Chuyên đề khảo sát hàm số: Hướng dẫn và đáp án

 Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n 
Bài 1: 
1) Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x
 (C) TXĐ: D = R \ (1) 
2
2
' 0 
( 1)
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác định. 
TCĐ: x = 1 vì 


1
lim
x
y 
TCN: y = 1 vì 

lim 1
x
y 
BBT: 
Đồ thị: 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1): 
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1 
(d) tiếp xúc (C) 


 


2
x+1
 = k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
 = k (2)
(x-1)
 có nghiệm 
Thay (2) vào (1) : 

 
 2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x
           2 21 2( 3) ( 1) 4 8 2x x x x x 
Thay vào (2)   2k Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7 
3) 0 0 0( , ) ( )M x y C . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác 
có diện tích không phụ thuộc M. 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:   0 0 0'( )( )y f x x x y 
  
  
  
  
2
0 0 0
0 2 2
0 0 0
2
0
1 3 13
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x
Giao điểm với tiệm cận đứng x =1. 
  
     
  
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x
Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1. 
  
     
 
0 05 2 5 21 ,1
3 3
x x
y x B 
Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) 
Ta có : 
 
      

0 0
0
4 5 21 1 1
. . 1 . 1
2 2 2 1 3
A I B IIAB
x x
IA IB y y x x
x
S 

   

0
0
5 21 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
x
x
 Vậy: IABS không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
A
B
M
O x
y
www.PNE.edu.vn
C©u 2: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2
1
x
y
x



 TXĐ: D=R\{1} 
 
3, 0
21
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác định 
TCD: x=1 vì lim
1
y
x
 
 
TCN: y=1 vì lim 1y
x


BBT: 
Đồ thị: 
2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến 
(C) 
sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x. 
Gọi ( ; ) ( )
0 0
M x y C
2
0
0 1
0
x
y
x

 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: 
'( )( )
0 0 0
y f x x x y   
22 4 23 30 0 0( )
02 2 21( 1) ( 1) ( 1)00 0 0
x x x
y x x y x
xx x x
   
      
  
Tiếp tuyến qua A(0,a) 
2 4 2
0 0
2( 1)
0
x x
a
x
 
 

 2( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a       (1) 
 (vì 
0
x =1 không là nghiệm) 
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là: 
1 0 1
, 20
a a
a
  
 
  
 Khi đó (1) có 2 nghiệm là 
0
x , 
1
x 
 Tung độ tiếp điểm 
2
0
0 1
0
x
y
x



 và 
2
1
1 1
1
x
y
x



 Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía 
Ox. 
www.PNE.edu.vn
 13 
 
2 2( ) 42
0 0 1 0 110 . 0 0
0 1 1 1 10 1 0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 21 1 0 0 3 2 0
2 2( 2) 3 31
1 1
x x x x xx
y y
x x x x x x
a a
aa a a a
a a
a a
   
     
    
 
 
           
   
 
Tóm lại: 
2, 1
2
3
a a
a
  



2
3
a

  và 1a  ĐS:
2
, 1
3
a a

  
C©u 3: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
22 1
1
x x
y
x
 


TXĐ: D = R\{-1} 
22 4
'
2( 1)
x x
y
x



0
' 0
2
x
y
x

    
Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim
1
y
x
 

Ta có: 
2
2 1
1
y x
x
  

 Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì 
2
lim 0
1xx


BBT 
Đồ thị: 
Cho x = 1 suy ra y = 2. 
2) Gọi M  (C) có XM = m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách 
 từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m. 
Ta có: XM = m 
2
2 1
1
y m
M m
   

Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1) 
Suy ra d1(M, D1) 
1
1
1
m
m

   
Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d2(M,D2) = 
2
2 2 1 1
21
5 5 1
m m
m
m
   



Suy ra d1.d2 = 
2 2
1
5 1 5
m
m
 

 (không phụ thuộc m) 
www.VNMATH.com
www.PNE.edu.vn
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số: 
22 2
1
x mx
y
x
 


1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4. 
Ta có: 2 2
1
m
y x m
x
   

Với 0m  thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim 0
1
m
xx


Giao điểm TCX và Ox: y = 0 




 


 0,
2
2
2
2 m
A
m
x 
Giao điểm TXC và oy: 0 2 (0, 2)x y m B m      
1 1 2
. 2 4
2 2 2
OAB
m
S OAOB m

      
22( 2) 16
6
m
m
m

      
 ( thỏa điều kiện 
0m  ) 
2) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = -3: 
22 3 2
(C)
1
x x
y
x
 


TXĐ: D = R\ {1} 
0
)1(
542
'
2
2




x
xx
y 1x 
 Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác định. 
TCĐ: x = 1 vì lim
1
y
x
 

TCX: y = 2x - 1 (theo câu 1) 
BBT: 
Đồ thị: 0 2, 2 0x y x y      
C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0. y = x4 – 10x2 + 9 
TXD: D = R 
3 2' 4 20 4 ( 5)y x x x x    
0
' 0
5
x
y
x

  
 
5 442'' 12 20 '' 0
3 9
y x y x y

         điểm uốn 
5 44 5 44
; ;
3 9 3 9
  
      
  
BBT: 
www.PNE.edu.vn
Đồ thị: 
 Cho 
2 1 1
0
2 39
x x
y
xx
         
2) Chứng minh rằng với  0m  , (Cm) luôn luôn cắt Ox 
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm (-3,3) 
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3). 
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox. 
4 2 2( 10) 9 0x m x    (1) Đặt 2( 0)t x t  
Phương trình trở thành: 2 2( 10) 9 0t m t    (2) 
Ta có: 









mmS
P
mm
,010
09
,036)10(
2
22
 0 < t1 < t2  (1) có 4 nghiệm phân biệt 2 1 1 2
x x x x     
Đặt f(t) = 2 2( 10) 9t m t   Ta có: af(9)= 2 281 9 90 9 9 0, 0m m m        
0 9
1 2
t t    
2 9 ( 3;3)
1 1
3 3
2 1 1 22 ( 3;3)9 22
x x
x x x x
xx
    
           
   
 Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm ( 3,3)  và 2 điểm ( 3,3)  . 
C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số 3 2( ) ( 3) 3 4y f x x m x x      (m là tham số) 
1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường 
thẳng đi qua hai điểm cực trị này. 
Ta có: 2 2' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)y x m x y x m x          
Hàm số có CĐ, CT  (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
2 2' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0m m m m m              
Chia f(x) cho f’(x) ta được : 
1 1 2 12'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
 
       
 
Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 
2 12( 6 ) 5
9 3
y m m x m     . 
2) Tìm m để ( ) 3f x x với mọi 1x  Ta có: 
43 2( ) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f x x x x m x x m x x
x
                
www.PNE.edu.vn
min ( )
1
m g x
x
 

 với 
4
( ) 3
2
g x x
x
   
Ta có: 
38 8
'( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2
3 3
x
g x x g x x
x x

        
+) BBT: min ( ) 0
1
g x
x
 

 Vậy: 0m  
C©u 7: (2 điểm) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 
2 6 9
( )
2
x x
y C
x
 

 
 TXĐ: D = R\ {2} 
2 4 3
'
2( 2)
x x
y
x
 

 
1
' 0
3
x
y
x

   
TCĐ: x = 2 vì lim
2x
 

; Ta có: 
1
4
2
y x
x
   
 
TCX: y = - x + 4 vì 
1
lim 0
2xx
 
 
BBT: 
Đồ thị: 
Cho x = 0 
9
2
y  
b) Tìm M Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) 
song song với đường thẳng y=
3
4
 x có dạng. 
Gọi M(0, b) Oy , tiếp tiếp qua M song song 
đường thẳng 
3
4
y x  có dạng: (D): 
3
4
y x b   
 (D) tiếp xúc (C) 
2 6 9 3
(1)
2 4
2 4 3 3
(2)
2 4( 2)
x x
x b
x
x x
x
  
   
 
 

    
  
co ù nghie äm
(2) 2 4 0 0 4x x x x       Thay vào (1): 
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b      
 Vậy : 
9 5
(0; ), (0; )
1 22 2
M M 
C©u 8: (2 điểm) 
a) Khảo sát (1) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x      khi m= 1: 
3 21: 2 9 12 1m y x x x     TXĐ: D= R 
www.PNE.edu.vn
1 62' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  
        
 
         
 
điểm uốn I
BBT: 
Đồ thị: 
b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trị 
tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m. 
Ta có: 
3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1
2 2' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m y x m x m m
m m m
     
           
      
 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x .  Hàm số luôn đạt cực trị tại 1 2,x x . 
Ta có: 
2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x m m x x m m               (hằng số) 
 Vậy:
2 1
x x không phụ thuộc m. 
Bµi 9: (2 điểm) 
 a) Khảo sát hàm số: 2 5 4y x x   . 
 Tập xác định: D = R 
y’= 2x – 5 
BBT: 
Đồ thị: 
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol: 
2( ) : 5 6
1
P y x x   và 2( ) : 5 11
2
P y x x    
www.PNE.edu.vn
- Gọi   : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2). 
-   tiếp xúc với (P1) và (P2). 
2 5 6
2 5 11
x x ax b
x x ax b
    
 
    
co ùnghiệm kép
co ù nghiệm kép
2 (5 ) 6 0
2 (5 ) 11 0
20 10 4 1 0 3 31
0 2 10 510 4 19 02
x a x b
x a x b
a a b a a
b ba a b
     
 
     
          
      
           
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5 
C©u 10: (2 điểm) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 23 ( )y x x C  
TXĐ: D = R 
2' 3 6 3 ( 2)y x x x x    
0
' 0
2
x
y
x

    
'' 6 6y x  '' 0 1 2y x y       Điểm uốn I(-1, 2) 
+) BBT: 
Đồ thị: 
Cho x = -3, y = 0 
x = 1, y = 4 
b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. 
Gọi M(a,0) Ox , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: 
y = k( x - a) 
(d) tiếp xúc (C) 
23 ( ) (1)
23 6 (2)
x x k x a
x x k
   
 
  
3
co ùnghiệm 
Thay (2) vào (1): 
2 23 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a x a x ax
x
x x a x a
x a x a
        
             
3 3 2
2
2
Với x = 0  k = 0  1 tiếp tuyến là y = 0. 
www.PNE.edu.vn
+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau 
 (3) có 2 nghiệm phân biệt , 0
1 2
x x  và 1
1 2
k k   . 
00
20 9( 1) 48 0
2 2 2(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3 1
3
vì x x = - 3a 31 2281 81 ( 1) 108 1 0 3(a-1)
x + x =
1 2 2
aa
a a
x x x x x x x x x x x x
a a
a a
a a a a
   
 
       
 
          

     
      
  
          
  
và a 0
và a 0
-27a
1
27
a


 
 + 1 = 0
Vậy chỉ có 1 điểm 
1
( ...   
  
Câu 56: 
Cho hàm số : 
22 x 3x
y
2 x 1
m  


a) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng 
1
,
2
 
   
 
. 
Ta có : 
2
2
4 x 4 x 3 2
y'
(2 x 1)
m   


Hàm số nghịch biến trong : 
1 1
, y' 0, x ,
2 2
   
           
   
2 14 x 4 x 3 2 0, x ,
2
' 0 4 4(3 2 ) 0
1
m
m
m
 
           
 
      
  
b) Khảo sát hàm số khi m = 1 
22 x 3x 1
y
2 x 1
  


 TXĐ: D = R\ 
1
2
 
 
 
2
2
4 x 4 x 5 1
y' 0, x
2(2 x 1)
  
   

  Hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định. 
 Tiệm cận đứng: 
1
x
2
1
x vì lim y
2 
    
Ta có: 
2
y x 1
2 x 1
   

 Tiệm cận xiên : 
x
2
y x 1 vì lim 0
2 x 1
   

 BBT: 
www.PNE.edu.vn
 Điểm đặt biệt: 
Câu 57: 
Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 
1) Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua. 
Ta có thể viết : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1) 
Điểm cố định A(x, y) thoả (1), m. 
3 2 2x 3x 2 x 0 x(x 3x 2) 0
2 2 x y 0 y 2 x 2
x 0 , y 2
x 1 , y 0
x 2 , y 2
       
  
       
 

  
   
Vậy họ đường cong luôn đi qua 3 điểm cố định : 
 A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2) 
2) Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng. Từ đó suy ra họ đường cong có 1 
tâm đối xứng. 
Toạ độ 3 điểm A, B, C thoả phương trình y = –2x + 2 nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng vì 
A và C đối xứng qua B nên họ đường cong có chung 1 tâm đối xứng là B(1, 0). 
3) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1: 
www.PNE.edu.vn
 y = x3 – 3x2 + 2 (C) 
- TXĐ : D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      điểm uốn (1, 0) 
-BBT 
- Đồ thị : 
 Cho x = –1 , y = –2 
 x = 3 , y = 2 
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp 
tuyến của (C) thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất. 
Ta có điểm uốn I(1, 0)  phương trình tiếp tuyến của (C) tại I: 
 y = f’(1).(x – 1)  y = –3(x – 1) 
  y = –3x + 3 
Ta có hệ số góc các tiếp tuyến là: 
 y’= 3x2 – 6x 
  y = 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 
BXĐ: 
 min y’ = –3 tại x = 1 
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I nhỏ nhất. 
www.PNE.edu.vn
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy. 
Diện tích hình phẳng là : 
11 4 2
3 2 3
0 0
x 3x
S ( 3x 3) (x 3x 2) x x x
4 2
1
S
4
d
 
              
 
 

(đvdt)
Câu 58: 
Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 
 y = x3 – 3x2 + 2 
- TXĐ: D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      điểm uốn (1, 0) 
- BBT: 
- Đồ Thị: 
2) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm CĐ và điểm CT đồng thời các điểm CĐ và 
điểm CT nằm về 2 phía đối với trục tung. 
Ta có: y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1)x +2 
 y’ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) 
 y’= 0  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
Hàm số có điểm CĐ và điểm CT ở hai bên Oy 
  (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho : x1 < 0 < x2 
  P < 0  m2 – 1 < 0  –1 < m < 1 
www.PNE.edu.vn
Vậy -1< m < 1. 
Câu 59: 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2x 3
y (1)
x 1



 TXD: D = R \{1} 
2
2
x 2x 3
y'
(x 1)
x 1
y' 0
x 3
 



    
 Tiệm cận đứng: 
 x = -1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta có: 
4
y x 1
x 1
  

 Tiệm cân xiên: 
 y = x – 1 vì 
4
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Đồ thị 
 Cho x = 0  y = 3 
 x = -2  y = – 7 
 Đồ thị: 
www.PNE.edu.vn
 2) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 
2
M(2, )
5
 sao cho (d) cắt đồ thị 
hàm số (1) tại hai điểm A, B và M là trung điểm AB. 
 Đường thẳng (d) qua 
2
M(2, )
5
 và có hệ số góc k: 
2
y (x 2)
5
k   
 Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và (d): 
2
2 2
2
x 3 2
(x 2)
x 1 5
5(x 3)x 5 (x 2)(x 1) 2(x 1) x 0
5(1 )x (5 2)x 10 13 0
k
k
k k k

  

       
      
 Đường thẳng (d) cắt đồ thị (1) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 
www.PNE.edu.vn
A B M
2
2
1 0
0
x x 2 x
1
(5 2) 20(1 )(10 13) 0
2 5
4
5(1 )
1
1 6
4 20 (25) 0
5 5
6
5
k
k
k k k
k
k
k
k
k
 

  
  

 

       
 
 


 

  
         
 



 Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 
6 2
y (x 2)
5 5
6
y x 2
5
  
  
Câu 60: 
 Cho hàm số: 2 2 2y x 3x xm m    
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0. 
 3 2y x 3x  
 TXD: D = R 
 y’ = 3x2- 6x 
x 0
y' 0
x 2

   
 y’’= 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 y = -2 
  điểm uốn I(1, -2) 
 BBT: 
 Đồ thị: 
www.PNE.edu.vn
 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ và CT đối xứng nhau 
qua đường thẳng 
1 5
y x
2 2
  
 Ta có: y = x3 - 3x2 + m2x + m 
 y'= 3x2 - 6x + m2 
 y'= 0  3x2 - 6x + m2 = 0 (1) 
 Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có hai nghiệm phân biệt. 
  ’ > 0  9 – 3m2 > 0 
  3 m 3   
 Gọi M1(x1, y1), M2(x2, y2) là điểm CĐ, điểm CT của đồ thị. 
 M1, M2 đối xứng qua (d): 
1 5
y x
2 2
  
1 2M M (d)
1 2Trung điểm I của M M (d)  

 - Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường thẳng M1M2: 
 2 2
1 1 2 1
y f'(x) x m 2 x m m
3 3 3 3
   
        
   
   2 21 2
2 1
M M : y m 2 x m m
3 3
 
     
 
 - Trung điểm I của M1M2 là điểm uốn của đồ thị: 
 Ta có: y’’= 6x – 6 
 y' = 0  x = 1  y = m2 + m – 2  I(1, m2 + m – 2) 
 Ta có: 
www.PNE.edu.vn
2
1 2
2
2
2 1
m 2 . 1
M M 3 2
I (d) 1 5
m m 2
2 2
m 0 m 0
m 0
m 0 m 1m m 0
 
      
     

 
   
     
 So với điều kiện: 3 m 3   nhận m = 0. 
 ĐS: m = 0 
Câu 61: 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2x x 1
y (C)
x 1
  


 TXD: D = R\{1} 
2
2
x 2 x 2
y' 0, x 1
(x 1)
  
   

  Hàm số giảm trong từng khoảng xác định. 
 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Chia tử cho mẫu: 
1
y x
x 1
  

 Tiệm cận xiên: 
 Ta có: y = - x vì 
1
lim
x 1x 
 BBT: 
 Đồ thị: 
www.PNE.edu.vn
 2) Chứng minh rằng  đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác 
định m để độ dài đoạn AB ngắn nhất. 
 Phương trình hoành độ giao điểm: 
2
2
2
2 2
2
x x 1
m
x 1
x x 1 m x m
x (m 1) x m 1 0
(m 1) 4(m 1) m 2m 5
(m 1) 4 0, m
  


     
     
       
    
  Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B, m. 
 Ta có: 
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2 2
A B (x x ) (y y ) (x x ) 0
x x 2 x x
S -2P-2P=S -4P
      
  

 Mà: 
b
m 1
a
c
m 1
a
S
P
    
   
2 2 2
2 2
2
A B ( m 1) 4(m 1) m 2m 5
A B (m 1) 4
A B (m 1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
        
   
   
  
Câu 62: 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2x
y (C)
x 1


 TXĐ: D = R\{1} 
www.PNE.edu.vn
2
2
x 2x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta có: 
1
y x 1
x 1
  

 Tiệm cận xiên: 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Đồ thị: 
 2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới 
(C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450. 
 - Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M 
đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 450 
  Hệ số góc tiếp tuyến tại M0(x0, y0)  (C) là f’(x0) = ± 1 
www.PNE.edu.vn
2
0 0
0 2
0
2
0 0
0 2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1 
(x 1)
2
x 1
22 x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 
   

 


 


 

 Phương trình tiếp tuyến tại M0 là: 
0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   
    
 
    
 (d1) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 (d2) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán. 
 1 2M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    
CÂU 63: 
Cho hàm số 3 22 3( - 3) 11- 3y x m x m   ( mC ) 
 1. Cho m=2. Tìm phương trình các đường thẳng qua 
9
( ,4)
12
A và tiếp xúc với (C2). 
 Với m=2: 3 22 3 5y x x   (C2). 
 Đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: 
19
( ) 4
12
y k x   
 (d) tiếp xúc (C2) 
193 22x 3 5 ( ) 4 (1)
12 
26 6 (2)
x k x
x x k

    

  
 có nghiệm. 
www.PNE.edu.vn
193 2 22 3 5 (6 6 )( ) 4
12
3 28 25 19 2 0
2( 1)(8 17 2) 0
1 0
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
x k
x k
x k
     
    
    

   

   

   

 Vậy phương trình đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C2) là: 
 y=4 hay y=12x - 15 hay
21 645
32 128
y x   
 2. Tìm m để hàm số có 2 cực trị. 
 Ta có: 3 22 3( 3) 11 3y x m x m     
 , 26 6( 3)y x m   
 , 20 6 6( 3) 0y x m     (1) 
 0
(1)
3
x
x m

   
 Hàm số có 2 cực trị  (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 3 0 3m m     . 
 Tìm m để 2 điểm cực trị M1, M2 và B(0, -1) thẳng hàng. 
 Để tìm phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 ta chia f(x) cho
' ( )f x : 
1 3' 2( ) ( ) ( 3) 11 3
3 6
m
f x f x x m x m
 
      
 
 Suy ra phương trình đường thẳng M1M2 là: 
 2( 3) 11 3y m x m     
 M1, M2, B thẳng hàng B  M1M2 
  -1=11-3m  m= 4 
 So với điều kiện m 3 nhận m= 4 
 ĐS:m=4 
Câu 64: 
1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:   3
1 2
3 3
y x x (C) 
 TXĐ: D = R 
 
 
   

2' 1
1
' 0
1
" 2
y x
x
y
x
y x
www.PNE.edu.vn
     
2
" 0 0
3
y x y Điểm uốn 
 
 
 
2
0,
3
 BBT: 
 Đồ thị: 
Cho   2, 0x y 
  
4
2,
3
x y 
b. Tìm điểm trên (C) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
   
1 2
3 3
y x (d) 
Gọi  0 0 0( , ) ( )M x y C hệ số góc tiếp tuyến tại 0M là:  
2
0 0'( ) 1f x x 
Tiếp tuyến tại 0M vuông góc (d)   0
1
'( )
d
f x
k
       
  
   
2 2
0 0 0
0 0
0 0
1 3 4 2
4
2
3
2 0
x x x
x y
x y
Vậy có 2 điểm M: 0 ( 2,0)M và 1
4
(2, )
3
M 
2)   
1
2 2
0
(1 ) .I x x dx 
www.PNE.edu.vn
     
     
    
    


1
2 4 2 3
0
1
4 3 2
0
1
5 3
4 2
0
1 1 1 11
1 1
5 2 3 30
(1 2 2 2 )
( 2 2 1)
1
5 2 3
x x x x x dx
x x x x dx
x x
x x x
www.PNE.edu.vn