Chuyên đề Hình giải tích trong không gian - Chủ đề 3: Phương trình đường thẳng

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
I-LÝ THUYẾT: 
 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 
 ( )1 2 3; ;a a a a
 là 1 vectơ chỉ phương của đt 0
// .
ad
a d
ì ¹Û í ºî

 
 2. Phương trình tham số: 
 Đường thẳng d đi qua 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có 1 vectơ chỉ phương ( )1 2 3; ;a a a a
 . 
0 1
0 2
0 3
 : ( ) 
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +ì
ï = + Îí
ï = +î
 (1) 
 3. Phương trình chính tắc: 
 Đường thẳng d đi qua ( )0 0 0 0; ;M x y z và có 1 vectơ chỉ phương ( )1 2 3; ;a a a a
 . 
 0 0 0
1 2 3
 : x x y y z zd
a a a
- - -
= = (2) ( )1 2 3 . . 0 a a a ¹ 
* Giới thiệu thêm: 
 4. Phương trình tổng quát: 
Đường thẳng d trong Oxyz được xem là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P), (Q). 
1 1 1 1 2 2 2 2( ) : 0; ( ) : 0P a x b y c z d Q a x b y c z d+ + + = + + + = 
 1 1 1 1
2 2 2 2
0
 ( ) ( ) : 
0
a x b y c z d
d P Q d
a x b y c z d
+ + + =ì
= Ç Û í + + + =î
 (3) 
Chú ý: Xác đ ịnh xác định vectơ chỉ phương của d như sau: 
 + Gọi a là 1 vtcp của d . 
 + Mp (P) có 1 vtp Pn
 
 Mp (Q) có 1 vtp Qn
 
 + Ta có: chän , 
^ìï é ùÞ =í ë û^ïî
 
  
 
P
P Q
Q
a n
a n n
a n
 5. Thuật toán: 
LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Thuật toán 1: 
 Bước 1: Xác định ( )0 0 0 0; ; .M x y z dÎ 
 Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương ( )1 2 3; ;a a a a
 của d . 
 Bước 3: Áp dụng công thức (1) hoặc (2). 
0 1
0 2
0 3
 : ( ) 
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +ì
ï = + Îí
ï = +î
 0 0 0
1 2 3
 : x x y y z zd
a a a
- - -
= = 
Thuật toán 2: Dựa vào phương trình tổng quát, xác định hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao 
tuyến là đường thẳng d cần tìm. (Theo yêu cầu bài toán) 
da'
a
M0
a
d
Q
P
d
Q
P
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
II- LUYỆN TẬP: 
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương và chuyển đổi các phương trình đường thẳng. 
Phương pháp: 
 * Vectơ chỉ phương: 0
// .
a
a d
ì ¹
í ºî

 
- Phương trình của đt dạng (1), (2) thì đường thẳng có 1 vtcp ( )1 2 3; ;a a a a
 . 
- Đối với phương trình dạng (3), thuật toán xác định vtcp đã có ở trên. 
 * Chuyển đổi giữa các loại phương trình: 
 1. Từ tham số sang chính tắc và ngược lại: 
0 1
0 0 0
0 2
1 2 3
0 3
 : ( ) 
x x a t
x x y y z zd y y a t t
a a a
z z a t
= +ì
- - -ï = + Û = = =í
ï = +î
2. Từ tham số sang tổng quát: 
0
0 1
1
0 2
0 3
 (4)
 : (5)
 (6)
x xx x a t t
a
d y y a t
z z a t
-ì = + Û =ï
ïï = +í
ï = +ï
ïî
Thay t từ (4) vào phương trình (5), (6). 
 3. Từ tổng quát sang tham số: 
 Bước 1: Chọn 1 điểm 0 0 0 0( ; ; ) .M x y z dÎ 
 ( VD: Từ phương trình (1) cho 0z = và giải ra , x y ) 
 Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương của d . 
BÀI TẬP: 
1) Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng cho bởi phương trình sau: 
1 2 3
5 6
1
0 3 2 0
a) : 2 3 ( ) b) : c) : 
3 6 0 4 2 1 0
3 4
2 5 0 1d) : e) : 2
2 3 0 3 2
x
x y x y z
y t t R
x y z x y z
z t
x y z x y z
x z
=ì
- = + + =ì ìïD = - Î D Dí í í+ + + = + + + =î îï = +î
- + + =ì -
D D = = +í - + =î
2) Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau: 
3 5 2 0 4 0
a) : b) : 
2 7 1 0 2 3 1 0
x y z x y
d
x y z x y z
- + - = + =ì ì
Dí í- + + = - - + + =î î
3) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng: 
1 1
1a) : 2 3 ( ) b) : 3 c) : 1 2 ( ) 
2 3
2 2
x t x t
x yd y t t R d z d y t t R
z t z
= - + = - +ì ì
-ï ï= - Î = = - = + Îí í
ï ï= =î î
4) Cho đường thẳng : 1 2
2
yd x z- = = - và điểm (1;0;1)A . Tìm trên d : 
a) Điểm M sao cho 2AM = . 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
b) Điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. 
c) Điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
d) Điểm M sao cho M cách đều A và mp ( ) : 3 4 1 0x ya - + = . 
5) Cho đường thẳng 
1
: 2 3
2
x t
y t
z t
= +ì
ïD = -í
ï =î
 và điểm (1;2;3)A . Xác định toạ độ: 
a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng D . 
b) Điểm /A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng D . 
6) Cho hai mặt phẳng ( ) : 3 2 0x ky za + - + = và ( ) : 2 1 0kx y zb - + + = . Tìm k để giao 
tuyến của ( ), ( )a b : 
a) Vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 5 0P x y z- - + = . 
b) Song song với mặt phẳng ( ) : 2 5 0P x y z- - + = . 
Dạng 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
1) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: 
a. Qua ( )2;0; 1A - và có 1 vectơ chỉ phương ( 1;3;5)u - . 
b. Qua ( )2;3; 1A - và ( )1;2;4B . 
c. Các đường thẳng qua điểm ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0; ; . . 0M x y z x y z ¹ và song song với 
mỗi trục toạ độ. 
2) Viết phương trình đường thẳng d : 
 a) Qua ( )4;3;1A và song song với đt 
1 2
: 3 ( )
3 2
x t
y t t R
z t
= +ì
ïD = - Îí
ï = +î
 b) Qua ( )1;2; 1A - và song song với đt: 1: 
2 3
x zy +D = = 
3) Viết phương trình đường thẳng d qua ( )2;1;0M - và: 
 a) Vuông góc với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). 
b) Vuông góc với mp ( ) : 2 2 1 0.x y za + - + = 
4) Viết phương trình đường thẳng d đi qua (2; 1;1)A - và vuông góc với hai đường thẳng: 
1 2: 1 ( ) : 1 2 ( ) 
2 0
x t x t
y t t R y t t R
z t z
= =ì ì
ï ïD = - - Î D = - Îí í
ï ï= =î î
5) Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua ( )3; 2;1A - và vuông góc với : 1
2 3
x zyD = - =
-
. 
6) Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0x y za + - + = và ( ) : 2 3 0x y zb + + + = . Chứng tỏ rằng hai 
mặt phẳng ( ), ( )a b cắt nhau và viết phương trình tham số của giao tuyến giữa hai mặt 
phẳng đó. 
7) Cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1; 2;5 , 3; 1;4 , 4;1; 3A B C- - - . Viết phương trình: 
 a) Cạnh BC. b) Đường trung tuyến AM. 
 c) Đường cao AH của tam giác ABC. d) Đường trung trực của cạnh BC. 
 e) Đường phân giác giác trong của góc A. 
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
8*) Viết các phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 1 2: 3
2 3
x yd z- += = - lên 
mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và ( ) : 7 0x y za + + - = 
9*) Cho mặt phẳng(a ): 2 3 4 0x y z- + - = và đường thẳng 1 3:
2 4
x y z+ +D = = . 
 a) Xác định giao điểm A của đt D và mp ( )a . 
 b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm trong mp ( )a và vuông góc với D . 
10*) (Khối A_2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxy ,cho điểm ( )2;5;3A và đường 
thẳng 1 2:
2 1 2
x y zd - -= = 
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 
b) Viết phương trình mp( a ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a ) lớn nhất . 
11*) (Khối B_2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm, ( )1;4;2 ,A và 
( )1;2;4B - đường thẳng 1 2:
1 1 2
x y z- +
D = =
-
. 
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm G của tam giác OAB và vuông góc 
Với mặt phẳng (OAB) 
b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng D sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất. 
12*) (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )0;1;2A và hai 
đường thẳng: 
 1 2
1
1 1: 1 2 :
2 1 1
2 .
x t
x y zd y t d
z t
= +ì
- +ï = - - = =í -ï = +î
a)) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 
b) Tìm toạ dộ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N 
thẳng hàng . 
13*) (Khối B_2006) Trong không gian Oxyz cho điểm ( ); ;A - -4 2 4 và: d:
.
x t
y t
z t
= - +ì
ï = -í
ï = - +î
3 2
1
1 4
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với dường thẳng d. 
14*) (Dự bị Khối B_2006) Trong kh«ng gian Oxyz cho ( ) ( ); ; , ; ;A B4 2 2 0 0 7 vµ ®­êng 
th¼ng:
3 6 1:
2 2 1
x y zd - - -= =
-
.Chøng minh r»ng hai ®­êng th¼ng d vµ AB thuéc cïng mét 
mÆt ph¼ng. T×m ®iÓm C trªn ®­êng th¼ng d sao cho tam gi¸c ABC c©n t¹i ®Ønh A . 
15*) (Khối A_2002) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : 
:
x y z
d
x y z
- + - =ì
í + - + =î
1
2 4 0
2 2 4 0
 :
.
x t
d y t
z t
= +ì
ï = +í
ï = +î
2
1
2
1 2
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d2. 
b) Cho điểm ( ); ;A 2 1 4 . Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn thẳng MH có 
độ dài nhỏ nhất.