Chuyên đề Đạo hàm cấp cao

Các quy tắc tính đạo hàm
Kiến thức cơ bản
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. (Ký hiệu U=U(x))
=0
(C là hằng số)
=1
=n.xn-1
(nN, n2)
=n.Un-1.
=-
(x0)
=-
=
(x>0)
=
Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
	= 
 	= 
 = (k là hằng số)
 = 
 = -
Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
	x = . 
Kỹ năng cơ bản
Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.
Tính được đạo hàm hàm số hợp.
Một số ví dụ
A.Ví dụ tự luận
	VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
	1/	y=2x5-3x4+x3-x2+1
	2/	y=x4-x3+x2+3x-2
	3/	y=2x2 (x-3)
	4/	y= với m là tham số khác -1
	Giải
	1/	Ta có:
	= 10x4-12x3+3x2 –x
	2/	Ta có:
	= 2x3- 4x2+x+3
	3/	Ta có:
	y= 2x3- 6x2
	 = 6x2-12x
	4/ 	Ta có:
	y= x+ Do m là tham số khác (-1), nên
	= 
VD2. Tính đạo hàm các hàm số
	1/	y= 	3/ 	y=
	2/	y= 	4/	y=(3x-2)(x2+1)
	Giải:
	1/	Ta có:
	= -= -	x-1
	2/	Ta có:
	= = = x-1
	3/	Ta có: 
	= 
	 = 
	 = 	x
	4/ 	Ta có:
	= (x2+1) - (3x-2)
	 = 3(x2+1)-(3x-2).2x
	 = 3x2+3- 6x2+4x
	 = -3x2+4x+3
VD3. Tính đạo hàm của các hàm số
	1/ 	y= x
	2/	y= (x2-+1)
	3/	y= 
Giải:
	1/	Ta có:
	= .+x
	 	 = + = 
	2/	Ta có:
	= (x2-+1) +
	 = + (2x-)
	 = + 2x- 	x > 0
3/	Ta có:
	= 
	 = 
	 ==	x <1
VD4.	Tính đạo hàm hàm số
1/	y= (2x+3)10
2/ 	y= (x2+3x-2)20
3/	y= 	(a là hằng số)
Giải:
1/	Ta có:
	= 10(2x+3)9.
	 = 20(2x+3)9
2/ 	Ta có:
	= 20(x2+3x-2)19.
	 = 20(x2+3x-2)19.(2x+3)
3/ 	Ta có:
	= 
	 = = 
VD5.	Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7
1/	Tại điểm A(1;5)
2/	Song song với đường y=6x+1
	Giải:
	Ta có: = 3x2-3
1/	Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
	k = (1) = 0
	Phương trình tiếp tuyến cần viết là:
	y = 5.
2/	Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)
	y0= x03-3x0+7
	 Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6
	(x0) = 6
	3x02-3 = 6
	x0 = 
	Với x0 = y0=7.
	Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
	Với x0 =- y0=7
	Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
VD6.	Cho hàm số y=
	Giải bất phương trình khi 0
	Giải:
	Ta có: 
	+	= 
	 = 
	 = x -1
	Do đó: 0 0
B. Ví dụ trắc nghiệm
	Chọn những phương án đúng trong ví dụ sau:
VD7. Cho hàm số y= , khi đó bằng
	A.	B.	C.	D.
VD8: Cho hàm số y= , khi đó bằng
	A. 2	B. 	C. 	D.
VD9. Cho hàm số y=(x+1)5, khi đó bằng
	A.-5	B.5	C.-1	D.1
VD10. Cho hàm số y=2x-, khi đó bằng
	A. 	B. 	C. 1	D. Không tồn tại
VD11. Cho hàm số y=, khi đó bằng
	A.0	B.-1	C.-	D.-
VD12. Cho hàm số y=2x3-3x2+3, khi đó phương trình =0 có nghiệm
	A. x=0 và x=1	B. x=0 và x=-1	C. x=1 và x=3	D. x=-1 và x=3
VD13. Cho hàm số y=. Đạo hàm bằng
	A.	B.	C.	D.
VD14. Cho hàm số y=, đạo hàm bằng
	A.	B.	C.	D.
VD15. Cho hàm số y=, khi đó tập nghiệm của phương trình >0 là
	A. S =(-][1;+)	C. S =(-
	B. S =(-)[1;+)	D. S = (
VD16. Cho hàm số y=, khi đó bất phương trình có tập nghiệm là:
	A. S =()	B. S =[)	C. S =[3;+)	D. S
Đáp án:
VD7
VD8
VD9
VD10
VD11
VD12
VD13
VD14
VD15
VD16
C
D
A
B
D
A
D
B
C
D
IV. Bài tập.
A. Bài tập tự luận.
Bài1. Tính đạo hàm của các hàm số:
1/ y=x3 -2x2+x-+1	7/ y=
2/ y=	8/ y=
3/ y=	9/ y=(x-2)
4/ y=	10/ y=
5/ y=	11/ y=
6/ y=	12/ y=
Hướng dẫn:
1/ , 	7/ với-3<x<4
2/ 	8/ 
3/ 	9/ 
4/ Ta có: y=1-, x	10/ 
	 	12/ 
5/ 
6/ với -3< x <3
Bài 2. Cho hàm số: y= tìm m để
1/ là bình phương của một nhị thức
2/ 
3/ <0 (0;1)
4/ >0 >0
Hướng dẫn:
Ta có: g(x).
1/ Ta phải có:
	 =0	
	m=
2/ Ta phải có:
	9-2m
	m
3/ Ta phải có:
	m<0
4/ Ta phải có:
	+ Hoặc 
	+ Hoặc Hệ vô nghiệm
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
	Hướng dẫn:
	+ Ta có = 3x2-6x
	+ Gọi (x0;y0) là tiếp điểm, y0=x03 -3x02
	Ta phải có: 
	3x02-6x0=-3 x0=1 =>y0=-2
	=> phương trình tiếp tuyến là: y=-3x+1
Bài 4. Cho đường cong (c)): y=. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1
Hướng dẫn:
+ Ta có =
+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1
+ Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, y0=
Ta phải có:
+ Ta có 2 tiếp tuyến là
	y = -x và y = -x+8
+ Từ đó suy ra kết quả
B. Bài tập trắc nghiệm
Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:
Bài 4. Cho hàm số y =, bằng
A. 
B. 
C. 1
D. - 1
Bài 5. Cho biết hàm số y = , bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 6. Cho hàm số y =, bằng
A. 
B. -
C. 
D. -
Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x)6, bằng
A. 1
B. -1
C. 18
D. - 18
Bài 8. Cho hàm số y = , Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là:
A. S =IR
B. S =[0;
C. S =(0;
D. S = 
Bài 9. Cho hàm số f(x)= x2+3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phương trình có tập nghiệm là:
A. S = 
B. S = 
C. S = 
D. –S = 
Bài 10. Hàm số y= có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 11. Hàm số y = có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 12. Hàm số y = x3+2x2-mx+1 có IR, khi đó tập các giá trị của m là:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= ()
Bài 13. Hàm số y = có Khi đó tập các giá trị của m là:
A. T=
B. T= ()
C. T = ( 
D. T= (
Bài 14. Hàm số y = (2x+3)10 có
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 15. Hàm số y = có
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án:
B4. B
B5.
A
B6.
C
B7.
D
B8.
B
B9.
C
B10.
A
B11.
D
B12.
B
B13.
A
B14.
C
B15.
B
Đạo hàm cấp cao
I/ Kiến thức cơ bản:
1/ Đạo hàm cấp 2
- Cho hàm số có đạo hàm . Nừu có đạo hàm thì đạo hàm của nó
gọi là đạo hàm cấp hai của hàm và kí hiệu là , tức là 
	=
-còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số 
- Đạo hàm cấp hai của hàm số còn được ký hiệu là 
2/ ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
	- Gia tốc tức thời a(t0) tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình S = S(t) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số S = S(t) tại điểm t0, tức là:
	 = 
3/ Đạo hàm cấp cao
	- Cho hàm số có đạo hàm cấp n-1, (nN, n), là . 
Nừu là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số và kí hiệu là . Tức là:
	 ,nN,n
	- Đạo hàm cấp n của hàm số còn được ký hiệu là y(n)
II. Kỹ năng cơ bản
	+/ Vận dụng các quy tắc và các công thức tính đạo hàm của hàm số
	+/ Củng cố, nâng cao kỹ năng chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
III. Một số ví dụ
	VD1. Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:
	1/ 	
	2/ 	
	3/ 	
	4/ 	
	Giải:
	1/ Ta có: 
	2/ Ta có:	
	3/ Ta có: 	
	 = 
	 = 
	4/ Ta có: 	
	VD2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số với 
	Giải:
	Ta có: 
	+/ Ta dự đoán , nN* (*)
	+/ Ta chứng minh công thức (*) bằng phương pháp quy nạp:
Rõ ràng (*) đúng với n=1
Giả sử (*) đúng với n=k, kN*, tức là ta có:
	y(k) = 2k sin (2x+k)
Khi đó y(k+1) = 
	 = 
	= 
	= 
	=
	+/ Vậy (*) đúng với 
	Lưu ý: Bằng cách chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được: 
	Đạo hàm cấp n của hàm số y = sin ax,(a0) là:
	 nN*
	VD3: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
Giải:
	Ta có: 
	+/ Có thể dự đoán
	 , nN* (*)
	+/ Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
	Rõ ràng (*) đúng với n=1
 Giả sử (*) đúng với n=k, kN*, tức là
Khi đó 	
	 = -
	 = 
Vậy (*) đúng với 
Lưu ý: Bằng cách chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được: 
Đạo hàm cấp n của hàm số (a,b,c là các hằng số alà
	 ,n
VD4: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 
Giải:
+/ Ta có 	
+/ Ta tìm hai số A, B để cho
 1 = 2x (A + B) + B – A 
+/ Như thế, 
	 = 
+/ Tương tự ví dụ 3, ta có
	 = 
VD5: Cho hàm số y=xsinx chứng minh rằng
	(
Giải:
+/ Ta có: 
+/ Như vậy:
Điều phải chứng minh
IV. Bài tập
Bài1. Tính đạo hàm của các hàm số sau đến cấp chỉ ra
1/ 	2/ 	
3/ y = (1 - x2) cosx	4/ 	
5/ y = cos2x	(y(4))	6/ y = tan23x	
Hướng dẫn:
1/ Ta có	
2/ Ta có 	
3/ 
4/ Ta có: 	(x>0)
 => => 	(x>0)
5/ Ta có: , y(4)= 16 cos2x
6/ Ta có:
 =54 tan43x + 70tan23x+18
Bài 2. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
1/ y = sin5x	2) y = cos4x
3/ y = sin2x cosx	3) y = sin2x
Hướng dẫn: 
1/ Xem lại cách làm ở ví dụ 2:
	y(n) = 5nsin(5x+n) n N*
2/ Ta có:
	y(n)= 4n.cos(4x+n) n N*
3/ Ta có:
	y = 
	=> y(n) = 
	= 
4) Ta có:
	y = 
	=> y(n) = -2n-1cos (2x+n
Lưu ý: Các công thức đưa ra từ (1) -> (4) đều phải chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bài 3. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
1/ y = 	2/ y = 
3/ y = 	4/ y = 
Hướng dẫn:
1) Ta có:
	y = -(1+x) + 
Khi đó y(n)=
2) Ta có:
	y = 	
	+ Tìm được 
	=> y = 
	=> y(n) = 
3) Ta có:
+)	y = 
+) Mặt khác: 
+ Nên y = 
4) Tương tự, ta có:
y = 5 + 
=> y(n)= 
Bài 4. Cho hàm số y= 	CMR: 2
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài 5. Cho hàm số f(x) = x4+2mx2+m
1/ Với những giá trị nào của m để f(x)>0 
2/ Với m vừa tìm được CMR
F(x) = +
Hướng dẫn:
1/ + Điều kiện cần: Giả sử f(x)>0 => f(0)>0 =>m>0
 + Điều kiện đủ: Với m>0 rõ ràng x4+2mx2+m>0 
Vậy m>0 là các giá trị cần tìm
2/ + Tính được F(x) = m(2x2+4x+5) + x2(x2+4x+4) + 8(x2+3x-3) luôn dương 
 + Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Vi phân
Kiến thức cơ bản
Vi phân của hàm số tại một điểm
	Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Tích được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại điểm x0 (ứng với số gia ) và được ký hiệu là df(x0) tức là:
	(x0) = 
ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng
	Khi khá nhỏ, thì số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia xấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia đó, tức là:
(x0+
	Từ đó ta có:
(x0+
Vi phân của hàm số
	Nừu hàm số có đạo hàm thì tích gọi là vi phân của hàm số y=, ký hiệu là:
=
	Đặc biệt với hàm số y=x, ta có do đó ta có:
 hay 
Kỹ năng cơ bản
	+/ Tính được vi phân của hàm số tại một điểm, vi phân của một hàm số
	+/ ứng dụng vào việc tính gần đúng
Một số ví dụ
Ví dụ tự luận
VD1. Tính vi phân của các hàm số sau, tại điểm x ứng với số gia đã cho.
1/ tại x=0, =0,001
2/ tại x=
Giải:
1/ Ta có: 
2/ Ta có: 
VD2. Tính vi phân của các hàm số:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
Giải:
1/ Ta có: 
2/ Ta có: 
3/ Ta có: 
4/ Ta có: 
VD3. Tính gần đúng
1/ 	2/ 
Giải:
1/ Xét hàm số 
Chọn x0 =1 
Do đó 
Vậy 
2/ Ta chuyển 590 sang đơn vị đo rađian được:
Xét hàm số 
Với 
Do đó 
VD4. Cho hàm số y=-2 Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có: 
đpcm.
Ví dụ trắc nghiệm
	Chọn phương án trả lời đúng trong các ví dụ sau:
VD5. Vi phân của hàm số tại điểm x0=1 ứng với =0,001 là:
A. 0	B. 0,1	C. 0,01	D.0,001
VD6. Vi phân của hàm số là:
A. 	B. 
C. 	C. 
VD7. Vi phân của hàm số là
A. 	B. 
C. 	D. 
VD8. Vi phân của hàm số y = xsinx là:
A. 	B. 
C. 	D. 
VD9. Vi phân của hàm số y=(1+3x)9 là:
A. 	B. 
C. 	D. 
Đáp án:	
VD5
VD6
VD7
VD8
VD9
A
B
D
B
C
Bài tập
	Bài 1. Tính vi phân của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra ứng với số gia 
1/ tại x0=1, =0,001
2/ tại x0=3, =0,01
3/ tại x0=
4/ tại 
Hướng dẫn:
1/ Ta có: 
2/ Ta có: 
3/ Ta có: 
4/ Ta có: 
Bài 2. Tìm vi phân của các hàm số:
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
Hướng dẫn:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
Bài 3. Tính gần đúng giá trị sau:
1/ 	2/ 
Hướng dẫn:
1/ Đặt , x0=225, 
	 =15+
2/ Đổi 610 về số đo rađian, ta được
+/ Xem cách làm ở ở Ví dụ B 
Bài 4. Chứng minh rằng Nừu các hàm số có đạo hàm tại điểm x0, thì tại điểm đó ta có:
Hướng dẫn:
	Ta có: 
	 = 
	 =