Chuyên đề Các phương pháp về việc giải phương trình - Bất phương trình mũ và logarit

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PT
BỘ MÔN TOÁN
*****===*****
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
NĂM HỌC: 2009-2010
PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. MỤC TIÊU:
Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT
Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho các bộ môn khác
Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Luü thõa.
 1. §N: Cho khi ®ã: 
Ta cã: víi 
Chó ý: 
 vµ lµ kh«ng cã nghÜa
Cho sè thùc b vµ sè nguyªn d­¬ng n 2
Sè a ®­îc gäi lµ c¨n bËc n cña sè b nÕu an = b
Khi n lÎ , b R : Tån t¹i duy nhÊt 
Khi n ch½n b < 0 : Kh«ng tån t¹i c¨n bËc n cña b
 b = 0 : Cã mét c¨n : 
 b > 0 : cã hai c¨n bËc n cña b lµ: a = 
2. C¸c tÝnh chÊt: 
Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c . Khi ®ã: 
1. TÝch c¸c luü thõa cïng c¬ sè : 
2. Th­¬ng hai luü thõa cïng c¬ sè: 
3. Luü thõa cña mét tÝch: 
4. Luü thõa cña mét th­¬ng: 
5. Luü thõa cña luü thõa: 
* NÕu a > 1 th× 
* NÕu 0 < a < 1 th× 
6. C¨n bËc n : 
II. L«garÝt 
1. §Þnh nghÜa: 
 Cho hai sè d­¬ng a, b víi . Sè tho¶ m·n bÊt d¼ng thøc ®­îc gäi lµ l«garÝt c¬ sè a cña b . vµ kÝ hiÖu : 
= ó 
2. C¸c tÝnh chÊt: 
Loga1 = 0 Lgaa = 1
Loga{} = 
3. C¸c quy t¾c tÝnh L«garÝt : 
Víi c¸c sè d­¬ng : a, b, c, d, ,, ta cã: 
3.1 L«garÝt cña mét tÝch:
Loga( b.c.d ) = Loga b + Logac + Loga d
 3.2 L«garÝt cña mét th­¬ng: 
§Æc biÖt: 
3.3 L«garÝt cña mét luü thõa: 
 Hay
§Æc biÖt: 
Do ®ã: 
3.4 L«garÝt cña c¨n bËc n :
3.5 L«garÝt c¬ sè luü thõa: 
3.6 §æi c¬ sè lÊy L«garÝt:
1) §K: 
2) §K: 
3) §K: 
4. L«garit thËp ph©n, l«garit tù nhiªn:
4.1 L«garit thËp ph©n: lµ l«garit víi c¬ sè a = 10
 HoÆc 
4.2 L«garit tù nhiªn: lµ l«garit víi c¬ sè a = e = 2,7,1828
III. Hµm sè luü thõa:
§Þnh nghÜa: Hµm sè: y = , víi R, ®­îc gäi lµ hµm sè luü thõa.
TX§
Hµm sè s¬ cÊp
y = 
Hµm sè hîp
y = 
NÕu Z+ : TËp sè nguyªn d­¬ng. 
Th× TX§: D = R
NÕu Z - : TËp sè nguyªn ©m.
Th× TX§: D = R\ { 0 }
NÕu Z : TËp sè nguyªn 
Th× TX§: D = ( 0; + )
NÕu Z+ : TËp sè nguyªn d­¬ng. 
Th× TX§: Du = R
NÕu Z - : TËp sè nguyªn ©m.
Th× TX§: Du = R\ { 0 }
 ó u 0
NÕu Z : TËp sè nguyªn 
Th× TX§: Du = ( 0; + )
 ó u > 0
§¹o hµm: 
Hµm sè: y = , víi R cã ®¹o hµm víi mäi x > 0
Hµm sè s¬ cÊp
y = 
Hµm sè hîp
y = 
y’ = ’ 
y’ = ’ 
*TÝnh chÊt: 
 §å thÞ hµm sè lu«n ®i qua ®iÓm ( 1; 1 )
 Khi > 0 th× hµm sè luü thõa lu«n ®ång biÕn. 
 Vµ kh«ng cã tiÖm cËn
 Khi < 0 th× hµm sè luü thõa lu«n nghÞch biÕn. 
 Vµ cã tiÖm cËn Ngang lµ trôc Ox
 tiÖm cËn §øng lµ trôc Oy
IV. Hµm sè mò:
1. §N: Hµm sè y = ( a > 0; ) ®­îc gäi lµ hµm sè mò c¬ sè a.
2. TX§: D = R
3. §¹o hµm: 
 Hµm sè y = cã ®¹o hµm t¹i mäi x
Hµm sè s¬ cÊp
y = 
Hµm sè hîp
y = 
y’ = ’ 
y’ = ’ 
* TÝnh chÊt : > 0 
 Khi > 1 th× hµm sè mò lu«n ®ång biÕn.
 Khi < 1 th× hµm sè mò lu«n nghÞch biÕn.
 * §å thÞ cña hµm sè mò cã tiÖm cËn ngang lµ trôc Ox
Vµ lu«n ®i qua c¸c ®iÓm: ( 0; 1 ) ; ( 1; a ) Vµ n»m phÝa trªn trôc hoµnh Ox.
V. Hµm sè L«garit.
1. §N: Hµm sè y = Logax ( a > 0; ) ®­îc gäi lµ hµm sè l«garit c¬ sè a.
2. TX§: D = ( 0; + ) Hay x > 0
 §iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã nghÜa:
Hµm sè s¬ cÊp
 y = Logax 
Hµm sè hîp
 y = Logau ( a > 0; ) 
( a > 0; ) 
X > 0
( a > 0; ) 
U > 0
 §¹o hµm: 
Hµm sè s¬ cÊp
 y = Logax ( a > 0; ) 
Hµm sè hîp
 y = Logau ( a > 0; ) 
y’ = ( Logax )’ = 
Y’ = ( Logau )’ = 
§Æc biÖt: 
Y = ln X
Y’ = ( ln x )’ = = 
Y = ln U
Y’ = ( ln U )’ = = 
* TÝnh chÊt: 
 Khi a > 1 th× hµm sè mò lu«n ®ång biÕn.
 Khi a < 1 th× hµm sè mò lu«n nghÞch biÕn.
* §å thÞ cña hµm sè l«garit cã tiÖm cËn ®øng lµ trôc Oy
Vµ lu«n ®i qua c¸c ®iÓm: ( 1; 0 ) ; ( a; 1 ) Vµ n»m phÝa bªn ph¶i trôc tung Oy.
VÊn ®Ò : 
Ph­¬ng tr×nh mò. BÊt ph­¬ng tr×nh mò.
Ph­¬ng tr×nh L«garit. BÊt Ph­¬ng tr×nh L«garit.
I. Ph­¬ng tr×nh mò.
1. Ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n: 
 ax = b ( a > 0; ) 
NÕu th× PT v« nghiÖm
NÕu th× PT cã nghiÖm duy nhÊt: x = loga b
2. PT mò ®¬n gi¶n: 
 PP gi¶i: 
Hµm sè s¬ cÊp
Hµm sè hîp
1. §­a vÒ cïng c¬ sè: 
§­a vÒ cïng c¬ sè: a
ó = ac
ó x = c
§­a vÒ cïng c¬ sè: c
ó = 
ó = 
ó = 
ó 
ó x = 
§­a vÒ cïng c¬ sè: a
ó = ac
ó u = c
§­a vÒ cïng c¬ sè: c
ó = 
ó = 
ó = 
ó 
ó u = 
2. LÊy l«garit hai vÕ ( l«garit ho¸ ).
ó loga = logab
ó x = logab
ó loga = logab
ó u = logab
3. §Æt Èn phô:
§Æt t = §K: t > 0
Khi ®ã: 
PT trë thµnh PT bËc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C = 0
HoÆc d¹ng kh¸c:  ®èi v¬i Èn t
Ta gi¶i PT ®ã theo Èn t 
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
 = t1 => x1 = loga t1 
 = t2 => x2 = loga t2 
§Æt t = §K: t > 0
Khi ®ã: 
PT trë thµnh PT bËc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C = 0
HoÆc d¹ng kh¸c: ®èi v¬i Èn t
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
 = t1 => u1 = loga t1 
 = t2 => u2 = loga t2 
II. Ph­¬ng tr×nh L«garÝt:
1. Ph­¬ng tr×nh L«garÝt c¬ b¶n: ( a > 0 , )
 Logax = b ó x = ab
2. PT L«garÝt ®¬n gi¶n: 
Hµm sè s¬ cÊp
Hµm sè hîp
1. §­a vÒ cïng c¬ sè l«garÝt. 
§K: x > 0
1. §­a vÒ cïng c¬ sè l«garÝt. 
§K: u > 0
2. Mò ho¸ 
3. §Æt Èn phô: §Æt Èn phô:
§Æt t = §K: t > 0
Khi ®ã: 
PT trë thµnh PT bËc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C = 0
HoÆc d¹ng kh¸c:  ®èi v¬i Èn t
Ta gi¶i PT ®ã theo Èn t 
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
 = t1 => x1 = 
 = t2 => x2 = 
§Æt t = §K: t > 0
Khi ®ã: 
PT trë thµnh PT bËc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C = 0
HoÆc d¹ng kh¸c:  ®èi v¬i Èn t
Ta gi¶i PT ®ã theo Èn t 
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
 = t1 => u1 = 
 = t2 => u2 = 
III. BÊt ph­¬ng tr×nh mò.
BÊt ph­¬ng tr×nh mò c¬ b¶n.
HS S¬ CÊp: HoÆc , , 
 HS Hîp: HoÆc , , Víi ( a > 0 , )
NÕu th× tËp nghiÖm cña BPT: lµ: S = R
	lµ: S = Tøc lµ BPT v« nghiÖm
NÕu th× BPT cã nghiÖm:
Víi c¬ sè: a > 1
Víi c¬ sè: 0 < a < 1
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
2. BÊt ph¬ng tr×nh th­êng gÆp:
§Æt t = §K: t > 0
Khi ®ã: 
BPT trë thµnh BPT bËc hai:
A.t2 + B.t + C 0 .. )
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D 0 )
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C > 0 ( HoÆc A.t4 + B.t2 + C < 0  ) 
HoÆc d¹ng kh¸c: ®èi v¬i Èn t
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
Víi a > 1
 => u1 < loga t1 
 => u1 loga t1
 => u1 > loga t2
 => u1 loga t1
 => u2 < loga t2 
 => u2 loga t2
 => u2 > loga t2
 => u2 loga t2
Víi a < 1
 => u1 > loga t1 
 => u1 loga t1
 => u1 < loga t1
 => u1 loga t1
 => u2 > loga t2 
 => u2 loga t2
 => u2 < loga t2
 => u2 loga t2
Tõ ®ã rót ra kÕt luËn vÒ nghiÖm cña BPT.
IV. BÊt ph­¬ng tr×nh l«garÝt.
BÊt ph­¬ng tr×nh l«garÝt c¬ b¶n.
HS S¬ CÊp: HoÆc , , 
 HS Hîp: HoÆc , , 
 Víi ( a > 0 , )
Víi c¬ sè: a > 1
Víi c¬ sè: 0 < a < 1
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
ó 
TËp nghiÖm: 
2. BÊt ph¬ng tr×nh th­êng gÆp:
§Æt 
Khi ®ã: 
BPT trë thµnh BPT bËc hai:
A.t2 + B.t + C 0 .. )
HoÆc PT bËc ba: 
A.t3 + B.t2 + C.t + D 0 )
HoÆc PT trïng ph­¬ng:
A.t4 + B.t2 + C > 0 ( HoÆc A.t4 + B.t2 + C < 0  ) 
HoÆc d¹ng kh¸c: ®èi v¬i Èn t
T×m ®­îc nghiÖm t1; t2 ( t1; t2 > 0 ) 
Sau ®ã, gi¶i PT CB:
Víi a > 1
Víi a > 1
Tõ ®ã rót ra kÕt luËn vÒ nghiÖm cña BPT.
Lũy thừa:
Logarit:
C. NỘI DUNG CHÍNH:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT 
 Dùng đễ ôn tập trong chương trình bồi dưởng sọc sinh yếu , ôn thi tốt nghiệp THPT
I)Phương trình mũ 
Dạng cơ bản
Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây:
 1)Tích qui về cùng cơ số:
 Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm
 TD Giải các phương trình sau đây 
2x+1.4x-1 . 
 2) Tổng qui về cùng cơ số 
 Thông thường ta đưa về cơ số nguyên dương bé nhất và thu gọn thành phương trình bậc hai
Đặt t = ax ( t > 0 )
Suy ra anx = t n 
Nếu a.b = 1
 Đặt t = ax thì bx= 1/ t 11
 TD Giải các phương trình sau đây ; 
 Do t > 0 nên ta chỉ nhận nghiệm t = 2 
 Suy ra 2x = 2 . KQ x = 1
 Chia hai vế cho 8x ta được phương trình
 Đặt ( t > 0 )
 Ptr : t3 + t - 2 = 0 
 Ta được nghiệm duy nhất t = 1 
 KQ x = 0 
 3) Tích chứa cơ số khác nhau 
 Dùng phương pháp logarit hóa ( Lấy log hai vế theo cơ số thích hợp )
 TD Giải các phương trình 
 a) 
 Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2
 Ta được phương trình 
 4) Tổng không đưa về được cùng cơ số 
 Tính nhẩm tìm nghiệm x 0 của phương trình
 Chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất
 TD Giải các phương trình: 
2x + 3x = 5
Phương trình nhận nghiệm x = 1
2x + 3x = 5 2x + 3x - 5 = 0
Xét hàm số f(x) = 2x + 3x – 5 ( xác định với mọi x )
Ta có f / (x) = 2xln2 + 3x ln3 > 0 
Suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
2x + 3x = 5 x 
Phương trình nhận nghiệm x = 1
Chia hai vế của phương trình cho 3x
Cả hai hàm số đều có tập xác định là R
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến
Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại mọt điểm duy nhất
KL phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1
II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 DẠNG CƠ BẢN : 	
 Ta tập trung vào ba dạng sau đây : 
Tổng qui vế cùng cơ số 
Thu gọn về dạng cơ bản
TD Giải các phương trình
a) 
 ĐK x > 0. Đưa về cơ số 2 , ta được phương trình
Đặt ẩn phụ: Khi trong ptr chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích hoặc thương
TD: giải ptr:
Đk:
Đặt t = logx
Ptr :
Thu gọn: 
 Đk: 
 Đặt 
 Ptr : 
 Thu gọn: 
Tổng cơ số khác nhau:
Tìm nghiệm x0
Chứng tỏ ptr có một nghiệm duy nhất x0
TD: giải ptr:
 ĐK : 
 Ptr có nghiệm x = 4
 Ptr : 
 Xét hs 
 TXĐ: 
 Suy ra hs f(x) đồng biến
 Do đó ptr có duy nhất một nghiệm x = 4
Bài tập tương tự:
 Bài 1: giải các ptr mũ:
Bài 2: giải các ptr logarit:
 a. 
 b. 
 c. 
	 d. log(
	 e. 
	 f. 
	 g. 
	 h. 
	 i. 
	 j. 
 k. 
	 e. 
 III) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
 Khi giải chủ yếu xét theo tính đơn điệu của hàm số mũ 
 Các dạng cũng tương tự như phương trình mũ
 TD1 Giải các bất phương trình sau đây (Dạng )
 TD2 Giải các bất phương trình (Dạng đặt ẩn phụ )
4x – 3.2x + 2 > 0
Đặt t = 2x ( t > 0)
Phương trình: t2 – 3t + 2 > 0 
2x+1 + 2-x – 3 < 0
 Đặt t = 2x ( t > 0 ) 
 Bất phương trình : 
 IV) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
 Khi giải ta cũng dựa theo tính chất đơn điệu của hàm số Logarit1
 Chú ý các dạng thường gặp sau đây 
 TD Giải các phương trình : 
 Nên bất phương trình có nghiệm : 
 Do cơ số a < 1 .Nên bất phương tương đương với
 -4 -3 -2 1 
-
-
 - 0 +
+
+
 + 0 -
 -
- 0 +
+
+
 + 0 -
-
 - 0 +
Chọn nghiệm thuộc miền mang dấu 
Kết quả: nghiệm của ptr: là 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Giải các bất ptr mũ:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e. 
	f. 
	g. 
	h. 
 Bài 2: Giải các bất ptr logarit : 
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	h) 
 V) Một số pt & bptr mũ, log trong đề thi TNPTvà ĐH 
Tốt nghiệp phổ thông 
Giải các phương trình sau đây : 
2x+2 – 9.2 x + 2 = 0 
3 2x+1 - 9.3 x + 6 = 0 (2008)
 25 x - 6.5x + 5 = 0 (2009) 
2) Đại học
Giải phương trình 
Giải bất phương trình 
Giải bất phương trình 
Giải phương trình 
Giải bất phương trình
Giải bất phương trình
	Tiếp