Chuyên đề Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
1 
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 
PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Hoán vị 
* Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự 
được gọi là một hoán vị của n phần tử của A . 
* Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là nP n! 1.2.3. ... .n  . 
Quy ước: 0P 0! 1  . 
2. Chỉnh hợp 
* Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần 
tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử 
của A . 
* Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là 
 
     kn
n!A n n 1 n 2 ... n k 1
n k !
     

. 
Quy ước: 0nA 1 . 
3. Tổ hợp 
* Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần 
tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . 
* Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: 
 
     kk n
n
n n 1 n 2 ... n k 1A n!C
k ! k ! n k ! k !
   
  

. 
Quy ước: 0nC 0 . 
* Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp: 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
2 
+) k n kn nC C
 . 
+) k k k 1n 1 n nC C C

   (Hằng đẳng thức Pa-xcan). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
3 
PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH 
Loại 1. Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp 
A. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau 
1) 
n
k 2
k 1 11
k! n!

 
với n , n 2 . 
2)    3 n n nn n 2n 3nP C C C 3n ! với n . 
3) 
n
2
k 2 k
1 n 1
nA

 với n ; n 2 . 
Giải 
1) Ta có 
n
k 2
k 1
k !
  
n
k 2
1 1
k 1 ! k !
 
  
 
 
 
1 1 1 1 1 1...
1! 2! 2! 3! n 1 ! n!
    
                
11
n!
  (ĐPCM). 
2) Ta có  3 n n nn n 2n 3nP C C C    
 
 
 
 
3 2n ! 3n !n!n! . .
n! n n ! n! 2n n ! n! 3n n !

  
      
3 2n ! 3n !n!n! . .
n!0! n!n! n! 2n !
 
 3n ! (ĐPCM). 
3) Với mọi k nguyên, 2 k n  ta có 
 
 2k
k !A k k 1
k 2 !
  

  
 2k
1 1 1 1
k k 1 k 1 kA
  
 
. 
Do đó 
n
2
k 2 k
1
A
 
n
k 2
1 1
k 1 k
 
   
 
1 1 1 1 1 1...
1 2 2 3 n 1 n
     
                
 11
n
  
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
4 
 n 1
n

 (ĐPCM). 
Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau 
1) [TN2007] 4 5 6n n n 1C C 3C   . 
2) [TN2005] n 1 n 2n 2 n 2 n
5C C A
2

   . 
3) [TN2003] 
y
x 1
y 1
x
y 1
x
y 1
x
C 6
5C
C 5
2C





 





. 
Giải 
1) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 5 . 
Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có 4 5 5n n n 1C C C   . Phương trình đã cho tương đương với 
5 6
n 1 n 1C 3C   
 
 
 
 
n 1 ! n 1 !
3
5! n 4 ! 6! n 5 !
 

 
  1 1
n 4 2


  n 6 (TMĐK). 
2) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 2 . 
Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có n 1 n nn 2 n 2 n 3C C C

    . Bất phương trình đã cho tương 
đương với 
n 2
n 3 n
5C A
2
  
 
 
n 3 ! 5 n!
n!3! 2 n 2 !



 
     
 
n 1 n 2 n 3
5
3n n 1
  


        n 1 n 2 n 3 15n n 1     
 3 2n 9n 26n 6 0    .  1 
Với mọi n 2 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 3n và 226n , ta có 
3 3 2 2 2n 26n 2 n .26n 2 26n 2.5n 10n     . 
Do đó   2 2 2VT 1 10n 9n 6 n 6 0        1 nhận mọi n 2 là nghiệm  BPT đã cho 
nhận mọi n 2 là nghiệm. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
5 
3) 
 
 
y
x 1
y 1
x
y 1
x
y 1
x
C 6 1
5C
C 5 2
2C





 





. Điều kiện để hệ có nghĩa: x , y nguyên, 1 y x 1   . 
Ta có  1   
 
   x 1 ! y 1 ! x y 1 ! 6.
y ! x y 1 ! x! 5
   

 
  
   
   
x 1 y 1 6
x y x y 1 5
 

  
.  3 
  2  
   
   y 1 ! x y 1 !x! 5.
y 1 ! x y 1 ! x! 2
  

  
  
   
 
x y x y 1 5
y y 1 2
  


.  4 
Nhân từng vế  3 và  4 ta có x 1 3
y

  x 3y 1  .  5 
Thay  5 vào  4 ta được 
 
 
2y 2y 1 5
y y 1 2



  
 
 
2y 2y 1 5
y y 1 2



  23y 9y 0  
  y 3 (chú ý tới điều kiện y 1 ) .  6 
Thay y 3 vào  5 ta được x 8 . 
Ta thấy cặp giá trị x 8 , y 3 thỏa mãn điều kiện để hệ có nghĩa. 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất    x;y 8;3 . 
Ví dụ 3. [ĐHD05] Tính giá trị của biểu thức 
 
4 3
n 1 nA 3AM
n 1 !
 

biết rằng 
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149       .  1 
Giải 
ĐK: n nguyên, n 3 . 
Ta có  VT 1  
 
   
 
 
 
n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 !
2. 2.
2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 !
   
   
  
             
n n 1 n 3 n 4
n 1 n 2 n 2 n 3
2 2
  
        
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
6 
  21 6n 24n 282   
 23n 12n 14   . 
Do đó  1  23n 12n 14 149    23n 12n 135 0    
 
 
thoûa maõn
loaïi
x 5
x 9
 

 
. 
Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau 
1) k k 1 k 2 k 3 kn n n n n 3C 3C 3C C C
  
    ,  1 
với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn 3 k n  . 
2) k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C ... C C
   
       ,  1 
với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k n . 
Giải 
1) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có 
  VP 1 k k 1n 2 n 2C C    
    k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1C C C C         
k k 1 k 2
n 1 n 1 n 1C 2C C
 
     
     k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C          
k k 1 k 2 k 3
n n n nC 3C 3C C
      
 VT 1 (ĐPCM). 
2) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có 
k k k 1
n n 1 n 1C C C

   
k k k 1
n 1 n 2 n 2C C C

    
 
k k k 1
k 1 k kC C C

   . 
Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước k kn 1 k 1C ... C   ở hai vế, ta được 
 knC 
k 1 k 1 k 1 k
n 1 n 2 k kC C ... C C
  
      
 k 1 k 1 k 1 k 1n 1 n 2 n 2 k 1C C ... C C
   
        (chú ý: 
k k 1
k k 1C 1 C

  ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
7 
Ví dụ 5. Chứng minh 
1 1 1 1 2
1! 2! 3! n!
    ,  1 
với *n . 
Giải 
Ta có 
  1  1 1 1 1
2! 3! n!
   .  2
Lại có 
 1 1 2 1 1 1
2! 1.2 1.2 1 2

    , 
1 1 3 2 1 1
3! 2.3 2.3 2 3

    , 
1 1 4 3 1 1
4! 3.4 3.4 3 4

    , 
  
 
 
 
n n 11 1 1 1
n! n 1 n n 1 n n 1 n
 
   
  
. 
Cộng từng vế n 1 đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được 
  VT 2 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 n 1 n
       
                      
 
 11 1
n
   (ĐPCM). 
Ví dụ 6. Cho *n . Tìm  k2n
k 0;2n
max C

. 
Giải 
1) Với k 0;2n 1  , xét tỷ số 
 
   
 
 
k 1
2n
k
2n
2n ! k ! 2n k !C 2n kT .
k 1 ! 2n k 1 ! 2n ! k 1C
  
  
   
. 
Ta có T 1  2n k 1
k 1



  12k n   k 0;n 1  , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. 
Thay từng giá trị của k vào T ta được 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
8 
1 0 n 1 n n 1 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C C
           . 
Vậy  k n2n 2n
k 0;2n
max C C

 . 
Ví dụ 7. [ĐHB06] Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử 
của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A . Tìm  k 1;2;...;n sao cho số tập con 
gồm k phần tử của A lớn nhất. 
Giải 
Mỗi một cách chọn k phần tử từ tập A cho ta một tập con gồm gồm k phần tử của A  số 
tập con gồm k phần tử của A là knC . 
Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nghĩa là 
4 2
n nC 20C     
n! n!20
4! n 4 ! 2! n 2 !

 
  
   
1 20
12 n 3 n 2

 
  2n 5n 234 0   
  
 
 
thoûa maõn
loaïi
n 18
n 13
 

 
. 
Vậy số phần tử của A là 18 . Với k 1;17 , xét tỷ số 
   
 k 118
k
18
k ! 18 k !C 18! 18 kT .
k 1 ! 17 k ! 18! k 1C
  
  
  
. 
Ta có T 1  18 k 1
k 1



  17k
2
  k 1;8 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. 
Thay từng giá trị của k vào T ta được 
1 2 8 9 10 17 18
18 18 18 18 18 18 18C C ... C C C ... C C        . 
Do đó  k k18 18
k 1;18
C max C

  k 9 . Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là tập con có số tập 
con lớn nhất. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
9 
B. Bài tập 
Bài 1. Chứng minh 
1)  n n 1 n 1P P n 1 P    với *n . 
2) 
k 1
k n 1
n
nC
C
k

 với k , *n , k n . 
3) 
   
2n 1 1
n! n 1 ! n 2 !
 
 
 với *n , n 2 . 
4) [ĐHB08] k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C 
 
  
   
 với k,n , 0 k n  . 
5) n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A
 
    với n , 
*k , k 2 . 
6) 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P A A A nk !A    với 
*n . 
7)  n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P ... n 1 P        với n ; n 2 . 
8) 
 2 3 n1 n n n
n 2 2 n 1
n n n
n n 1C C C
C 2 3 n
2C C C 

    với *n . 
9) 
2 3 n
1 2n n n
n n 11 2 n 1
n n n
C C C
C 2 3 ... n C
C C C

     với *n . 
10)  1.1! 2.2! 3.3! ... n.n! n 1 !      với *n . 
11) 
n
kk 1
k 1 1
P

 với *n . 
Bài 2. Chứng minh 
1) k 4 k k 1 k 2 k 3 k 4n 4 n n n n nC C 4C 6C 4C C
    
      , với k , n , 0 k n 4   ; 
2) n 1 n 1 n 1 n 1 nn n 1 n 2 2n 1 2nC C C C C
   
       với *n . 
Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 
1) 
 
 
n! n 1 ! 1
n 1 ! 6
 


. 
2) 
 
 
n 1 !
72
n 1 !



. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
10 
3)  
 
 
   
n 1 ! n n 1 !1 5 . 5
n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2!
  
  
     
. 
4) 3nA 20n . 
5) 5 4n n 2A 18A  . 
6) 5n 3 n n 5P 72A P  . 
7) 
   
4
n 4A 15
n 2 ! n 1 !
 
 
. 
8) y yy 1x x 1 x 1A : A : C 21: 60 :10

   . 
9) 
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90
5A 2C 80
  

 
. 
Bài 4. Cho *n . Tìm  k2n 1
k 0;2n 1
max C 
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
11 
C. Đáp số 
Bài 3 
1) 2 , 3 . 2) 8 . 3) 5 , 6 . 4) 6 . 
5) 10 . 6) 7 . 7) 3 , 4 , 5 . 8)    x;y 7;3 . 
9)    x;y 2;5 . 
Bài 4  k n n 12n 1 2n 1 2n 1
k 0;2n 1
max C C C   
 
  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
12 
Loại 2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán  ... 
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 11 2 12 3 8 2n n C C C C 207900  . 
Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 
học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ 
sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như 
vậy? 
Giải 
Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 41 12n C . 
Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy 
ta có sau phương án sau. 
+) Phương án 1: Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C . 
+) Phương án 2: Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C . 
+) Phương án 3: Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H. Theo quy tắc 
nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C . 
Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 2 3 4 12 5 4 4 5 4 4 5 4 4n n n n C C C C C C C C C C 225        . 
Ví dụ 8. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 
cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học 
sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau 
khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn. 
Giải 
Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại 
sách. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
16 
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là 612A 665280 . 
Số cách chọn sao cho không còn sách văn là 56A .7 5040 . 
Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là 4 26 8A .A 20160 . 
Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là 3 36 9A .A 60408 . 
Số cách chọn cần tìm là  665280 – 5040 20160 60480 579600   . 
Ví dụ 9. Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 
chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 . 
Giải 
Giả sử 1 2 3 4 5 6A a a a a a a là số cần lập. Để lập số A , ta lần lượt làm như sau 
*) Bước 1: Chọn vị trí cho chữ số 0 . Vì 1a 0 nên bước này có số cách thực hiện là 1n 5 
cách. 
*) Bước 2: Chọn vị trí cho chữ số 1 . Ta có hai phương án thực hiện bước này. 
+) Phương án 1: 1a 1 . Số cách chọn 4 vị trí còn lại là 
4
2 8n A . 
+) Phương án 2: 1a 1 . Vì 1a 1 và chữ số 0 đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí 
cho chữ số 1 có 3n 4 cách. Vì  1a 0;1 nên có 4n 8 cách chọn 1a . Số cách chọn 
3 chữ số cho 3 vị trí còn lại là 35 7n A . Theo quy tắc nhân thì số cách thực hiện 
phương án 2 là 36 3 4 5 7n n n n 32A  . 
Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là 4 37 2 6 8 7n n n A 32A    . 
Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là  4 31 7 8 7n .n 5 A 32A 42000   . 
Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . 
Giải 
* Giả sử 1 2 3 4 5A a a a a a là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số A ta lần lượt làm 
như sau 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
17 
+) Bước 1: Chọn 5a . A chẵn  5a chia hết cho 2   a 2;4;6;8 . Như vậy, bước này có 
1n 4 cách thực hiện. 
+) Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số 1a , 2a , 3a , 4a là một chỉnh 
hợp chập 4 của 8 phần tử    51;2;3;4;5;6;7;8;9 \ a nên số cách chọn các chữ số này là 
4
2 8n A . 
Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 41 2 8n n n 4.A 6720   . 
* Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí. 
+) Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số này ở 
hàng đơn vị là n 1680
4
 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 
 1680 2 4 6 8 33600    . 
+) Nếu cố định 4a 1 thì có 4 cách chọn 5a , 
3
7A cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số lần 
chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng chục là 374.A 840 . Vì vai trò của các chữ số 1 , 3 , 5 , 7 , 9 là 
như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 . 
Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720 5.840 2520  . Vì vai 
trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng 
chục cũng là 2520 630
4
 . 
Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là    840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600         . 
Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 . 
Vậy tổng các số lập được là  33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600      . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
18 
B. Bài tập 
Bài 1. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số 
đôi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện 
1) là số chẵn. 
2) chia hết cho 5 . 
Bài 2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được 
lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 
Bài 3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được 
lập từ các chữ số 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 
Bài 4. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. 
Biết chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. 
Bài 5. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. 
Biết chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi 
một khác nhau. 
Bài 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết 
cho 2 . Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. 
Bài 7. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một 
khác nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4 . 
Bài 8. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số 
biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó. 
Bài 9. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số 
thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn 
chữ số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số 
đứng sau nó. 
Bài 10. Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh. 
1) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh. 
2) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ. 
3) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một bạn tên 
là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có 
hai bạn Long và Ngọc. 
Bài 11. Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và 
nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
19 
ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập ban cán sự này. 
Bài 12. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách 
lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, 
có cả nhà toán học và nhà vật lý. 
Bài 13. Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học. Hỏi có 
bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội. 
Bài 14. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm 3 người từ những thành viên nói trên sao 
cho trong đó có ít nhất 1 nam. 
Bài 15. Có bao nhiêu cách xếp 3 người bạn nam và 2 bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ 
ai đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới. 
Bài 16. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học 
sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đừng liền nhau. 
Bài 17. Có 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu 
cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên. 
Bài 18. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 cảnh sát làm 
nhiệm vụ ở khu vực A, 4 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và 2 người còn lại trực tại đồn. 
Bài 19. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán 3 tem 
thư lên 3 bì thư. 
Bài 20. Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người 
phải biểu diễn đúng một tiết mục. 
1) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến 
nữ nghệ sĩ biểu diễn. 
2) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do 
nam biểu diễn. 
Bài 21. Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa 
3 vật, hộp thứ hai chứa 2 vật, hộp thứ ba chứa 2 vật, hộp thứ tư chứa 3 vật. 
Bài 22. Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc 
Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm 3 
nữ và 4 nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh 
thủ. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
20 
Bài 23. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình 
thành hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh 
giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá. 
Bài 24. Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc 
bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này. 
Bài 25. Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam. Có bao nhiêu cách chia lớp 
thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có 
ít nhất hai nữ. 
Bài 26. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 
cặp anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh 
trên đi dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. 
Bài 27. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 
12 , 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội 
đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi. 
Bài 28. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 em 
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 .