Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng

Phần A: Lý do chọn chuyên đề
	Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.
	Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: 
“Hệ phương trình đối xứng”
Phần b: những nội dung cụ thể
I. Hệ phương trình đối xứng loại I:
Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng 
- Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.
- Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng:
	x1 + x2 + ... + xn
	x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn
	...............................
	x1x2 ... xn
- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
- Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.
- Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.
*) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +... an, a0 ≠ 0, ai ẻ P có nghiệm trên P là c1, ..., cn thì
phần 2 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn:
A. Lý thuyết:
1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10).
	Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì 
	Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình
	X2 - SX + P = 0.
2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. 
	Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi
	VD:	
3.Cách giải:
	+ Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy
	+ Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P.
	+ Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0.
	+ Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình 
	X2 - SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.
4.Bài tập:
Loại 1: Giải hệ đơn thuần
	VD1: Giải hệ 	(I)
	Giải: 	(I) Û 
	Đặt S = x+y, P = xy ta có Û Û 
	Û 
Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 - 2X = 0 Û 
	ị {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}
Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0	vô nghiệm
	Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.
Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn
	VD2: Giải hệ 	(II)
	Giải:	(II) Û Û 
	Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}.
	VD3: Giải hệ 	
	Giải: 	
	Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 - 4X -32 = 0 Û 
	Vậy Û 
 Chú ý: Với hệ có dạng 
+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình 
	X2 - aX + bn = 0.
+ Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được.
	VD4: Giải hệ	(1)
	Giải : Đặt -y= t ta được hệ 
 	(2)
	Đăt S= x+t ,P= xt ta có (3)
	Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6
	Từ đó suy ra nghiệm của (2) .
có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3).
VD 5: Giải hệ: (1)
Giải: Đặt ta có hệ 
	(2)
Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1).
Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số .
	VD6: Giải và biện luận hệ: 
	Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với: 
	Û Û 
Với m = -2: Hệ vô nghiệm 
Với m -2: Hệ tương đương với (*)
Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4.
Vậy với m =2 thì hệ là 
 với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm .
 với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm.
VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm 
	Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành 	
Vậy (x;y) là nghiệm của: 
Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}.
Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ.
	VD1: Giải hệ phương trình:	(ĐHSP-91)	
	Giải:	Đặt . Vậy ta có hệ	:	
 	Û 	
	Û 	
	u, v là nghiệm của phương trình 
	ị ị 
	Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = {}.
VD2: Cho x, y, z thoả mãn:	(I)
	CMR: .
	Giải: (I) Û 
	Đặt y + z = S; yz = P ị y, z là ngiệm của phương trình X2 - SX + P = 0
	ị S2 - 4P ³ 0
	Từ hệ có 
Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8) 
Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có .
B. Bài tập:
I) Giải hệ phương trình:
1)	(ĐHAN -97)
2)	(ĐHNT-98)
3)
4)
5)
6)	(ĐHNT_99)
7)	(ĐHAN-99)
8) 	(ĐH HH-99)
9) 
10)
11) 
II. giải Hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận:
a) 	(QHQT-99)
b) 	(129-III)
c) 	(ĐHT-96)
2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình
a) có nghiệm 	(ĐHQG-99)
b) có nghiệm duy nhất 	(HVQS-00)
c) có đúng hai nghiệm 	(19-I)
d) có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I)
3. 	(1II)
a. Giải hệ khi m = 5
b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
4. 	(7I)
a. Giải hệ khi m = 7/2
b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
5. 	(40II)
a. Giải hệ khi m=2
b. Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0.
6. Cho x,y,z thoả mãn;
CMR: 
III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ
1. Giải phương trình:	 	(ĐHKT-95)
2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm 
	a. 	(ĐHQG-98)
	b. 	(ĐHNT-95)
	c. 	(ĐHNT-98)
phần 3 - Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn:
a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng.
b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:
	Cho 3 số x, y, z có:	
	Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 - αX2 + βX - γ = 0.	(*)
	Thậy vậy:	(X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X3 - αX2 + βX - γ = 0.	
(*) có nghiệm là x, y, z ị phương trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ 
	Khi đó ta đặt	
	Ta được hệ của α, β, γ.
+ Giải phương trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ị hệ vô nghiệm.
có 1 nghiệm kép duy nhất ị hệ có nghiệm.
có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ị hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm ị hệ có 6 nghiệm.
d. Bài tập:
	VD1:	Giải hệ:	
	Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
	x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
	x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
	Vậy 	6 = 22 - 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = -1.
	8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz ị xyz = -2.
	ị x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0 Û 
	Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
	VD2:	Giải hệ	
	Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û 
	Do (2) ị xyz = 27
	Vậy hệ Û 
	Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0 
	Û (X - 3)3 = 0
	Û X = 3.
	Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
	VD3: Giải hệ 	
	Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = 0.
	x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ị xyz = 0.
	Vậy có:	
	ị (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - aX2 = 0 ị 
	Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.
	VD:	
	Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
	Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).
	Từ (2) và (4) ị xyz = 27	 (5)
	Từ (2) ị x2(y + z) + xyz = 27x	 (6)
	Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
(x - 3)3 = 0 Û x = 3
	Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: ị y = z = 3.
	Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.
Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI:
1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn:
A. Định nghĩa:
 - Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn.
 - Cách giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta có phương trình tích có mối liên quan giữa x, y rồi thay vào 1 phương trình của hệ
B. Bài tập ví dụ: 
VD1: Giải hệ 
Giải:
(I) 
Vậy hệ có tập nghiệm:
VD2: Giải hệ: 
Giải:
Đặt 
Hệ trở thành (Do u, v ≥ 0) 
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
VD3: Cho hệ 	(I)
a.Tìm m để hệ có nghiệm
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải:(I) 
a)Hệ có nghiệm Û 
b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1.
	Vậy m = 1.
C2:	Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0). Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0.
	Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 - x0 + m.
	Û x02 - 2x0 + m = 0.
	Do x0 cũng là duy nhất ị ∆’xo = 0 Û 1 - m = 0 Û m = 1 
	Điều kiện đủ:
	Thay m = 1 vào hệ ta có: Û 
	Û 
	Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1).
	VD1: Giải phương trình: 	(73II) 
	Giải: Đặt ị 2x - 1 = t3.
	Ta có hệ Û Û 
	Û ị 
	Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; .
C. Bài tập:
1.Giải hệ phương trình:
a.	(ĐHQG - 99)
b.	(ĐHTL- 01)
c.	(ĐHTN - 01)
d.	(TH - 94)
e.	(TH - 96)
g.	(ĐHNG - 00)
h.	
2.	(ĐHCĐ - 99)
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:	 có nghiệm duy nhất.
4. Giải phương trình:	a.	(112III)
	b.	(TH - 94).
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn:
A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B. Ví dụ: Giải hệ 
 	(ĐHSP-91)
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ 
Hệ này đương tương với 4 hệ sau:
	Giải (I):
(I) Û Û Û Û 
	Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ()
	Làm tương tự (II) có nghiệm ();()
	Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ()
	Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
	Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
	VD2: Giải hệ phương trình:	
	Giải: Hệ Û 
	Û 	
	Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); 
	(0;0;1); ().
VD4:	Giải hệ:	
Giải: Xét hai trường hợp sau:
TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:
Giả sử x=y có hệ 
Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : 
Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau .
Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D =
z x>y>zịf(x)>f(y)>f(z)ịy+1>z+1>x+1ịy>x>z(vô lý).
z<y<xịf(x)<f(y)<f(z)ịy+1<z+1<x+1ịy<z<x(vô lý).
x>0>z>-1 ịf(-1)>f(z) ị1>x+1ịx<0 (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai.
TH2 vô nghiệm.
VD5: 	(Vô địch Đức)
Giải: 
TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau
Giả sử x = y ta có hệ
Từ (1) ị x = 0, x = -1.
x = 0. Thay vào (2), (3) ị z=0.
x = -1. Thay vào (2), (3) ị vô lý
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.
Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1
ị ± 2 = 0 (vô lý)
Vậy x2 ≠ 1 ị 2x + x2y = y Û 
Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: 
Giả sử x > y > z (*). Xét hàm số:
f(t) = xác định trên D = R\ {±1}
f’(t) = với mọi tẻD
ị hàm số đồng biến trên D
f(x) > f(y) > f(z)
ị y > z > x mâu thuẫn với (*).
Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau.
Vậy TH2 - hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)
C. Bài tập
1. 
2. 
	Hướng dẫn: Đặt . 
	Đưa về giải hệ 
3. 	4. 	5. 
Phần C: kết luận
	Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phương trình đối xứng”. Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lượng các bài tập cũng như về phương pháp giảng dạy. 
	Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp. Xin trân trọng cám ơn !
	Yên Lạc, tháng 01 năm 2006
	Người viết
	 Doãn Hoài Nam