Chuyên đề Cực trị của hàm số

 Trang 1
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA 
I. Định nghĩa: 
Giả sử hàm số ( )f x xác định trên tậpD ⊂ \ và 0x D∈ . 
1) 0x được gọi là một điểm cực trị của ( )f x nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa điểm 0x sao cho 
( );a b D⊂ và ( ) ( ) ( ) { }0 0, ; \f x f x x a b x< ∀ ∈ . 
Khi đó ( )0f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( )f x . 
2) 0x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số ( )f x nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa điểm 0x 
sao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( ) ( ) { }0 0, ; \f x f x x a b x> ∀ ∈ . 
 Khi đó, ( )0f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )f x . Gọi chung là giá trị cực trị của hàm 
số 
II. Điều kiện để hàm số có cực trị 
1) Điều kiện cần 
Gỉa sử hàm số ( )f x đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó,nếu ( )f x có đạo hàm tại 0x thì ( )0' 0f x = . 
2) Điều kiện đủ 
Dấu hiệu 1. Gỉa sử hàm số ( )f x liên tục trên ( );a b chứa điểm 0x và có đạo hàm trên các 
khoảng ( )0;a x vaø ( )0;x b . Khi đó: 
• Nếu ( )'f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x . 
• Nếu ( )'f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x . 
Dấu hiệu 2. giả sử ( )f x có đạo hàm trên ( );a b chứa điểm 0x , ( )0' 0f x = và ( )f x có đạo 
hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0x . Khi đó: 
• Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x . 
• Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . 
III. các phương pháp tìm cực trị của hàm số 
Phương pháp 1. 
• Tìm ( )'f x . 
• Tìm các điểm ( )1,2,...ix i = mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng 
không có đạo hàm. 
• Lập bảng xét dấu ( )'f x . nếu ( )'f x đổi dấu khi x qua ix thì hàm số đạt cực trị tại ix . 
Phương pháp 2. 
• Tìm ( )'f x . 
• Giải phương trình ( )' 0f x = tìm các nghiệm ( )1,2,...ix i = . 
• Tính ( )'' if x . 
+Nếu ( )'' 0if x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm ix . 
+Nếu ( )'' 0if x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ix . 
 Trang 2
A. CÁC VÍ DỤ 
VÍ DỤ 1. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 
1) ( ) 3 22 3y m x x mx m= + + + + . 
2) 
2 2 22
1
x m x my
x
+ += + 
GIẢI 
1) ( ) 3 22 3y m x x mx m= + + + + 
• Tập xác định: D= R 
đạo hàm: ( ) 2' 3 2 6y m x x m= + + + 
• Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) 23 2 6 0g x m x x m= + + + = có hai nghiệm 
phân biệt: 
( )
2 0
' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠⎧⎪⇔ ⎨Δ = − + >⎪⎩
 ( )2
2
3 2 3 0
m
m m
≠ −⎧⎪⇔ ⎨ − − + >⎪⎩
2
3 1
m
m
≠ −⎧⎪⇔ ⎨− < <⎪⎩
• Vậy giá trị cần tìm là: 3 1m− < < và 2m ≠ − . 
2) 
2 2 22
1
x m x my
x
+ += + 
• Tập xác định: D= R\{-1} 
 Đạo hàm: ( )
2 2
2
2'
1
x x my
x
+ += + 
• Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) 2 22 0g x x x m= + + = có hai nghiệm phân biệt 
khác –1 
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m
g m
⎧Δ = − >⎪⇔ ⎨ − = − + ≠⎪⎩
1 1
1
m
m
− < <⎧⎪⇔ ⎨ ≠ ±⎪⎩
 1 1m⇔ − < < 
• Vậy giá trị cần tìm là: 1 1m− < < . 
VÍ DỤ 2. với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị 
1) ( ) 3 23 2 3y m x mx= − − + . 
2) 
2mx x my
x m
+ += + 
GIẢI 
1) ( ) 3 23 2 3y m x mx= − − + 
• Tập xác định: D = R 
 Đạo hàm: ( ) 2' 3 3 4y m x mx= − − ; ( ) 2' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − = (1) 
+ Xét 3m = : ' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ = 
'y⇒ đổi dấu khi x đi qua 0 0x = ⇒Hàm số có cực trị 3m⇒ = không thuộc 
+ Xét 3m ≠ : Hàm số không có cực trị 'y⇔ khômg đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm 
hoặc có nghiệm kép 
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠⎧⎪⇔ ⎨Δ = ≤⎪⎩
3
0
m
m
≠⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
 0m⇔ = 
• Vậy giá trị cần tìm là 0m = . 
2) 
2mx x my
x m
+ += + 
• Tập xác định: { }\D m= −\ 
 Trang 3
 Đạo hàm: ( )
2 2
2
2' mx m xy
x m
+= + ; ' 0y = ⇔ ( )
2 22 0g x mx m x= + = (1) ( )x m≠ − 
• Hàm số không có cực trị 'y⇔ không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm 
kép 
+ Xét 0m = : ' 0,y x m= ∀ ≠ − 0m⇒ = thỏa 
+ Xét 0m ≠ : Yêu cầu bài toán 4' 0m⇔ Δ = ≤ : vô nghiệm 0m∀ ≠ 
• Vậy giá trị cần tìm là: 0m = . 
 VÍ DỤ 3. Cho hàm số 
2
1
x mx my
x
− += − . chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có cực trị và 
khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi. 
GIẢI 
• Tập xác định: D= R/1 
• Đạo hàm ( )
2
2
2'
1
x xy
x
−= − ; 
0
' 0
2 4
x y m
y
x y m
= ⇒ = −⎡= ⇔ ⎢ = ⇒ = −⎢⎣
Vậy ' 0y = luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m∀ ⇒hàm số luôn có cực trị 
• Tọa độ các điểm cực trị ( ) ( )0; , 2;4A m B m− − 
• Khoảng cách giữa hai điểm A, B là : ( ) ( )2 22 0 4 2 5AB m m= − + − + = = const (đpcm) 
VÍ DỤ 4. Cho hàm số 
2 1x mxy
x m
+ += + . định m để hàm số có cực trị tại 2x = . 
GIẢI 
• Tập xác định: D= R\{-m} 
 Đạo hàm: ( )
2 2
2
2 1' x mx my
x m
+ + −= + 
• Điều kiện cần: Hàm số có cực đại tại 2x = ( )' 2 0y⇒ = 
( )
2
2
4 3 0
2
m m
m
+ +⇔ =+ 
2 4 3 0
2
m m
m
⎧ + + =⎪⇔ ⎨ ≠ −⎪⎩
1
3
m
m
= −⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣
• Điều kiện đủ: 
+ Với 1m = − : ( )
2
2
02' 0
21
xx xy
xx
=⎡−= = ⇔ ⎢ =− ⎢⎣
BBT 
Từ bảng biến thiên ta thấy hàn số đạt cực tiểu tại 2x = 
1m⇒ = − không thỏa 
+ Với 3m = − : ( )
2
2
26 8' 0
43
xx xy
xx
=⎡− += = ⇔ ⎢ =− ⎢⎣
210
00
y
y'
x
+__+
CT
C§ + ∞+ ∞
- ∞- ∞
+ ∞- ∞
 Trang 4
BBT 
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại 2x = 3m⇒ = − thỏa yêu cầu bài toán. 
• Vậy giá trị cần tìm là: 3m = − . 
Cách khác 
Ta có: 1y x
x m
= + + 
Tập xác định: D= R\ {-m} 
( )2
1' 1y
x m
= − + ( )3
2
x m
= + 
Hàm số đạt cực đại tại 2x = ( )( )
' 2 0
'' 2 0
y
y
=⎧⎪⇔ ⎨ <⎪⎩
( )
( )
2
3
11 0
2
2 0
2
m
m
⎧ − =⎪ +⎪⇔ ⎨⎪ <⎪ +⎩
2 4 3 0
2
2
m m
m
m
⎧ + + =⎪⎪⇔ ≠ −⎨⎪ < −⎪⎩
1 3
2
m m
m
= − ∨ = −⎧⎪⇔ ⎨ < −⎪⎩
 3m⇔ = − . Vậy giá trị cần tìm là: 3m = − . 
VÍ DỤ 5. Cho hàm số 
2ax bx aby
ax b
+ += + . Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại 
0x = và 4x = . 
GIẢI 
• Hàm số xác định 0ax b+ ≠ . ( )
2 2 2 2
2
2' a x abx b a by
ax b
+ + −= + 
• Điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị tại 0x = và 4x = ( )( )
' 0 0
' 4 0
y
y
=⎧⎪⇒ ⎨ =⎪⎩
( )
2 2
2
2 2 2
2
0
16 8 0
4
b a b
b
a ab b a b
a b
⎧ − =⎪⎪⇔ ⎨ + + −⎪ =⎪ +⎩
2 2
2 2 2
0
0
16 8 0
4 0
b a b
b
a ab b a b
a b
⎧ − =⎪ ≠⎪⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎪ + ≠⎪⎩
( )
2
2
2
0
8 2 0
4 0
b a
a a
a a
⎧ = >⎪⎪⇔ + =⎨⎪ + ≠⎪⎩
2
4
a
b
= −⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
• Điều kiện đủ: Với 2, 4a b= − = , ta có: ( )
2
2
04' 0
42
xx xy
xx
=⎡−= = ⇔ ⎢ =− + ⎢⎣
BBT: 
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại 0x = và cực tiểu tại 4x = 
432
00
y
y'
x
+__+
CT
C§ + ∞+ ∞
- ∞- ∞
+ ∞- ∞
20 4
00
y
y'
x
+__+
CT
C§ + ∞+ ∞
- ∞- ∞
+ ∞- ∞
 Trang 5
• Vậy giá trị cần tìm là: 2, 4a b= − = . 
VÍ DỤ 6. Cho hàm số ( ) ( )3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + + . Xác định m để đồ thị của hàm 
số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của trục tung. 
 ) 
GIẢI 
•Tập xác định D = R 
Đạo hàm: ( )2 2' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − + 
•Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung ' 0y⇔ = hay 
( ) ( )2 23 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa 1 20x x< < 
( )3. 0 0g⇔ < 2 3 2 0m m⇔ − + < 1 2m⇔ < < 
• Vậy giá trị cần tìm là: 1 2m< < . 
VÍ DỤ 7. Cho hàm số 3 22 12 13y x ax x= + − − (a là tham số). với những giá trị nào của a thì đồ 
thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục tung 
GIẢI 
• Tập xác định: D= R 
Đạo hàm: ( )2 2' 6 2 12 2 3 6y x ax x ax= + − = + − 
• Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung ' 0y⇔ = hay ( ) 23 6 0g x x ax= + − = có hai 
nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa 1 2 0x x+ = 
2
1 2
72 0,
0
3
a a
ax x
⎧Δ = + > ∀⎪⇔ ⎨ + = − =⎪⎩
 0a⇔ = 
• Vậy giá trị cần tìm là: 0a = . 
VÍ DỤ 8. Cho hàm số 3 21 1
3 2
y x x mx= + + . định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các 
điểm có hoành độ x m> . 
GIẢI 
• Tập xác định: D= R 
 Đạo hàm: 2'y x x m= + + 
• Yêu cầu bài toán ' 0y⇔ = hay ( ) 2 0g x x x m= + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa 
1 2m x x< < 
( ) 2
1 4 0
1. 2 0
1
2 2
m
g m m m
S m
⎧Δ = − >⎪⎪⎪⇔ = + >⎨⎪⎪ = − >⎪⎩
1
4
2 0
1
2
m
m m
m
⎧ ⎨⎪⎪ < −⎪⎩
 2m⇔ < − 
• Vậy giá trị cần tìm là: 2m < − . 
VÍ DỤ 9. Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= − + + − + − + − . định m để hàm số 
đạt cực tiểu tại một diểm có hoành độ nhỏ hơn một 
GIẢI 
• Tập xác định: D =R 
 Đạo hàm: ( ) ( )2 2' 3 6 1 3 7 1y x m x m m= − + + − + − 
 Trang 6
• Yêu cầu bài toán ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) ( )2 23 6 1 3 7 1 0g x x m x m m= − + + − + − = có hai 
nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa: 
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1 2
x x
x x
< <⎡⎢ < ≤⎢⎣
( ) ( )1 3. 1 0g⇔ − < ( )23 3 4 0m m⇔ + − < 4 1
3
m⇔ − < < (a) 
( ) ( )
' 0
2 3. 1 0
1
2
g
S
⎧⎪Δ >⎪⎪⇔ − ≥⎨⎪⎪ <⎪⎩
( ) ( )
( )
2 2
2
9 1 3 3 7 1 0
3 3 4 0
1 1
m m m
m m
m
⎧ + − + − >⎪⎪⇔ + − ≥⎨⎪ + <⎪⎩
 2
3 12 0
3 4 0
0
m
m m
m
− + >⎧⎪⎪⇔ + − ≥⎨⎪ <⎪⎩
4
4 1
3
0
m
m m
m
<⎧⎪⎪⇔ ≤ − ∨ ≥⎨⎪ <⎪⎩
 4
3
m⇔ ≤ − (b) 
•Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: 1m < . 
VÍ DỤ 10. Cho hàm số ( )3 23 2y x x C= − + . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực 
đại và cực tiểu của đồ thị (C) nằm về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): 
2 2 22 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − = . 
GIẢI 
• Tập xác định: D= R 
Đạo hàm: 2' 3 6y x x= − 
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ⇒ =⎡= ⇔ ⎢ = ⇒ = −⎢⎣
⇒Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − 
( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0aC x y ax ay a+ − − + − = 
• Hai điểm A, B nằm về hai phhía của đường tròn ( )aC ( ) ( )/ /. 0a aA C B CP P⇔ ∀ ) 
3 1
5
a⇔ < < 
Cách khác 
• Phương trình đường tròn ( )aC được viết lại 
( ) ( )22 2 1x a y a− + − = ( )aC có tâm ( );2I a a và bán kính 1R = 
• Ta có ( ) ( )2 22 2 2IB a a= − + + 25 4 8a a= + + 
22 36 65 1
5 5 5
a R⎛ ⎞= + + ≥ > =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇒Điểm B nằm ngoài ( )aC 
Do đó điểm A nằm phía trong đường tròn ( )aC 1IA⇔ < 
( )22 2 2 1a a⇔ + − < 25 8 3 0a a⇔ − + < 3 1
5
a⇔ < < . 
VÍ DỤ 11. Cho hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + . với giá trị nào của m thì hàm 
số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu 1 2,x x thỏa 1 22 1x x+ = . 
 Trang 7
GIẢI 
• Tập xác định : D= R 
Đạo hàm: ( ) ( )2' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − 
• Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) ( )2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm 
phân biệt 1 2,x x 
( ) ( )2
0
' 1 3 2 0
m
m m m
≠⎧⎪⇔ ⎨Δ = − − − >⎪⎩
 2
0
2 4 1 0
m
m m
≠⎧⎪⇔ ⎨− + + >⎪⎩
0
2 6 2 6
2 2
m
m
≠⎧⎪⇔ ⎨ − +< <⎪⎩
 ( )∗ 
• Theo định lí Vi-eùt và theo đề bài, ta có 
( )
1 2
2 1mx x
m
−+ = (1) ( )1 2 3 2. mx x m
−= (2) 1 22 1x x+ = (3) 
Từ (1) và (3), thế vào (2), ta được 
( )3 4 2 3 2m m m
m m m
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23 8 4 0m m⇔ − + = (do 0m ≠ ) 
2
3
2
m
m
⎡ =⎢⇔ ⎢ =⎢⎣
 (thỏa ( )∗ ) . Vậy giá trị cần tìm là: 2 2
3
m m= ∨ = . 
VÍ DỤ 12. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − + . 
 Tìm m để đò thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, 
cực tiểu đó 
GIẢI 
• Tập xác định : D= R 
đạo hàm: ( ) ( )2 2' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + + 
( ) ( )2 2 ...  − + +⎪⎩
 ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
2
1 4
m m
m m m m
− =⎧⎪⇔ ⎨ − + − = −⎪⎩
1 2
1 2
2
1
m m
m m
− =⎧⎪⇔ ⎨ + = −⎪⎩
1
2
1
2
3
2
m
m
⎧ =⎪⇔ ⎨⎪ = −⎩
0
0
1
2
7
4
x
y
⎧ = −⎪⇒ ⎨⎪ = −⎩
Vậy chỉ có một điểm A duy nhất thỏa yêu cầu bài toán là: 1 7;
2 4
A⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
VÍ DỤ 28. Cho hàm số 
2 8x mxy
x m
+ −= − . Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương 
trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. 
 ( 
GIẢI 
Cách 1 
• Ta có: 
22 82 my x m
x m
−= + + − 
Tập xác định: D= R\{1} 
Đạo hàm: ( )
2 2
2
2 8' x mx my
x m
− − += − 
• Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) 2 22 8 0g x x mx m= − − + = (1) có hai nghiệm 
phân biệt 1 2,x x khác m 
( )
' 0
0g m
Δ >⎧⎪⇔ ⎨ ≠⎪⎩
2
2
2 8 0
2 8 0
m
m
⎧ − >⎪⇔ ⎨− + ≠⎪⎩
2 2m m⇔ (*) 
• Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của (1) 
Khi đó: 
2
1
2
2
2 8
' 0
2 8
x m m
y
x m m
⎡ = − −⎢= ⇔ ⎢ = + −⎢⎣
 Trang 18
tọa độ điểm A thỏa hệ: 
( )
2
1
2 2
2
1 1 1 1 12
1
2 8
2 8 2 82 2 2 8 2
2 8
x m m
m my x m x m x m m m x m
x m m
⎧ = − −⎪⎪⎨ − −= + + = + + = + + − − = +⎪ −⎪ − −⎩
2
1
1 1
2 8
2
x m m
y x m
⎧ = − −⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩
Tương tự ta cũng có tọa độ của B:
2
2
2 2
2 8
2
x m m
y x m
⎧ = − −⎪⎨ = +⎪⎩
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là : 2y x m= + 
Cách 2 
• Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu : 2 2m m 
• Tọa độ các điểm cực trị thỏa hệ: 
2 2
2
2 8 0
8
x mx m
x mxy
x m
⎧ − − + =⎪⎨ + −=⎪ −⎩
 ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 8 0
8 2 8 2
x mx m
x mx x mx m x mx my
x m x m
⎧ − − + =⎪⇔ ⎨ + − + − − + − −⎪ = =− −⎩
( ) ( )
2 22 8 0
2
x mx m
x m x my
x m
⎧ − − + =⎪⇔ ⎨ − +=⎪ −⎩
 ( )
2 22 8 0
2
x mx m
y x m x m
⎧ − − + =⎪⇔ ⎨ = + ≠⎪⎩
2y x m⇒ = + là phương trịnh đường thẳng qua các điểm cực trị . 
Cách 3 
• Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu : 2 2m m 
• Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của (1) 
đặt ( ) ( )2 8,u x x mx v x x m= + − = − 
Ta có: ( )( )
( )
( )
1 1 1
1 1 1
1 1
' 2 2
' 1
u x u x x my y x m
v x v x
+= = = ⇒ = + 
Tương tự ta cũng có : 2 22y x m= + 
• Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 2y x m= + . 
VÍ DỤ 29. Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại : 
 22 2 4 5y x a x x= − + + − + . 
GIẢI 
• Tập xác định : D = R 
• ( )
2
2' 2
4 5
a xy
x x
−= − + − + ( )32'' 4 5
ay
x x
=
− +
• HS đạt cực đại 0x x=
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
y x
y x
=⎧⎪⇔ ⎨ <⎪⎩
( )0
2
0 0
2
2
4 5
0
a x
x x
a
−⎧ =⎪⇔ − +⎨⎪ <⎩
( )
2
0 0
0
4 5
1
2 2
0
x x a
x
a
⎧ − +⎪ =⇔ −⎨⎪ <⎩
Với 0a < nên từ (1) suy ra 0 2x < 
Xét hàm số: ( ) 20 00
0
4 5
2
x x
f x
x
− += − ,với 0 2x < 
 Trang 19
( ) ( ) ( )0 02 20 0 0
2' 0, ;2
2 4 5
f x x
x x x
−= < ∀ ∈ −∞− − + 
BBT 
• Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có nghiệm 0 2x < 1 22
a a⇔ < − ⇔ < − . 
A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
BÀI 1. xác định tham số m để các hàm số sau đây đạt cực đại và cực tiểu 
1) 3 2 3 5y x mx mx= + + + . 
 Đáp số: 0 9m m . 
2) 
2 2x mx my
x m
+ −= + . 
 Đáp số: 1 0m− < < . 
3) ( )2 1 1
2
mx m xy
mx
+ + += + . 
 Đáp số: 2, 0m m< ≠ . 
BÀI 2. 
1) Tìm m để hàm số ( )3 23 5y x m x mx m= − + + + + 
đạt cực tiểu tại 2x = . 
 Đáp số: 0m = . 
2) cho hàm số ( )2 3 25 6 6 6y m m x mx x= − + + + − . 
với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại 1x = . 
 Đáp số: 1m = . 
3) Tìm m để hàm số ( )2 1 1
1
x m xy
x m
+ − += + − đạt cực đại tại 2x = . 
 Đáp số: 2m = − . 
BÀI 3. 
1) Cho hàm số 3 2y x ax bx c= + + + . Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi 0x = và 
đạt cực đại tại 2x = và giá trị cực trị là – 3. đáp số : 3, 0, 1a b c= − = = . 
2) Cho hàm số 
2
2
x ax by
x
+ += − . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tạu 3x = và có tiệm cận xiên là 
1y x= − . 
 Đáp số : 3, 3a b= − = . 
3) Cho hàm số 
2
2
ax bx cy
x
+ += − . Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại 1x = và đường 
tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng 1
2
xy −= . 
Đáp số: 2, 3, 0a b c= = − = . 
BÀI 4. 
- ∞
f(x0)
f'(x0)
x0 2
- 1
_
- ∞
 Trang 20
1) Cho hàm số 3 24 3y x mx x m= − − + . chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực 
đại , cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu nhau 
. 
 Đáp số : 1. 0
4C CT
x x = − <Ñ . 
2) Cho hàm số ( )3 2 2 33 3 1 3y x mx m x m m= + + − + − . chứng minh rằng với mọi m hàm số 
luôn có cực đại và cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định. 
 Đáp số : 2y = ± . 
3) Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x a x a a x= − + + + + . chứng minh rằng với mọi a, hàm số luôn 
đạt cực trị tại 1 2,x x với 2 1x x− không phụ thuộc vào tham số a. định a để 1y >CÑ . 
 Đáp số: 2 1
31, 0
2
x x a− = − < ≠ . 
BÀI 5. 
1) Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + . Tìm m để hàm số đạt cực 
đại và cực tiểu tại hai điểm 1 2,x x thỏa điều kiện: ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + . 
 Đáp số: 1 5m m= ∨ = . 
2) Cho hàm số ( ) ( )3 21 5 1
3
my x m x m x= − + + − − . với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại 
và cực tiểu đồng thời hoành độ 1 2,x x của các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện: 
( )1 2 1 2
2 2
1 2
3 4 0
24
x x x x
x x
+ + − ⎪⎩
. 
 Đáp số: 1 0
7
m− < < . 
3) Cho hàm số 3 26 3 2y x x mx m= − + + − . Xác định m để đồ thị hàm số cóđiểm cực đại 
( )1 1 1;M x y và điểm cực tiểu ( )2 2 2;M x y thỏa điều kiện: ( ) ( )1 21 2 1 2 02
y y
x x x x
− <− + . 
 Đáp số : 2 4m− < < . 
BÀI 6. 
1) Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − . 
a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu tại 1 2,x x và: 1 2 2x x+ = . 
 Đáp số : 1m = − . 
b) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng 
 Đáp số : 2 4m m= ∨ = . 
2) Cho hàm số 
22 3x x my
x m
− += − . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn điều kiện: 
8CTy y− >CÑ . 
 Đáp số : 1 5 1 5
2 2
m m− + . 
BÀI 7. 
1) Cho hàm số 
2 5x mx my
x m
− + −= − . với giá trị nào của tham số m thì hàm số có cực đại và cực 
tiểu đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu. .. 
 Đáp số : 2 2 6 2 2 6 5m m< − − ∨ − + < < . 
 Trang 21
2) Cho hàm số 
2 3 2 1
1
mx mx my
x
+ + += − . định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai 
điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục Ox. 
 Đáp số : 0 4m< < . 
3) Cho hàm số ( )2 1 1x m x my
x m
+ + − += − . với giá trị nào của tham số m thì hàm số có cực đại 
và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu . 
 Đáp số : 2 2 3 2 2 3m m − + . 
BÀI 8. 
1) Cho hàm số 3 23 3 1y x x mx m= − + + − . định m để hàm số có cực trị với hoành độ các điểm 
cực trị luôn nhỏ hơn 2. 
 Đáp số : 0 1m< < . 
2) Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 1y x m x m m x m m= − + + + + − + . định m để hàm số đạt 
cực trị tại hai điểm 1 2,x x sao cho 1 21 x x− < < . 
 Đáp số : 7 3 3 , 1
2
m m− +> ≠ . 
3) Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − . định m để hàm số có cực đại và cực tiểu 
có hoành độ trong khoảng ( )2;3− . 
 Đáp số : 1 4, 3m m− < < ≠ . 
BÀI 9. 
1) Cho hàm số ( )4 23 3y mx m x m= − − + . định m để hàm số có ba cực trị với hoành độ thuộc 
đoạn [ ]2;2− . 
 Đáp số : 3 3
7
m m≤ − ∨ > . 
2) Cho hàm số 
2 3 5x mxy
x m
+ += − . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có một cực trị thuộc 
đoạn [ ]1;1− . 
 Đáp số : 2 2
3
m≤ < . 
3) Cho hàm số 
( ) ( )2 3 21 2 2m x mx m m
y
x m
+ − − − −= − , với m là tham số khác -1. với giá trị nào 
của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng ( )0;2 . 
 Đáp số : m ∈∅ . 
BÀI 10. 
1) Cho hàm số 
2 1
2
x mx my
x
− + − −= − . 
a) định m để hàm số có cực đại và cực tiểu trên đoạn [ ]1;5− . 
 Đáp số : 4 5m− ≤ < . 
b) định m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại 1 2,x x sao cho 1 1 2 2 1 2x y x y x x+ < + , với ( )1 1y y x= vaø ( )2 2y y x= . 
 Đáp số : 5m < . 
2) Cho hàm số 
2 2
1
x mx my
x m
+ + −= − + . định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành 
độ nhỏ hơn 1. 
 Đáp số : 1 1m− < < . 
 Trang 22
3) Tìm a và b để các cực trị của hàm số 2 3 25 2 9
3
y a x ax x b= + − + đều là những số dương và 
5
9
x = − là điểm cực đại. 
 Đáp số : 81 400 5 36, ,
25 243 9 5
a b a b= > ∨ = − > . 
BÀI 11. 
1) Cho hàm số ( )3 2 23 2 3 4y x mx m m x= − + + − + . Xác dịnh tất cả các giá trị của m để hàm số 
có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 
 Đáp số : 3 1m− < < . 
2) Cho hàm số 
2 22 2
1
x x my
x
+ + += + . 
a) chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m , đồng thời các điểm cực 
đại và cực tiểu nằm về hai phía với trục hoành. 
 Đáp số : ( )21 2. 4 1 0,y y m m= − + < ∀ . 
b) Tìm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều trục Ox. 
 Đáp số : m ∈ \ . 
BÀI 12. 
1) Cho hàm số ( )2 1 2 1x m x my
x m
− + + −= − .Tìm m để hàm số có các cực trị luôn luôn nằm ở góc 
phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ 
 Đáp số : 5m > . 
2) Cho hàm số 
2 1
1
mx mx my
x
+ + += − . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực 
trị nằm ở góc phần tư thứ (I) và một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III) của mặt phẳng tọa độ 
 Đáp số : 0m > . 
BÀI 13. 
1) Xác định m dể hàm số 4 22y x mx= − + có ba cực trị. 
 Đáp số : 0m > . 
2) Cho hàm số ( ) 4 21 2 1y m x mx m= − − + − . định m để hàm số có đúng một cực trị. 
 Đáp số : 0 1m m≤ ∨ ≥ . 
3) Cho hàm số 4 2 22 1y x m x= − + . định m để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu lập thành 
một tam giác đều. 
 Đáp số : 6 3m = ± . 
4) Cho hàm số ( )4 22 2 2 3y x m x m= − + + − − . Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực 
tiểu. 
 Đáp số : 2m ≤ − . 
BÀI 14. 
1) Cho hàm số 3 2 33 4y x ax a= − + . Tìm a để hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua 
đường thẳng y x= . 
 Đáp số : 2
2
a = ± . 
2) Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm 
cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 2y x= + . 
 Đáp số : 1 171
4
m m − ±= − ∨ = . 
 Trang 23
5) Cho hàm số ( )2 3 1 4
2 1
x m x my
x
− + += − . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng 
nhau qua đường thẳng 1 0x y+ + = . 
 Đáp số : 1m = . 
BÀI 15. 
1) Cho hàm số ( )3 22 3 3 11 3y x m x m= + − + − . Tìm m để hàm số có hai cực trị.gọi 1 2,M M là 
các điểm cực trị, tìm m để 1 2,M M và ( )0; 1B − thăngr hàng. 
 Đáp số : 4m = . 
2) Cho hàm số ( )3 23 2 1 3y mx mx m x m= − + + + − . Xác định m để hàm số có cực đại và cực 
tiểu .Chứng minh rằng khi đó đường thẳng qua điểm cực đại ,cực tiểu luôn đi qua một điểm cố 
định. 
 Đáp số : ( ) ( )2 1 10 1; 1 10 , ;3
3 3 2
m m y m x m A⎛ ⎞ = − − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
4) Cho hàm số 3 21 1
3
y x mx x m= − − + + . chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn 
có cực đại ,cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại ,cực tiểu nhỏ nhất.
 Đáp số : 0m = . 
BÀI 16. xác định tham số k để hàm số sau có cực tiểu : 
 22 . 1y x k x= − + + . 
 Đáp số : 2k > .