Chuyên đề Khảo sát hàm số - Chủ đề 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Chủ đề 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I- LÝ THUYẾT: 
 Cho hàm số ( )y f x= , có đồ thị (C). 
 1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x y CÎ : 
 /0 0 0 ( )( ) - = -y y f x x x (*) 
Lưu ý: 
 + Điểm ( )0 0 0; ( )M x y CÎ được gọi là tiếp điểm. 
+ Đường thẳng bất kỳ đi qua ( )0 0 0;M x y có hệ số 
 góc k , có phương trình: 0 0 ( ) - = -y y k x x 
+ Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại ( )0 0 0; ( )M x y CÎ 
có hệ số góc ( )/ 0k f x= . Hay hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: ( )/k f x= 
Rõ ràng, tiếp tuyến của (C) hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc 
hoành độ tiếp điểm. 
2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số ( ), (C)y f x= và ( ), (C')y g x= . 
 (C) và (C’) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
/ /
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=ì
í
=î
Đặc biệt: Đường thẳng y kx m= + là tiếp tuyến với ( ), (C)y f x= khi chỉ khi hệ sau có 
nghiệm: /
( )
( )
f x kx m
f x k
= +ì
í
=î
II- LUYỆN TẬP: 
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( )y f x= tại tiếp điểm. 
Phương pháp: Bước 1: Xác định tiếp điểm ( )0 0 0; ( )M x y CÎ . Tính hệ số góc ( )/ 0k f x= . 
 Bước 2: Áp dụng: /0 0 0 ( )( ) - = -y y f x x x 
1) (TN07-KPB) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 21
2 1
y x
x
= + -
-
 tại điểm (0;3)A . 
2) (TN07-BT L2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 3 2y x x= - + tại điểm (2;4)A . 
3) (TN07-L 2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1
2
xy
x
-
=
+
 tại giao điểm của (C) và Oy. 
4) (TN 94-95) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 
2
1
x xy
x
- +
=
+
 tại các giao điểm của (C) và Ox. 
5) (TN 01) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 31 3
4
y x x= - tại ( )M CÎ có hoành độ 2 3x = . 
6) (ĐHCĐ 01) Tìm điểm M 3 2( ) : 2 3 12 1C y x x xÎ = + - - sao cho tiếp tuyến tại M qua gốc toạ độ. 
7) (HVQHQT01) Trong tất cả các tiếp tuyến của (C): 31 1
3
y x x= - + , tìm tiếp tuyến có hệ số góc 
nhỏ nhất. 
8) Tìm trên (C): 3 23 3 1y x x x= - + - + những điểm mà tại đó tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 
9) Tìm điểm M
2 2( ) :
2
x xC y
x
+ -Î =
-
 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục toạ độ tại A, B 
sao cho tam giác OAB vuông cân tại O. 
x
y
O
(C)
MO
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
10) ( Khối A -2011) Cho hàm số - +=
-
1
2 1
xy
x
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường 
thẳng y x m= + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi 1 2, k k lần lượt là hệ số góc của các 
tiếp tuyến tại A và B. Tìm m để tổng 1 2k k+ đạt giá trị lớn nhất. 
11) (ĐH Huế 00) Tìm tất cả các cặp điểm trên (C): 1
1
y x
x
= +
+
 mà các tiếp tuyến tại đó song song 
với nhau. 
12) Tìm m để các tiếp tuyến với (C): 4 22 2 1y x mx m= - + - + tại (1;0), ( 1;0)A B - vuông góc nhau. 
13) (Dự bị 07) Tìm m để ( ) :mC 1 2
my x
x
= - + +
-
 có CĐ tại A sao cho tiếp tuyến với ( )mC tại A 
cắt Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân. 
14) (Dự bị 07) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C):
1
xy
x
=
-
 sao cho d cắt hai đường tiệm cận 
của (C) tạo thành 1 tam giác cân. 
15) (Dự bị 06) Cho điểm 0 0 0
3( ; ) ( ) :
1
xM x y C y
x
+Î =
-
. Tiếp tuyến của (C) tại 0M cắt các tiệm cận 
của (C) tại các điểm A và B. CMR: 0M là trung điểm của AB. 
16) Tìm m để các tiếp tuyến của (C): 4 22 2 1y x mx m= - + - + tại (1;0), ( 1;0)A B - vuông góc với 
nhau. 
17)* (Đề 65) Xác định m để đường thẳng 1y = cắt ( ) 3 2: 3 1mC y x x mx= + + + tại 3 điểm C(0; 1), 
D và E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau. 
18) (HVCNBCVT-01) Cho hàm số 3 3 (C)y x x= - . 
 a. CMR: Khi m thay đổi thì đường thẳng : ( 1) 2d y m x= + + luôn cắt (C) tại A cố định. 
 b. Xác định m để d cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B 
và C vuông góc với nhau. 
19) Tìm trên đồ thị (C): 
1
xy
x
=
-
 các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại các 
điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8. 
20)** (Đề 41) Cho hàm số 
2 2x mx my
x m
- +
=
+
(C). CMR: Nếu (C) cắt Ox tại 0x x= thì hệ số góc của 
tiếp tuyến tại đó là 0
0
2 2x mk
x m
-
=
+
. Xác định m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và 2 tiếp tuyến 
tại hai điểm đó vuông góc với nhau. 
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( )y f x= tại khi biết hệ số góc 0k 
Phương pháp: Bước 1: Giải phương trình ( )/0k f x= có các nghiệm 1 2, ,..., nx x x . Suy ra các 
tiếp điểm ( ); ( )i i iM x y CÎ 
 Bước 2: Áp dụng: 0 ( )i iy y k x x- = - 
1) (TN06-KHTN) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C): 
2 5 4
2
x xy
x
- +
=
-
, biết các tiếp tuyến đó 
song song với đường thẳng 3 2006y x= + . 
2) (Khối D-05) Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) 3 21 1: 
3 2 3m
mC y x x= - + có hoành độ bằng 1- . Tìm 
m để tiếp tuyến của ( )mC tại M song song với đường thẳng: 5 0.x y- = 
3) (Khối B-06) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C): 
2 1
2
x xy
x
+ -
=
+
, biết các tiếp tuyến đó 
vuông góc với đường thẳng 1y x= - . 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
4) (ĐHXD 98) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 233
2
y x x= + , biết tiếp tuyến song song với 
đường thẳng y kx= . 
5) (ĐHTH 92) Cho hàm số 3 24 4 1y x x x= + + + . Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có 
hệ số góc k . Viết phương trình đường thẳng chứa A, B theo k . 
Dạng 3: 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( )y f x= biết tiếp tuyến đi qua ( )0 0 0;M x y 
Phương pháp Bước 1: Đường thẳng bất kỳ qua 0M có hệ số góc k : 0 0( )y y k x x- = - 
 Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc. 
1) (Dự bị 05) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 
2 1
1
x xy
x
+ +
=
+
, biết tiếp tuyến qua ( 1;0)M - . 
2) (Dự bị 04) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1y x
x
= + , biết tiếp tuyến qua ( 1;7)M - . 
3) (Dự bị 05) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C): 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
. CMR: Không có 
tiếp tuyến nào của (C) đi qua I. 
4) (Dự bị 06) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 
4
22( 1)
2
xy x= - - , biết tiếp tuyến qua (0;2)A . 
5 (Dự bị 07)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 22 6 5y x x= - + - ,biết tiếp tuyến qua ( 1; 13)A - - 
6) (Dự bị 07)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1
2 1
xy
x
- +
=
+
,biết tiếp tuyến qua giao điểm của 
đường tiệm cận và trục Ox. 
7) (ĐHĐĐ00) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 22 3 1y x x= + - ,biết tiếp tuyến qua (0; 1)A - . 
8) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 2y x x= + ,biết tiếp tuyến qua ( 2; 4)N - - . 
9) (PVBCTT 01) CMR: Từ điểm (1; 4)A - có 3 tiếp tuyến với (C): 3 22 3 5y x x= + - . 
10) (ĐHCĐ 01) Tìm điểm M trên (C): 3 22 3 12 1y x x x= + - - , sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi 
qua gốc toạ độ. 
11) Tìm trên đường thẳng : 2d x = những điểm mà tại đó có thể kẻ đến (C): 3 23y x x= - có đúng 3 
tiếp tuyến. 
12) CMR: Qua điểm (0;1)M có 3 tiếp tuyến của (C): 
4
22 1
2
xy x= - + . Viết pt các tiếp tuyến đó. 
13)* Tìm trên đường thẳng 2y = - các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C): 3 23 2y x x= - + hai 
tiếp tuyến vuông góc với nhau. 
14) (Dược HN 99) CMR: Có hai tiếp tuyến của (C): 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
 đi qua (1;0)I và vuông góc 
với nhau. 
15) (HVCNBCVT99) Tìm các điểm thuộc (C): 3 23 2y x x= + - mà qua đó kẻ được một và chỉ một 
tiếp tuyến với đồ thị (C). 
16)* (ĐHYHMC-98) Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị: 
(C): 4 22 1y x x= - - . 
17) (ĐHQGHN98) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp 
tuyến tới đồ thị (C): 1
1
xy
x
+
=
-
. 
18) (ĐHQGHCM99) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp 
tuyến tới đồ thị (C): 
22
1
x xy
x
+
=
+
. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
19) (ĐHSPII-98) Tìm số tiếp tuyến có thể có với đồ thị hàm số (C): 
2 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 đi qua mỗi điểm 
của đồ thị (C). 
20)* (ĐHKT 98) Tìm trên Oy các điểm sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm 
số (C): 
22 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 
Chủ đề 5: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ 
I- LÝ THUYẾT: Cho hai đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x= và ( )' : ( )C y g x= . 
 Để (C) và (C’) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
/ /
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=ì
í
=î
Đặc biệt: Đường thẳng y kx m= + là tiếp tuyến với 
( ) (C)y f x= khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
/
( )
( )
f x kx m
f x k
= +ì
í
=î
II- LUYỆN TẬP: 
1) (ĐHD-02) Tìm m để (C): 
2(2 1)
1
m x my
x
- -
=
-
 tiếp xúc với đường thẳng y x= . 
2) (Đề 52) Với giá trị nào của a thì (C):
2 3 2 1
2
ax ax ay
x
+ + +
=
+
 tiếp xúc với đường thẳng y a= 
3) (Đề 28) Xác định m để (C): 3 22 3( 3) 18 8y x m x mx= - + + - tiếp xúc trục hoành. 
4) (ĐHQGHN-95) Xác định a để 2 2( ) : ( 1) ( 1)C y x x= + - tiếp xúc với 2( ) : 3P y ax= - . 
5) (Đề 23) Với giá trị nào của m thì (C):
2( 1)( 2 ) 4m x x my
mx m
- - + +
=
+
 tiếp xúc với đường thẳng 
1y = . 
6) (ĐHNN-98) Tìm các giá trị của m để (C): 2( 1)( )y x x mx m= - + + tiếp xúc trục hoành. Xác 
định toạ độ các tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được. 
7) Chứng minh rằng: Các đồ thị của hàm số 2 1( ) 3 4, ( ) 1f x x x g x
x
= - + = + và ( ) 4 6h x x x= - + 
tiếp xúc với nhau tại một điểm. 
8) Chứng minh (P): 2 3 1y x x= - - tiếp xúc với (C): 
2 2 3
1
x xy
x
- + -
=
-
. Viết phương trình tiếp tuyến 
chung của (P) và (C). 
9) (ĐHTM 98) Tìm m để đồ thị (C): 3 2 2 22 (4 1) 4y mx m x m= - + + tiếp xúc trục hoành. 
10) Tìm m để hai đường cong: 3 ( 1) 2y x m x= - + - và 2 2y x x= + - tiếp xúc nhau. Viết phương 
trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó. 
11) Chứng minh rằng: Hai đường cong: 3 22 9y x x x= + - + và 3 2 3 5y x x x= + + + tiếp xúc nhau. 
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó. 
12) Tìm m để hai đường cong: 2( 1) ( 1) 4
2
my x x m xæ ö= + + + + +ç ÷è ø
 và 2 5 4y x x= + + tiếp xúc nhau. 
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó. 
13) Tìm m để (C): 
2 1
1
x xy
x
- +
=
-
 tiếp xúc với (P): 2y x a= + . 
14) Chứng minh rằng: m" họ đường cong 
2
m
( 2) ( 2 4)
f ( )
m x m m
x
x m
- - - +
=
-
 luôn tiếp xúc với 
đường thẳng : 6.y xD = - 
x
y
M0
(C')
(C)
o