Chuyên đề: Khảo sát hàm số - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Các kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = xác định trên K
	* Hàm số y = đồng biến trên K nếu 
	* Hàm số y = nghịch biến trên K nếu 
 Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2. Định lý : Cho hàm số y = xác định trên K
	a) Nếu thì hàm số đồng biến trên K
	b) Nếu thì hàm số nghịch biến trên K
3. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số có đạo hàm trên K
	a) Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
	b) Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
 c) Nếu thì không đổi trên K 
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 
	Quy tắc : 
 + Tìm tập xác định của hàm số
	+ Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm 
 bằng 0 hoặc không xác định 
	+ Lập bảng biến thiên
	+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bài tập : 
1. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. c. 
 d. e. f. 
 g. h. i. 
2. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. 
 d. e. f. 
 g. h. i. 
3. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. c. d. 
 e. f. g. h. 
	4. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. d. 
 e. f. g. h. 
	5. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 
 a. b. c. 
	6. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số :
 a. b. 
Bài tập 4 , 5, 6 dành cho học sinh khá , giỏi
Dạng 2 : Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên K cho trước 
	Phương pháp : Xét hàm số trên K
 ¬ Tính 
	¬ Nêu điều kiện của bài toán :
 + Hàm số đồng biến trên K 
 + Hàm số nghịch biến trên K 
	¬ Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam 
 thức bậc hai để tìm m
	Ø CHÚ Ý : Cho hàm số 
	 u	 
 u 
Bài tập 
Tìm m để hàm số : luôn giảm trên 
Tìm m để hàm số : đồng biến trên 
Cho hàm số . Xác định m để :
Hàm số đồng biến trên miền xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Cho hàm số . Xác địn m để :
Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó
Hàm số nghịch biến với mọi 
Tìm m để hàm số nghịch biến trên 
Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +¥).	
Tìm m để hàm số đồng biến trên 
Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Tìm m để hàm số đồng biến trên (–1; +¥).
 Tìm m đề :
 a) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1	
	 b) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3
	 c) đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức 
	Phương pháp : 
 Trường hợp 1 : Bất đẳng thức chỉ có 1 biến 
 Giả sử muốn chứng minh trên 
 + Đưa bất đẳng thức trên về dạng : 
 + Tính và xét dấu . Suy ra tăng hay giảm trên 
	 + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận
	Trường hợp 2 : Bất đẳng thức có hai biến	
 + Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng : 
 + Xét tính đơn điệu của trong 
 + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận
Bài tập : 
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) b) c) 
d) e) 
 e) 
 2. Cho hàm số 
 a) Tính đạo hàm của hàm số
	b) Chứng minh rằng : . Ta có : 
Bài 2 : CỰC TRỊ HÀM SỐ
Các kiến thức cần nhớ : 
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 Î (a; b).
a) f(x) đạt CĐ tại x0 Û $h > 0, f(x) < f(x0), "x Î (x0-h ;x0 + h)\ {x0}.
b) f(x) đạt CT tại x0 Û $h > 0, f(x) > f(x0), "x Î (x0-h ;x0 + h)\ {x0} .
Chú ý:
a) Điểm cực trị của hàm số; Giá trị cực trị của hàm số; Điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b) Nếu y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x0 Î (a; b) thì f¢(x0) = 0.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = và có đạo hàm trên K hoặc K \ {x0} (h > 0).
a) f¢(x) > 0 trên ,f¢(x) < 0 trên thì x0 là một điểm CĐ của f(x).
b) f¢(x) 0 trên thì x0 là một điểm CT của f(x).
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Qui tắc 1:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f¢(x). Tìm các điểm tại đó f¢(x) = 0 hoặc f¢(x) không xác định.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lí 2:
Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong (h > 0). 
a) Nếu f¢(x0) = 0, f¢¢(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f¢(x0) = 0, f¢¢(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Qui tắc 2:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f¢(x). Giải phương trình f¢(x) = 0 và kí hiệu xi là nghiệm
3) Tìm f¢¢(x) và tính f¢¢(xi).
4) Dựa vào dấu của f¢¢(xi) suy ra tính chất cực trị của xi.
Các dạng toán thường gặp 
Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số theo qui tắc 1
1. 2. 3. 
4. 5. 6. 
7. 8. 9. 
10. 11. 12. 
13. 14. 15. 
16. 17. 18. 
19. 20. 21. 
Dạng 2 : Tìm cực trị của hàm số theo qui tắc 2
	1. 2. 3. 
	4. 5. 6. 
Dạng 3 : Điều kiện để hàm số đạt cực trị 
Phương pháp :
Tìm tập xác định D của hàm số
Tính 
Hàm số đạt cực trị tại đổi dấu khi qua 
Một số chú ý :
Hàm số có cực trị ( cực đại và cực tiểu ) có hai nghiệm phân biệt
Xét hàm số trùng phương : 
+ Hàm số có ba cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
+ Hàm số có một cực trị có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm 
Bài tập :
Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu :
a. b. 
c. d. 
e. f. g. h. i. 
2. Tìm m để hàm số sau có cực trị : 
a. b. 
c. d. 
3.Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu
	a. b. 
4. Tìm m để hàm số sau có cực đại : 
5. Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu
6. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị :
	a. b. 
Dạng 4 : Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Tìm tập xác định D của hàm số
Tính 
Đặt điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Từ điều kiện này sẽ xác định được giá trị của tham số
Bài tập :
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 
Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại 
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 
Cho hàm số . Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại 
Cho hàm số .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là 
. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị tại 
. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung
 Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ thỏa : 
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng