Chuyên đề Khảo sát hàm số (các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số)

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
(Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số)
CHUYÊN ĐỀ I: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm :
 Phương pháp giải: 
 + Phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm có dạng: (1)
 + Tính (ta thay vào (1))
 + Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là: 
 Lưu ý:
 +Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
 +Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
Ví dụ mẫu: Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ .
Giải: 
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có dạng:
 + Ta có: 
 + Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm là:
 b) + 
 + 
 + Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là:
 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
( chú ý là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm)
 Phương pháp giải: 
 + Gọi là tọa độ tiếp điểm
 + Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên ta có: (*)
 + Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm bài toán trở về dạng 1
 Chú ý: 
 + Đường thẳng có hệ số góc k=a.
 + Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.
 + Hai đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc của chúng bằng -1.
 + Tiếp tuyến song song với đường thẳng  sẽ có hệ số góc k
 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  sẽ có hệ số góc 
Ví dụ mẫu: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến có hệ số góc k=9.
Giải: 
 + 
 + Gọi là tọa độ tiếp điểm
 + Vì tiếp tuyến có hệ số góc k=9 nên ta có: 
 + Với 
 Vậy phương trình tiếp tuyến là: 
 + Với 
 Vậy phương trình tiếp tuyến là: 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1:
Câu 1:(TNBT_2011) 
 Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung. 
Câu 2:(TNBT_2010)
 Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = −1. 
Câu 3:(TNBT_2008)
 Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm 
Câu 4:(TNBT_2008_2)
 Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 3.
Câu 5:(TNBT_2007)
 Cho hàm số , gọi đồ thị hàm số là (C) .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm .
Câu 6:(TNBT_2007_2)
 Cho hàm số , gọi đồ thị hàm số là (C) .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm .
Câu 7:(TNPT 2008)
 Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng 2.
Câu 8:(TNPT 2007) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Câu 9:(TNPT 2007_2) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực đại của .
Dạng 2
Câu 1:(TN_2009) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng 
Câu 3: Cho hàm số 
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=-1 vuông góc với đường thẳng 
Câu 4: Cho . Viết phương trình tiếp tuyến với (C)  biết tiếp tuyến này vuông góc với 
Câu 5: Cho (C)  
a) Viết phương trình tiếp tuyến cới (C)  biết tiếp tuyến này song song với 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)  biết tiếp tuyến này vuông góc với 
CHUYÊN ĐỀ II: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
 Phương pháp giải: 
 Để biện luận phương trình  (*) (m là tham số ) bằng phương pháp đồ thị, ta tiến hành như sau:
Biến đổi phương trình về dạng: 
Xét các hàm số:  có đồ thị , hàm số  có đồ thị  
 Khi đó phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị  và , nên số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của hai đồ thị, do vậy ta thay bài toán biện luận phương trình bằng bài toán biện luận số điểm chung của hai đồ thị
Khảo sát và vẽ đồ thị  của hàm số 
Dựa vào đồ thị , biện luận theo m số điểm chung của  và , từ đó suy ra số nghiệm của phương trình
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán
 Ví dụ mẫu: Cho hàm số 	(C)
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
 b. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương .
 Giải: 
Tự làm
(*) 
 Vậy số nghiệm của PT(*) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m
 Dựa vào đồ thị ta có:
 + m<1: Phương trình có 1 nghiệm 
 + m=1: Phương trình có 2 nghiệm phân biêt
 + 1<m<4: Phương trình có 3 nghiệm phân biêt
 + m=4: Phương trình có 2 nghiệm phân biêt
 + m>4: Phương trình có 1 nghiệm 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho hàm số :   
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình : 
Câu 2: TNPT-2010
 Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 
Câu 3: TNPT-2008
 Cho hàm số . Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Câu 4: TNPT-2006
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm sè .
 b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Câu 5: Cho hàm số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6: Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 
Câu 7: Cho hàm số có đồ thị (C).
a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương có 4 nghiệm phân biệt. 
Câu 8: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Biện luận số nghiệm của phương trình 
Câu 9: Cho hàm số (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 
CHUYÊN ĐỀ III: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Tìm giao điểm của hai đường cong và 
 + Lập phương trình hoành độ giao điểm: 
 + Giải và biện luận (*)
 + (*) vô nghiệm và không có điểm chung.
+ (*) có n nghiệm và có n điểm chung
+ (*) có nghiệm đơn cắt tại 
+ (*) có nghiệm kép tiếp xúc tại .
 Chú ý: Điều kiện để tiếp xúc có nghiệm.
 Trường hợp đặc biệt: tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành thì ta giải pt: y=0
 Ví dụ mẫu: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị và đồ thị 
 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 
 Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại 2 điểm 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: (TNPT_2011) 
 Cho hàm số . Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng .
Câu 2: (TNBT-2009)
 Cho hàm số . Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng y=4.
Câu 3: Cho hàm số . Xác định m đề đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 4: Cho hàm số có đồ thị (C)
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
 b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .
Câu 5: Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
 b. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 6: Cho hàm số (1) 
	Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
CHUYÊN ĐỀ IV: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị
 Hàm bậc 3: 
 (chú ý: hàm bậc 3 hoặc không có cực trị hoặc chỉ có 2 cực trị)
+ Hàm số có cực trị hoặc có 2 cực trị có hai nghiệm phân biệt 
 Ví dụ: cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai cực trị.
 Giải: 
 Hàm số có 2 cực trị có hai nghiệm phân biệt
 Vậy thì hàm số có 2 cực trị.
 Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm. 
 + Hàm số có cực trị tại 
 + Hàm số đạt cực đại tại 
 + Hàm số đạt cực tiểu tại 
 Ví dụ: Tìm m để hàm số  đạt cực tiểu tại x=2
 Giải + Tập xác định: D=R
 + Đạo hàm , 
 + Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x=2 là: 
 Vậy m=3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho hàm số 
a. Chứng minh hàm số có cực trị với mọi m
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Câu 2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
CHUYÊN ĐỀ V: ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN
 Phương pháp giải:
 + Tìm tập xác định
 + Tính đạo hàm
 + Nếu thì hàm số y=f(x) đồng biến trong khoảng .
 + Nếu thì hàm số y=f(x) nghịch biến trong khoảng .
 Kiến thức cần nhớ: 
 Ví dụ: Tìm m đề hàm số đồng biến trên R
 + Tập xác định 
 + 
 + Hàm số đồng biến trên R 
 Vậy thì hàm số đồng biến trên R.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho hàm số . Xác định m để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
Câu 2: Cho hàm số . Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Câu 3: Xác định m để hàm số luôn đồng biến
CÁC BÀI TẬP VỀ CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Hàm số bậc ba
Bài 1. Cho hàm số 	(C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ .
e.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Bài 2. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến .
e.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Bài 3. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : 
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
d.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Bài 4. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
c.Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
d.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 5. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : 
Bài 6. Cho hàm số 
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi .
b.Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :
c.Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị .
B. Hàm số trùng phương
Bài 1. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ .
e.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
Bài 2. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ .
e.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24
Bài 3. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
 thẳng .
e.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Bài 4. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.
Bài 5. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường
 thẳng .
Bài 6. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ .
Bài 7. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
e.Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 9. Cho hàm số 
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
b.Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình .
c.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại .
C. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến .
e.Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 2. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
d.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
e.Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm .
Bài 3. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
Bài 4. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
c.Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
d.Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
Bài 5. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
Bài 6. Cho hàm số (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b.Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy
c.Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên