Chuyên đề Khảo sát hàm số - Chủ đề 5: Sự tương giao của hai đồ thị

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
 Chủ đề 5: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
I- LÝ THUYẾT: 
Giả sử (C) và (C’) là đồ thị của hai hàm số: 
( ) vµ ( )y f x y g x= = . 
 Hoành độ giao điểm của (C) và (C’), nếu có, 
là nghiệm của phương trình ( ) ( ) =f x g x (1) 
Lưu ý: 
Phương trình ( ) ( )f x g x= là phương trình hoành độ giao điểm 
của (C) và (C’). 
 Đảo lại, nếu 0x là nghiệm của (1), tức là: 0 0( ) ( )f x g x= 
 thì điểm ( ) ( )0 0 0 0; ( ) hay ; ( )M x f x M x g x 
là điểm chung của (C) và (C’). 
Kết quả: 
- Nếu pt (1) vô nghiệm thì (C) và (C’) không có điểm chung. 
- Nếu pt (1) có n nghiệm thì (C) cắt (C’) tại n điểm phân biệt ( n không là nghiệm bội) 
BÀI TẬP MINH HỌA: 
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ 
Bài tập 1: (ĐHVH-98) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d: 2 5y x= + với đồ thị hàm số 
(C): 3 23 1y x x= + + . 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 
( ) ( )
3 2 3 2
2
2
3 1 2 5 3 2 4 0
1
1 2 4 0 1 5
2 4 0
1 5
+ + = + Û + - - =
= -é
ê éÛ + + - = Û = - +ê + - = Û êê = - -êëë
x x x x x x
x
x x x x
x x
x
* Với 1 2.( 1) 5 3x y= - Þ = - + = . 
* Với ( )1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - + Þ = - + + = + . 
* Với ( )1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - - Þ = - - + = - . 
Kết luận: 
Vậy các giao điểm cần tìm là ( ) ( ) ( )1 2 31;3 , 1 5;3 2 5 , 1 5;3 2 5 M M M- - + + - - - 
Nhận xét: Khi xác định tung độ giao điểm, ta đã sử dụng hàm số 2 5= +y x để đơn giản hơn. 
Bài tập 2: (Đề 105) Chỉ rõ các giao điểm của đồ thị (C): 13
1
y x
x
= + +
+
 với trục hoành. 
Bài giải:TXĐ: { }\ 1D R= - . 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 13 0
1
+ + =
+
x
x
 (1) 
TH 1: 3 1- £ ¹ -x .(1) trở thành: 
x
y
M
y0
x0O
(C)
(C')
1
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
( ) ( ) ( ) 213 0 3 1 1 0 4 4 0 2
1
+ + = Û + + + = Û + + = Û = -
+
x x x x x x
x
 (nhËn) 
TH 2: 3x < - . (1) trở thành: 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 (lo¹i)13 0 3 1 1 0 4 2 0
1 2 2 (nhËn)
é = - +
- + + = Û - + + + = Û + + = Û ê
+ = - -êë
x
x x x x x
x x
Kết luận: Vậy giao điểm cần tìm là ( ) ( )1 22;0 , 2 2;0 M M- - - . 
DẠNG 2: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA 2 HỌ ĐỒ THỊ. 
Bài tập 1: (Đề 29) Xác định tất cả các giá trị của a để đường thẳng d: 3y ax= + không cắt đồ 
thị hàm số (C): 3 4
1
x
y
x
+
=
-
. 
Bài giải:TXĐ: { }\ 1D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 
 ( ) ( ) ( )3 4 3 3 4 3 1 1
1
+
= + Û + = + - ¹
-
x
ax x ax x x
x
 ( )2 7 0 1Û - - = ¹ax ax x (1) 
Để đường thẳng d không cắt (C) Û phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 1x = . 
 TH 1: Xét 0a = . (1) trở thành: 7 0- = . Vậy 0a = thỏa. 
TH 2: Y.c.b.t
( )2
2
0 0
28;0
28 028 0
0 28
28 0
1
21
2
 (v« nghiÖm)
a a
a
aa a
a a
a a a
b a
a
é ¹ ¹ì ìÛ Û Î -êí í- < <D = + < îîê
êìêÛ ï ¹ = -ìêï ïê D = + = Ûí í -ê - =ï ïîêï- =êîë
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là ( ]28;0aÎ - . 
Bài tập 2: (Đề 34) Xác định tất cả các giá trị của k để đồ thị hàm số (C): 
2 4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
 cắt 
đường thẳng d: 1y kx= + tại 2 điểm phân biệt. 
Bài giải:TXĐ: { }\ 2D R= - . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 
 ( ) ( ) ( )
2
24 3 1 4 3 2 1 2
2
+ +
= + Û + + = + + ¹ -
+
x x
kx x x x kx x
x
 ( ) ( ) ( )2( ) 1 2 3 1 0 2= - + - - = ¹ -g x k x k x x (1) 
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2¹ - . 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
Y.c.b.t ( ) ( )
( ) ( )
2
2
11 0
1
( 2) 0 4 1 2 2 3 1 0 1
4 8 5 0
0 2 3 4 1 0
g
kk
k
g k k k k
k k k
k k
ì ¹ì - ¹ ï ¹ìï ïÛ - ¹ Û - - - - ¹ " Û Û ¹í í í
- + > "îï ïD > - + - >î ïî
 . 
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là ( ) ( );1 1; .k Î -¥ È +¥ . 
Bài tập 3: (ĐHSPII-97) Tìm m để hàm số (C): 4 2(1 ) 2 1y m x mx m= - - + - cắt Ox tại 4 
điểm phân biệt. 
Bài giải:TXĐ: D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 
 4 2(1 ) 2 1 0 (1)- - + - =m x mx m 
Đặt 2 0t x= ³ , (1) trở thành: 2(1 ) 2 1 0 (2)- - + - =m t mt m 
 Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 
 Û Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt, tức là: 1 20 t t< < . 
Y.c.b.t
( ) ( ) ( )
2
22
1 1
4 2 1 1 0 2
9 12 4 3 2 0
3
0 0 11
12 1 10
21
¹ì ¹ì
ï ïD = - - - >ï ï - + = - > Û ¹
ï ïÛ Ûí í= > < <ï - ï
ï ï- ï ïîî -
m m
m m m
m m m m
m
S mm
m mP
m
 1 2;1 \
2 3
æ ö ì üÛ Î í ýç ÷è ø î þ
m 
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là 1 2;1 \
2 3
æ ö ì üÎ í ýç ÷è ø î þ
m . 
CHÚ Ý: Mối quan hệ về số nghiệm của phương trình ( )4 2 0 0 ax bx c a+ + = ¹ (1) và 
( )2 0 0 at bt c a+ + = ¹ (2) thông qua phép đặt ẩn phụ: 2 0t x= ³ . 
 TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm 0t < Þ Phương trình (2) không có nghiệm x . 
 TH2: Phương trình (2) có 1 nghiệm 0t = Þ Phương trình (2) có nghiệm 0x = . 
 TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm 0t > Þ Phương trình (2) có 2 nghiệm 
x t
x t
é =
ê
= -êë
. 
Vậy có thể mở rộng yêu cầu của bài toán thành các dạng sau: 
3-1) Tìm m để hàm số (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
Û Phương trình (2) có nghiệm 1 2
0
0 (0) 0
0
t t g
S
D >ì
ï= < Û =í
ï >î
3-2) Tìm m để hàm số (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt 
Û Phương trình (2) có nghiệm 
1 2
1 2
0 0
0
0
0
t t P
t t
S
< < Û <é
ê D =ìê îë
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
3-2) Tìm m để hàm số (C) cắt Ox tại 1 điểm 
Û Phương trình (2) có nghiệm 
1 2
1 2
0
0
0
0
0
0
t t
S
t t
S
é D >ì
< = Û íê <îê
ê D =ìê = = Û í =ê îë
Trên đây là sự mở rộng bài toán cùng hướng giải quyết theo lý thuyết “ Tam thức bậc hai và 
ứng dụng”. Chúng ta sẽ bàn lại bàn toán này cùng các phương pháp đặc sắc hơn như “ Ứng 
dụng tính biến thiên”, “Phương pháp cực trị”trong các bài toán tiếp theo. 
Bài tập 4: (Đề dự bị 2003) Tìm m để đồ thị hàm số 2( ) : ( 1)( )C y x x mx m= - + + cắt Ox tại 3 
điểm phân biệt. 
Bài giải: TXĐ: D R= . Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 
 2
2
1
( 1)( ) 0 (1)
( ) 0 (2)
x
x x mx m
g x x mx m
=é
- + + = Û ê = + + =ë
Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 
 Û Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 
Y.c.b.tÛ
( )
( ) ( )2
11 1 2 0 1;0 4; \2
24 0 0 4g
g m m
m
m m m m
ì= + ¹ì ¹ -ï ï ì üÛ Û Î -¥ È +¥ -í í í ý
D = - > î þï ïî î
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là ( ) ( ) 1;0 4; \
2
m ì üÎ -¥ È +¥ -í ý
î þ
. 
Trong bài tập trên, đề bài đã “trình bày” tương đối dễ thương vì đã có dạng . 0A B = . Chúng ta 
thay đổi một tí xem sao: 
Bài tập 5: (ĐHKT-98) Cho hàm số 3 23 1 (C)= + +y x x . Đường thẳng đi qua ( 3;1)A - và có hệ 
số góc bằng k . Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. 
Bài giải: TXĐ: D R= . 
 Đường thẳng d đi qua ( 3;1)A - và có hệ số góc k có phương trình: 
 ( ) ( ): 1 3 3 1- = + Û = + +d y k x y k x 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2 2
2
2
3 1 3 1 (1) 3 3 3 3
3
3 0
 (2)
+ + = + + Û + = + Û + = +
= -é
Û + - = Û ê =ë
x x k x x x k x x x k x
x
x x k
x k
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 
 Û Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 3- . 
Y.c.b.tÛ ( ) { }
0
0; \ 9
9
k
k
k
>ì Û Î +¥í ¹î
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là ( ) { }0; \ 9k Î +¥ . 
Các em chú ý, kỹ thuật phân tích ( ) ( )3 2 3 23 1 3 1 (1) 3 3+ + = + + Û + = +x x k x x x k x , tạo ra 
được sự thuận lợi trong quá trình phân tích. Còn không, chúng ta phải đoán được nghiệm và 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
phân tích theo sơ đồ Hoc-ner. Đoán không được nghiệm thì sao nhỉ??? 
 Chúng ta xét tiếp bài tập sau: 
Bài tập 5: Tìm m để đồ thị hàm số (C): 31
3
y x x m= - - cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài giải: TXĐ: D R= . 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 
 3 31 10
3 3
 (1)x x m x x m- - = Û - = 
Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û Đồ thị ( ) 31' :
3
C y x x= - cắt : //d y m Ox= tại 3 điểm 
phân biệt. 
 Xét 31( )
3
g x x x= - . Ta có: / 2 /
21
3( ) 1 ( ) 0
21
3
x y
g x x g x
x y
é = Þ = -ê
= - Þ = Û ê
ê = - Þ =êë
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 2 2
3 3
mÛ - < < . 
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là: 2 2;
3 3
m æ öÎ -ç ÷è ø
. 
DẠNG 3: SỐ GIAO ĐIỂM VÀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI HỌ ĐỒ THỊ 
Phương pháp: 
 Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): ( ) ( ) =f x g x (1) 
 Bước 2: Biện luận số nghiệm và tính chất nghiệm của (1). 
Nhận xét: Rõ ràng hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của (1) nên số giao điểm và tính chất 
giao điểm cũng là số nghiệm và tính chất nghiệm của (1).Điều này, đưa yêu cầu từ Giải tích sang việc 
biện luận phương trình sơ cấp mà chúng ta đã biết. 
-2
3
2
3
1
_+ +
-1
0
g(x)
g'(x)
x
0
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
CHÚ Ý: MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG 
Bài toán 1: Xác định tham số để đồ thị hàm số 3 2( ) : ( 0)C y ax bx cx d a= + + + ¹ cắt trục hoành 
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 
Phương pháp: 
Sử dụng: Điều kiện cần và đủ đối với phương trình: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 
Bước 1: Điều kiện cần: 
- Giải sử phương trình (1) có 3 nghiệm 1 2 3 1 2 3, , ( )x x x x x x< < . Khi đó theo định lý Viet đ/v 
phương trình (1): 
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
bx x x a
cx x x x x x a
dx x x a
ì + + = -
ï
ï + + =í
ï
ï = -î
- Để 1 2 3 1 2 3, , ( )x x x x x x< < lập thành CSC thì 1 3 2 22 3 bx x x x a+ = Û = - 2 3
bx aÛ = - 
.Thay vào (1) mÞ 
Bước 2: Điều kiện đủ: Với m tìm được giải pt (1) và kết luận. 
Lưu ý: Tư duy thuật toán còn áp dụng cho bài toán: 3 nghiệm lập thành CSN. Tất nhiên, phương pháp 
nêu trên chỉ mang tính gợi ý, còn trong rất nhiều TH khác thì sẽ có các cách khác tốt hơn. 
BÀI TẬP: 
1) (ĐHYHCM-98) Xác định m để đồ thị hàm số 3 23 9y x x x m= - - + cắt trục hoành tại 3 điểm 
phân biệt với hoành độ lập thành một cấp số cộng. 
2) (ĐHYHCM-96) Tìm a để đường thẳng y x= cắt đồ thị 3 2 3( ) : 3 4C y x ax a= - + tại 3 điểm phân 
biệt A, B, C với AB BC= . 
Bài toán 2: Xác định tham số để đồ thị hàm số 4 2( ) : ( 0)C y ax bx c a= + + ¹ cắt trục hoành tại 4 
điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 
Phương pháp: 
Lập hương trình hoành độ giao điểm: 4 2 0ax bx c+ + = (2) 
- Đặt 2 0t x= ³ : (2) có dạng: 2 0at bt c+ + = (3). Lý luận: Để (2) có 4 nghiệm phân biệt 
khi chỉ khi (3) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 1 2, : 0t t t t< < (4) 
- Lúc đó(2) có 4 nghiệm: 2 1 1 2, , , t t t t- - . 
Các nghiệm này lập thành CSC khi 2 1 1 2 1 2 1
1 2 1
2
3 9
2
t t t
t t t t
t t t
ì- + = -ï Û = Û =í
- + =ïî
. 
- Áp dụng định lý Viet đ/v phương trình (3): 
211 2
2 1
1 2 2
9S10 vµ 9 Tõ ®©y:(*) = hay
100 (*) 9
10
Stt t S
t t P
t t P St
ì =+ =ì ï= Þ Ûí í= =î ïî
 29 100S P= (5) 
- Kết hợp (4) và (5) nhận được điều kiện của tham số. 
BÀI TẬP: 
1) (ĐHY-D-HCM-98) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2( ) : 2( 1) 2 1C y x m x m= - + + + cắt trục 
hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.