
y f x x x y   
22 4 23 30 0 0( )
02 2 21( 1) ( 1) ( 1)00 0 0
x x x
y x x y x
xx x x
   
      
  
Tieáp tuyeán qua A(0,a) 
2 4 2
0 0
2( 1)
0
x x
a
x
 
 

 2( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a       (1) 
 (vì 
0
x =1 khoâng laø nghieäm) 
Ñieàu kieän ñeå coù 2 tieáp tuyeán keû töø A laø: 
1 0 1
, 20
a a
a
  
 
  
 Khi ñoù (1) coù 2 nghieäm laø 
0
x , 
1
x 
 Tung ñoä tieáp ñieåm 
2
0
0 1
0
x
y
x



 vaø 
2
1
1 1
1
x
y
x



 Ñieàu kieän 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía 
Ox. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  13 
 
2 2( ) 42
0 0 1 0 110 . 0 0
0 1 1 1 10 1 0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 21 1 0 0 3 2 0
2 2( 2) 3 31
1 1
x x x x xx
y y
x x x x x x
a a
aa a a a
a a
a a
   
     
    
 
 
           
   
 
Toùm laïi: 
2, 1
2
3
a a
a
  



2
3
a

  vaø 1a  ÑS:
2
, 1
3
a a

  
C©u 3: (2 ñieåm) 
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
22 1
1
x x
y
x
 


TXÑ: D = R\{-1} 
22 4
'
2( 1)
x x
y
x



0
' 0
2
x
y
x

    
Tieäm caän ñöùng: x= -1 vì lim
1
y
x
 

Ta coù: 
2
2 1
1
y x
x
  

 Tieäm caän xieân: y = 2x - 1 vì 
2
lim 0
1xx


BBT 
Ñoà thò: 
Cho x = 1 suy ra y = 2. 
2) Goïi M  (C) coù XM = m. Chöùng toû raèng tích caùc khoaûng caùch 
 töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C) khoâng phuï thuoäc m. 
Ta coù: XM = m 
2
2 1
1
y m
M m
   

Tieäm caän ñöùng : x + 1 = 0 (D1) 
Suy ra d1(M, D1) 
1
1
1
m
m

   
Tieäm caän xieân: 2x – y – 1 = 0 (D2) d2(M,D2) = 
2
2 2 1 1
21
5 5 1
m m
m
m
   



Suy ra d1.d2 = 
2 2
1
5 1 5
m
m
 

 (khoâng phuï thuoäc m) 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  14 
C©u 4: (2 ñieåm) Cho haøm soá: 
22 2
1
x mx
y
x
 


1) Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc taïo bôûi TCX vaø 2 truïc toïa ñoä baèng 4. 
Ta coù: 2 2
1
m
y x m
x
   

Vôùi 0m  thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim 0
1
m
xx


Giao ñieåm TCX vaø Ox: y = 0 




 


 0,
2
2
2
2 m
A
m
x 
Giao ñieåm TXC vaø oy: 0 2 (0, 2)x y m B m      
1 1 2
. 2 4
2 2 2
OAB
m
S OAOB m

      
22( 2) 16
6
m
m
m

      
 ( thoûa ñieàu kieän 
0m  ) 
2) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi m = -3: 
22 3 2
(C)
1
x x
y
x
 


TXÑ: D = R\ {1} 
0
)1(
542
'
2
2




x
xx
y 1x 
 Suy ra haøm soá taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh. 
TCÑ: x = 1 vì lim
1
y
x
 

TCX: y = 2x - 1 (theo caâu 1) 
BBT: 
Ñoà thò: 0 2, 2 0x y x y      
C©u 5: (2 ñieåm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 0. y = x4 – 10x2 + 9 
TXD: D = R 
3 2' 4 20 4 ( 5)y x x x x    
0
' 0
5
x
y
x

  
 
5 442'' 12 20 '' 0
3 9
y x y x y

         ñieåm uoán 
5 44 5 44
; ;
3 9 3 9
  
      
  
BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  15 
Ñoà thò: 
 Cho 
2 1 1
0
2 39
x x
y
xx
         
2) Chöùng minh raèng vôùi  0m  , (Cm) luoân luoân caét Ox 
taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù coù hai ñieåm naèm (-3,3) 
vaø 2 ñieåm naèm ngoaøi (-3,3). 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø Ox. 
4 2 2( 10) 9 0x m x    (1) Ñaët 2( 0)t x t  
Phöông trình trôû thaønh: 2 2( 10) 9 0t m t    (2) 
Ta coù: 









mmS
P
mm
,010
09
,036)10(
2
22
 0 < t1 < t2  (1) coù 4 nghieäm phaân bieät 2 1 1 2
x x x x     
Ñaët f(t) = 2 2( 10) 9t m t   Ta coù: af(9)= 2 281 9 90 9 9 0, 0m m m        
0 9
1 2
t t    
2 9 ( 3;3)
1 1
3 3
2 1 1 22 ( 3;3)9 22
x x
x x x x
xx
    
           
   
 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù 2 ñieåm ( 3,3)  vaø 2 ñieåm ( 3,3)  . 
C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá 3 2( ) ( 3) 3 4y f x x m x x      (m laø tham soá) 
1) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Khi ñoù vieát phöông trình ñöôøng 
thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò naøy. 
Ta coù: 2 2' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)y x m x y x m x          
Haøm soá coù CÑ, CT  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät. 
2 2' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0m m m m m              
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc : 
1 1 2 12'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
 
       
 
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø: 
2 12( 6 ) 5
9 3
y m m x m     . 
2) Tìm m ñeå ( ) 3f x x vôùi moïi 1x  Ta coù: 
43 2( ) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f x x x x m x x m x x
x
                
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  16 
min ( )
1
m g x
x
 

 vôùi 
4
( ) 3
2
g x x
x
   
Ta coù: 
38 8
'( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2
3 3
x
g x x g x x
x x

        
+) BBT: min ( ) 0
1
g x
x
 

 Vaäy: 0m  
C©u 7: (2 ñieåm) 
 a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò 
2 6 9
( )
2
x x
y C
x
 

 
 TXÑ: D = R\ {2} 
2 4 3
'
2( 2)
x x
y
x
 

 
1
' 0
3
x
y
x

   
TCÑ: x = 2 vì lim
2x
 

; Ta coù: 
1
4
2
y x
x
   
 
TCX: y = - x + 4 vì 
1
lim 0
2xx
 
 
BBT: 
Ñoà thò: 
Cho x = 0 
9
2
y  
b) Tìm M Oy sao cho tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C) 
song song vôùi ñöôøng thaúng y=
3
4
 x coù daïng. 
Goïi M(0, b) Oy , tieáp tieáp qua M song song 
ñöôøng thaúng 
3
4
y x  coù daïng: (D): 
3
4
y x b   
 (D) tieáp xuùc (C) 
2 6 9 3
(1)
2 4
2 4 3 3
(2)
2 4( 2)
x x
x b
x
x x
x
  
   
 
 

    
  
co ù nghie äm
(2) 2 4 0 0 4x x x x       Thay vaøo (1): 
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b      
 Vaäy : 
9 5
(0; ), (0; )
1 22 2
M M 
C©u 8: (2 ñieåm) 
a) Khaûo saùt (1) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x      khi m= 1: 
3 21: 2 9 12 1m y x x x     TXÑ: D= R 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  17 
1 62' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  
        
 
         
 
ñieåm uoán I
BBT: 
Ñoà thò: 
b) Chöùng minh raèng m haøm soá (1) luoân ñaït cöïc trò 
taïi x1, x2 vôùi x1 - x2 khoâng phuï thuoäc m. 
Ta coù: 
3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1
2 2' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m y x m x m m
m m m
     
           
      
 (*) luoân coù 2 nghieäm phaân bieät 1 2,x x .  Haøm soá luoân ñaït cöïc trò taïi 1 2,x x . 
Ta coù: 
2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x m m x x m m               (haèng soá) 
 Vaäy:
2 1
x x khoâng phuï thuoäc m. 
Bµi 9: (2 ñieåm) 
 a) Khaûo saùt haøm soá: 2 5 4y x x   . 
 Taäp xaùc ñònh: D = R 
y’= 2x – 5 
BBT: 
Ñoà thò: 
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol: 
2( ) : 5 6
1
P y x x   vaø 2( ) : 5 11
2
P y x x    
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  18 
- Goïi   : y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2). 
-   tieáp xuùc vôùi (P1) vaø (P2). 
2 5 6
2 5 11
x x ax b
x x ax b
    
 
    
co ùnghieäm keùp
co ù nghieäm keùp
2 (5 ) 6 0
2 (5 ) 11 0
20 10 4 1 0 3 31
0 2 10 510 4 19 02
x a x b
x a x b
a a b a a
b ba a b
     
 
     
          
      
           
co ùnghieäm keùp
co ùnghieäm keùp
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5 
C©u 10: (2 ñieåm) 
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 3 23 ( )y x x C  
TXÑ: D = R 
2' 3 6 3 ( 2)y x x x x    
0
' 0
2
x
y
x

    
'' 6 6y x  '' 0 1 2y x y       Ñieåm uoán I(-1, 2) 
+) BBT: 
Ñoà thò: 
Cho x = -3, y = 0 
x = 1, y = 4 
b) Tìm ñieåm M treân Ox sao cho töø M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) 
trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau. 
Goïi M(a,0) Ox , ñöôøng thaúng (d) qua M vaø coù heä soá goùc K laø: 
y = k( x - a) 
(d) tieáp xuùc (C) 
23 ( ) (1)
23 6 (2)
x x k x a
x x k
   
 
  
3
co ùnghieäm 
Thay (2) vaøo (1): 
2 23 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a x a x ax
x
x x a x a
x a x a
        
             
3 3 2
2
2
Vôùi x = 0  k = 0  1 tieáp tuyeán laø y = 0. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  19 
+) Töø M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau 
 (3) coù 2 nghieäm phaân bieät , 0
1 2
x x  vaø 1
1 2
k k   . 
00
20 9( 1) 48 0
2 2 2(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 1 ... á nghòch bieán trong töøng khoaûng xaùc ñònh. 
 Tieäm caän ñöùng: 
1
x
2
1
x vì lim y
2 
    
Ta coù: 
2
y x 1
2 x 1
   

 Tieäm caän xieân : 
x
2
y x 1 vì lim 0
2 x 1
   

 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  78 
 Ñieåm ñaët bieät: 
Caâu 57: 
Cho haøm soá y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 
1) Tìm nhöõng ñieåm coá ñònh maø moïi ñöôøng cong cuûa hoï treân ñeàu ñi qua. 
Ta coù theå vieát : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1) 
Ñieåm coá ñònh A(x, y) thoaû (1), m. 
3 2 2x 3x 2 x 0 x(x 3x 2) 0
2 2 x y 0 y 2 x 2
x 0 , y 2
x 1 , y 0
x 2 , y 2
       
  
       
 

  
   
Vaäy hoï ñöôøng cong luoân ñi qua 3 ñieåm coá ñònh : 
 A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2) 
2) Chöùng toû raèng nhöõng ñieåm coá ñònh ñoù thaúng haøng. Töø ñoù suy ra hoï ñöôøng cong coù 1 
taâm ñoái xöùng. 
Toaï ñoä 3 ñieåm A, B, C thoaû phöông trình y = –2x + 2 neân 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng vì 
A vaø C ñoái xöùng qua B neân hoï ñöôøng cong coù chung 1 taâm ñoái xöùng laø B(1, 0). 
3) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 1: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  79 
 y = x3 – 3x2 + 2 (C) 
- TXÑ : D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      ñieåm uoán (1, 0) 
-BBT 
- Ñoà thò : 
 Cho x = –1 , y = –2 
 x = 3 , y = 2 
4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng toû raèng trong caùc tieáp 
tuyeán cuûa (C) thì tieáp tuyeán naøy coù heä soá goùc nhoû nhaát. 
Ta coù ñieåm uoán I(1, 0)  phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi I: 
 y = f’(1).(x – 1)  y = –3(x – 1) 
  y = –3x + 3 
Ta coù heä soá goùc caùc tieáp tuyeán laø: 
 y’= 3x2 – 6x 
  y = 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 
BXÑ: 
 min y’ = –3 taïi x = 1 
Vaäy heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán I nhoû nhaát. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  80 
5) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy. 
Dieän tích hình phaúng laø : 
11 4 2
3 2 3
0 0
x 3x
S ( 3x 3) (x 3x 2) x x x
4 2
1
S
4
d
 
              
 
 

(ñvdt)
Caâu 58: 
Cho haøm soá y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 1 
 y = x3 – 3x2 + 2 
- TXÑ: D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      ñieåm uoán (1, 0) 
- BBT: 
- Ñoà Thò: 
2) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá ñaõ cho coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ñoàng thôøi caùc ñieåm CÑ vaø 
ñieåm CT naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc tung. 
Ta coù: y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1)x +2 
 y’ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) 
 y’= 0  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
Haøm soá coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ôû hai beân Oy 
  (1) coù hai nghieäm x1, x2 sao cho : x1 < 0 < x2 
  P < 0  m2 – 1 < 0  –1 < m < 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  81 
Vaäy -1< m < 1. 
Caâu 59: 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x 3
y (1)
x 1



 TXD: D = R \{1} 
2
2
x 2 x 3
y'
(x 1)
x 1
y' 0
x 3
 



    
 Tieäm caän ñöùng: 
 x = -1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta coù: 
4
y x 1
x 1
  

 Tieäm caân xieân: 
 y = x – 1 vì 
4
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Ñoà thò 
 Cho x = 0  y = 3 
 x = -2  y = – 7 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  82 
 2) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm 
2
M(2, )
5
 sao cho (d) caét ñoà thò 
haøm soá (1) taïi hai ñieåm A, B vaø M laø trung ñieåm AB. 
 Ñöôøng thaúng (d) qua 
2
M(2, )
5
 vaø coù heä soá goùc k: 
2
y (x 2)
5
k   
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (1) vaø (d): 
2
2 2
2
x 3 2
(x 2)
x 1 5
5(x 3)x 5 (x 2)(x 1) 2(x 1) x 0
5(1 )x (5 2)x 10 13 0
k
k
k k k

  

       
      
 Ñöôøng thaúng (d) caét ñoà thò (1) taïi 2 ñieåm A, B sao cho M laø trung ñieåm cuûa AB. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  83 
A B M
2
2
1 0
0
x x 2 x
1
(5 2) 20(1 )(10 13) 0
2 5
4
5(1 )
1
1 6
4 20 (25) 0
5 5
6
5
k
k
k k k
k
k
k
k
k
 

  
  

 

       
 
 


 

  
         
 



 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø: 
6 2
y (x 2)
5 5
6
y x 2
5
  
  
Caâu 60: 
 Cho haøm soá: 2 2 2y x 3x xm m    
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 0. 
 3 2y x 3x  
 TXD: D = R 
 y’ = 3x2- 6x 
x 0
y' 0
x 2

   
 y’’= 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 y = -2 
  ñieåm uoán I(1, -2) 
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  84 
 2) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm CÑ vaø CT ñoái xöùng nhau 
qua ñöôøng thaúng 
1 5
y x
2 2
  
 Ta coù: y = x3 - 3x2 + m2x + m 
 y'= 3x2 - 6x + m2 
 y'= 0  3x2 - 6x + m2 = 0 (1) 
 Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu  (1) coù hai nghieäm phaân bieät. 
  ’ > 0  9 – 3m2 > 0 
  3 m 3   
 Goïi M1(x1, y1), M2(x2, y2) laø ñieåm CÑ, ñieåm CT cuûa ñoà thò. 
 M1, M2 ñoái xöùng qua (d): 
1 5
y x
2 2
  
1 2M M (d)
1 2Trung ñieåm I cuûa M M (d)  

 - Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng thaúng M1M2: 
 2 2
1 1 2 1
y f'(x) x m 2 x m m
3 3 3 3
   
        
   
   2 21 2
2 1
M M : y m 2 x m m
3 3
 
     
 
 - Trung ñieåm I cuûa M1M2 laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò: 
 Ta coù: y’’= 6x – 6 
 y' = 0  x = 1  y = m2 + m – 2  I(1, m2 + m – 2) 
 Ta coù: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  85 
2
1 2
2
2
2 1
m 2 . 1
M M 3 2
I (d) 1 5
m m 2
2 2
m 0 m 0
m 0
m 0 m 1m m 0
 
      
     

 
   
     
 So vôùi ñieàu kieän: 3 m 3   nhaän m = 0. 
 ÑS: m = 0 
Caâu 61: 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x x 1
y (C)
x 1
  


 TXD: D = R\{1} 
2
2
x 2 x 2
y' 0, x 1
(x 1)
  
   

  Haøm soá giaûm trong töøng khoaûng xaùc ñònh. 
 Tieäm caän ñöùng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Chia töû cho maãu: 
1
y x
x 1
  

 Tieäm caän xieân: 
 Ta coù: y = - x vì 
1
lim
x 1x 
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  86 
 2) Chöùng minh raèng  ñöôøng thaúng y = m caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Xaùc 
ñònh m ñeå ñoä daøi ñoaïn AB ngaén nhaát. 
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: 
2
2
2
2 2
2
x x 1
m
x 1
x x 1 m x m
x (m 1) x m 1 0
(m 1) 4(m 1) m 2m 5
(m 1) 4 0, m
  


     
     
       
    
  Ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B, m. 
 Ta coù: 
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2 2
A B (x x ) (y y ) (x x ) 0
x x 2 x x
S -2P-2P=S -4P
      
  

 Maø: 
b
m 1
a
c
m 1
a
S
P
    
   
2 2 2
2 2
2
A B ( m 1) 4(m 1) m 2m 5
A B (m 1) 4
A B (m 1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
        
   
   
  
Caâu 62: 
 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2x
y (C)
x 1


 TXÑ: D = R\{1} 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  87 
2
2
x 2 x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tieäm caän ñöùng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta coù: 
1
y x 1
x 1
  

 Tieäm caän xieân: 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Ñoà thò: 
 2) Tìm treân ñöôøng thaúng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå keû tôùi 
(C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 450. 
 - Goïi M(a, 4)  ñöôøng thaúng y = 4, ta coù ñöôøng thaúng y = 4 laø tieáp tuyeán keû töø M 
ñeán (C) vaø song song Ox  tieáp tuyeán thöù hai taïo vôùi Ox 1 goùc baèng ± 450 
  Heä soá goùc tieáp tuyeán taïi M0(x0, y0)  (C) laø f’(x0) = ± 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  88 
2
0 0
0 2
0
2
0 0
0 2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (voâ nghieäm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1 
(x 1)
2
x 1
22 x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 
   

 


 


 

 Phöông trình tieáp tuyeán taïi M0 laø: 
0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   
    
 
    
 (d1) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 (d2) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa ñieàu kieän cuûa baøi toaùn. 
 1 2M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    
CAÂU 63: 
Cho haøm soá 3 22 3( - 3) 11- 3y x m x m   ( mC ) 
 1. Cho m=2. Tìm phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua 
9
( ,4)
12
A vaø tieáp xuùc vôùi (C2). 
 Vôùi m=2: 3 22 3 5y x x   (C2). 
 Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø coù heä soá goùc k: 
19
( ) 4
12
y k x   
 (d) tieáp xuùc (C2) 
193 22x 3 5 ( ) 4 (1)
12 
26 6 (2)
x k x
x x k

    

  
 coù nghieäm. 
 Thay (2) vaøo (1): 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  89 
193 2 22 3 5 (6 6 )( ) 4
12
3 28 25 19 2 0
2( 1)(8 17 2) 0
1 0
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
x k
x k
x k
     
    
    

   

   

   

 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua A vaø tieáp xuùc vôùi (C2) laø: 
 y=4 hay y=12x - 15 hay
21 645
32 128
y x   
 2. Tìm m ñeå haøm soá coù 2 cöïc trò. 
 Ta coù: 3 22 3( 3) 11 3y x m x m     
 , 26 6( 3)y x m   
 , 20 6 6( 3) 0y x m     (1) 
 0
(1)
3
x
x m

   
 Haøm soá coù 2 cöïc trò  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät 
 3 0 3m m     . 
 Tìm m ñeå 2 ñieåm cöïc trò M1, M2 vaø B(0, -1) thaúng haøng. 
 Ñeå tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò M1, M2 ta chia f(x) cho
' ( )f x : 
1 3' 2( ) ( ) ( 3) 11 3
3 6
m
f x f x x m x m
 
      
 
 Suy ra phöông trình ñöôøng thaúng M1M2 laø: 
 2( 3) 11 3y m x m     
 M1, M2, B thaúng haøng B  M1M2 
  -1=11-3m  m= 4 
 So vôùi ñieàu kieän m 3 nhaän m= 4 
 ÑS:m=4 
Caâu 64: 
1) a. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:   3
1 2
3 3
y x x (C) 
 TXÑ: D = R 
 
 
   

2' 1
1
' 0
1
" 2
y x
x
y
x
y x
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  90 
     
2
" 0 0
3
y x y Ñieåm uoán 
 
 
 
2
0,
3
 BBT: 
 Ñoà thò: 
Cho   2, 0x y 
  
4
2,
3
x y 
b. Tìm ñieåm treân (C) taïi ñoù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 
   
1 2
3 3
y x (d) 
Goïi  0 0 0( , ) ( )M x y C heä soá goùc tieáp tuyeán taïi 0M laø:  
2
0 0'( ) 1f x x 
Tieáp tuyeán taïi 0M vuoâng goùc (d)   0
1
'( )
d
f x
k
       
  
   
2 2
0 0 0
0 0
0 0
1 3 4 2
4
2
3
2 0
x x x
x y
x y
Vaäy coù 2 ñieåm M: 0 ( 2,0)M vaø 1
4
(2, )
3
M 
2)   
1
2 2
0
(1 ) .I x x dx 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  91 
     
     
    
    


1
2 4 2 3
0
1
4 3 2
0
1
5 3
4 2
0
1 1 1 11
1 1
5 2 3 30
(1 2 2 2 )
( 2 2 1)
1
5 2 3
x x x x x dx
x x x x dx
x x
x x x