Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
I-Bất đẳng thức cô si 
1.Chứng minh rằng 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + + với a,b,c>0 
2.Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ + ≥+ + + với a,b,c>0 và abc =1 
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
+ + ≥+ + + + + + 
4.Cho k số không âm 1 2, ,..., ka a a thoả 1 2... 1ka a a = 
Cm: 1 2 1 2... ...
m m m n n n
k ka a a a a a+ + + ≥ + + + với ; ,m n m n N≥ ∈ 
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: 2004 2004 2004 3x y z+ + = .Tìm GTLN của biểu thức 
3 3 3A x y z= + + 
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8 8 8 2 2 2a b c a b c+ + ≥ + + 
7.Cho số tự nhiên 2k ≥ . 1 2, ,..., ka a a là các số thực dương 
Cmr: 1 2 1 2
2 3 1
... ...
mm m
m n m n m nk
nn n n
aa a a a a
a a a
− − −+ + + ≥ + + + 
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 
1 1 1 1
x y z
+ + = .Tìm GTNN của biểu thức 
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y zA
y z x
= + + 
9.Tìm GTNN của 
20 20 20
11 11 11
x y zA
y z x
= + + với 1x y z+ + = 
10.Cho n số thực 1 2, ,..., nx x x thuộc đoạn [ ], , 0a b a > 
Cmr: ( ) ( )( )21 2
1 2
1 1 1... ...
4n n
n a b
x x x
x x x ab
+⎛ ⎞+ + + + + + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
11.Cho n là số nguyên dương;lấy [ ]2000;2001ix ∈ với mọi i=1,2,n 
Tìm GTLN của ( )( )1 2 1 22 2 ... 2 2 2 ... 2n nx xx x x xF −− −= + + + + + + 
12.Xét các số thực 1 2 2006, ,...,x x x thoả 1 2 2006, ,...,6 2
x x xπ π≤ ≤ 
Tìm GTLN của biểu thức 
( )1 2 2006
1 2 2006
1 1 1sin sin ... sin ...
sin sin sin
A x x x
x x x
⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
13.Cho n số dương 1 2, ,..., na a a Đặt : { } { }1 2 1 2min , ,..., , ax , ,...,n nm a a a M M a a a= = 
1 1
1,
n n
i
i i i
A a B
a= =
= =∑ ∑ .Cmr: ( )1B n m M AmM≤ + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
14.Cho 0, 0, 1,i ia b i n≥ ≥ ∀ = .Chứng minh rằng: 
( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n nn n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + 
15.Cho 0, 1,ia i n≥ ∀ = .Chứng minh rằng: ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 ... 1 1 ... nnn na a a a a a+ + + ≥ + 
16.Chứng minh ( )1.2... 1 1 1.2...nn n n+ ≥ + với 2,n n N≥ ∈ 
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có : 
1/
3
1 1 1 21 1 1 1
sin sin sin 3A B C
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
2/
3
1 1 1 21 1 1 1B C 3os os os
2 2 2
Ac c c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
3/
31 1 1 21 1 1 1
3a b cm m m R
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: ( )
44 4
43 3b b ca a a a b
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 
19.Cho 
1
, 0, 0 1,.. ; 1
n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =∑ . Cmr: 
 ( )
1 2
...
mm m
m
n
b b ba a a n a nb
x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 với m > 0 
20.Cho , , 0, 1a b c a b c> + + = .Chứng minh rằng: 3 1 1 11 1 1 8
ab bc ca
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 
21.Cho [ ];∈x a b .Tìm GTLN của biểu thức ( ) ( ) ( )m nF x x a b x= - - với *, Νm n Î 
22.Cho 0
2
;x π
é ù
ê úÎ
ê úë û
.Tìm GTLN của biểu thức ( ) psin . osqF x x c x= với *, Νp q Î 
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức ( ) 30 4 2004, ,F a b c a b c= 
24.Cho , 0, 6x y x y³ + £ .Tìm GTLN của các biểu thức sau : 
1/ ( ) ( )2002, . . 6F x y x y x y= - - 
2/ ( ) ( )2002, . . 4F x y x y x y= - - 
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
1 1 1 1P
ab bc caa b c
= + + +
+ +
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2 2
1 1 1 1 1P
acd abd abc bcda b c d
= + + + +
+ + +
27.Giả sử 1 2, ,..., nx x x >0 thỏa mãn điều kiện 
1
1
1
n i
i i
x
x=
=å
+
. Cmr: 
( )1
1
1
n
i ni
x
n=
£Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn 2 3 1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr: 2 3 6
1
5
ab c £ 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
29. Giả sử 1 2, ,..., nx x x >0 thỏa mãn điều kiện 
1
1
n
i
i
x
=
=å .Cmr: 
( )1
1
1 1
n i
ni i
x
x n=
£Õ
- -
30. (QG-98) Giả sử 1 2, ,..., nx x x >0 thỏa mãn điều kiện 
1
1 1
1998 1998
n
i ix=
=å
+
Cmr: 1 2
. ...
1998
1
n
nx x x
n
³
-
31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện 
1
1
n
i
i
a
=
<å 
Cmr: 
( )
( )( )( ) ( )
1
1 2 1 2
1 2 1 2
... 1 ... 1
... 1 1 ... 1
n
n n
n n
a a a a a a
a a a a a a n
+é ù- + + + æ öë û ÷ç£ ÷ç ÷çè ø+ + + - - -
33.Cmr: , 2n N n" Î ³ ta có 1 1 2
n n
n nn n
n n
- + + < 
34.Cho [ ], , 0;1x y z Î .Cmr: ( ) ( )3 3 3 2 2 22 3x y z x y y z z x+ + - + + £ 
35. Cho [ ], , 0;2x y z Î .Cmr: ( ) ( )6 6 6 4 2 4 2 4 22 192x y z x y y z z x+ + - + + £ 
36.Cho [ ]1;2ix Î với i=1,,2000.Thỏa mãn 
2000
1
2005i
i
x
=
=å Tìm GTLN của 
2000 3
1
i
i
A x
=
= å 
37.Chứng minh : 2 2 21 1 1 3.2a b c
ab bc ca
α α α
α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Trong đó , , , 0a b c α > 
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1 
Tìm GTNN của biểu thức ( )2 2 2P a x y z= + + 
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : 2 2 2 216
25
x y z xy a+ + + = .Trong đó a là một số dương 
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx 
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 2 2 21 1
2
a b c d≤ + + + ≤ 
Tìm GTLN và GTNN của : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2P a b c b c d b a c d= − + + − + + − + − 
41.Cho hàm số ( )f x thỏa mãn pt ( ) 4 42 cotf tg x tg x g x= + 
Cmr: ( ) ( )s inx cosx 196f f+ ³ ( OLP-30-4-99) 
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2 4a b+ = và c+d=4 . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd 
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2 1a b+ = và c+d=3 Cmr: 9 6 2ac+bd+cd
4
+≤ 
3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2 1a b+ = và c-d=3 
Cmr: 9 6 2ac+bd-cd
4
+≤ 
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 2 2 2 240 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13a b a b c d c d x y+ + = + + + = + = + 
Tìm GTNN của ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2P x a y b x c y d= − + − + − + − 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0 
Chứng minh rằng : 2 2 2 26 10 34 10 14 74 6a b a b a b a b+ − − + + + − − + ≥ 
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4 
Cmr: 2 2 2 2 2 2 2 212 8 52 2 2 4 8 20 4 5a b a b a b c d ac bd c d c d+ − − + + + + + − − + + − + + ≥ 
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 26; 1c d a b+ = + = 
Cmr: 2 2 2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ − 
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : ( ) ( )2 2 2 22 ; 4 1a b a b c d c d+ = + + = + − 
Cmr: ( )4 2 2 2 4 2 2a b c d− ≤ + + + ≤ + 
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2 5a b c d+ = + = 
Cmr: 3 305 2 5 2 5
2
a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào? 
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: 2 2 2 24 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥ 
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn ( ) ( )2 2 2 21 2 ; 36 12a b a b c d c d+ + = + + + = + 
Cm: ( ) ( ) ( ) ( )6 62 22 1 2 1a c b d− ≤ − + − ≤ + 
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : 
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≥ ≥⎩
Cmr: 2 235 4 8 45
2
x y x y− ≤ + − − ≤ 
13.Cho các số x,y thỏa mãn : 
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
y x
− + − ≤⎧⎪ + + ≥⎨⎪ − − ≥⎩
Cm: 2 216 20
5
x y≤ + ≤ 
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
1Chứng minh rằng với mọi α ta có 
2 217 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11c c c cα α α α≤ + + − ≤ + 
2.Tìm GTNN của hàm số 2 24 12 2 3y x x x x= − + + − − + + 
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0;
2
tgt t t t π⎡ ⎞+ ≥ ∀ ∈ ⎟⎢⎣ ⎠ 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C . 
Chứng minh :
A B C1 os 1 os 1 os
2 2 2 3 3
A B C
c c c+ + +
+ + > ( A,B,C đo bằng rađian) 
4.Cho [ ], 0;1a b∈ Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 1
1 1 1
x b a x a b
a b x a x b
+ + + − − − ≤+ + + + + + với [ ]0;1x∀ ∈ 
5.Cho hàm số 
2
2
os -2x+cos
x 2 os +1
x cy
xc
α α
α= − với ( )0;α π∈ 
Chứng minh : 1 1;y x− ≤ ≤ ∀ 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
6.Chứng minh sin sin sin 2A B C tgA tgB tgC π+ + + + + > .với A,B,C là ba góc 
của một tam giác. 
7.Chứng minh sinx 12 2 2 ;0
2
tgx x x π++ > < < 
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện ( ) 0,f x x≥ ∀ 
Cmr: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,, ... 0,nf x f x f x f x x+ + + + ≥ ∀ 
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có 
1 1 1cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
A B C
⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức: 
( ) ( )1 1 5os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 2 6
c c c− + .Chứng minh tam giác ABC đều 
11.Cho 0
2
a b π2 cosb-cosa 
12.Cho 
a 1
0 q p q+1
≥⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ .Chứng minh rằng ( )( )1p q p qa p q a a+ − ≥ + − 
 13.Cho π< <0
2
x .Chứng minh rằng : 
3s inx osx
x
c⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: ( )6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+ + + + + ≥ 
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa 2 2 2 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥+ + + 
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có 
( ) ( )2 1sin sin sin
3 3
A B C tgA tgB tgC π+ + + + + > 
17.Cho π< <0
2
x .Cmr: 
3 12 s inx 22 2 2
x
tgx ++ > 
18Cho số nguyên lẻ 3n ≥ .Cmr: 0x∀ ≠ ta luôn có : 
2 3 2 3
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n nx x x x x xx x
n n
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + − + − + − <⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
19.với giá trị nào của m thì 3 3sin os ,x c x m x+ ≥ ∀ 
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 
2
3
2 2
4 1
8
4
xy
x x y
≤
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
21.Cho 0, 0x y≠ ≠ là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − 
Tìm GTLN của biểu thức 3 3
1 1A
x y
= + 
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện 3, ,
4
a b c ≥ − 
Chứng minh ta có bất đẳng thức 2 2 2
9
101 1 1
a b c
a b c
+ + ≤+ + + 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
23.(HSG Bà Rịa12-04-05) 
1/Tìm cực trị của hàm số 
2
1
1
xy
x x
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 
Tìm GTNN của 2 2 21 1 1P x x y y z z= − + + − + + − + 
24.Tìm GTNN của ( )2 2 23 1 1 1 2P x y z x y z⎛ ⎞= + + + + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
25. Cho , , 0a b c > và 6a b c+ + = . Cmr: 4 4 4 3 3 32( )a b c a b c+ + ≥ + + 
26. Cho , , 0a b c > và 2 2 2 1a b c+ + = . Cmr: 1 1 1( ) ( ) 2 3a b c
a b c
+ + − + + ≥ 
27Cho a,b,c>0 .Cmr : 2 2 2
9
4( )( ) ( ) ( )
a b c
a b cb c c a a b
+ + ≥ + ++ + + 
28. (Olp -2006)Cho , , 0a b c > .Cmr: 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + ++ + ≤+ + + + + + 
39.(Olp nhật 1997)Cho , , 0a b c > .Cmr: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −+ + ≥+ + + + + + 
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 
4
2
x y z
xyz
+ + =⎧⎨ =⎩ . 
Tìm GTLN và NN của biểu thức 4 4 4P x y z= + + (QG -B-2004) 
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( )3 32x y z xyz+ + = 
Tìm GTLN và GTNN của ( )
4 4 4
4
x y zP
x y z
+ +=
+ +
 (QG-A-2004) 
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d≤ ≤ ≤ và bc ad≤ .Chứng minh rằng 
b c d a d a b ca b c d a b c d≥ 
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 3 1 3 2x x y y− + = + − 
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B- ... ải hệ 
2
2
2
1
2
1
yx
y
xy
x
⎧ =⎪ −⎪⎨⎪ =⎪⎩ −
4.Chứng tỏ rằng với mọi 0a ≠ thì hệ sau có nghiệm duy nhất 
2
2
2
2
2
2
ax y
y
ay x
x
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
5.Tìm a để hệ 
sinx=a
sin
x
y
y y a
x
⎧ +⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
có nghiệm duy nhất 0 2 ,0 2x yπ π< ≤ < ≤ 
6.Giải hệ: 
⎧ + − + − + =⎪⎪ + − + − + =⎨⎪ + − + − + =⎪⎩
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
7.Giải hệ: 
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ − + − =⎪⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎪⎩
 ( QG – A- 2006) 
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006) 
2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax
............................
4 axn
x x x
x x x
x x x
⎧ = − +⎪ = − +⎪⎨⎪⎪ = − +⎩
6.Giải hệ:
( )
( )
2 1 2 2 1
2 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
− − + − +⎧ + = +⎪⎨⎪ + + + + =⎩
 ( HSGQG 1999) 
7.Giải hệ: 
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
c y
y c
+ = +⎧⎪⎨ + = +⎪⎩
 (THTT) 
8.Gọi ( );x y là nghiệm của hệ pt: 
2 4
3 1
x my m
mx y m
ì - = -ïïíï + = +ïî
( m là tham số) 
Tìm GTLN của biểu thức 2 2 2A x y x= + - , khi m thay đổi 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
HƯỚNG DẤN GIẢI 
I.Bất đẳng thức 
4. ( ) , 1,..,m ni ina m n ma i k+ − ≥ ∀ = 
7. 
( )
( )
1
2 1
2
1
1 2
2
* :
...
* :
* :
...
m
m n m n
n
m
m n m n
n
a
m n m n na ma
a
m n csi
a
m n n m ma na
a
− −
− −
> − + ≥
=
< − + ≥
20. ( )( )( )( )2
1 1 11 1 11 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca abc
− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 
Ta có: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 1 1 12 2
1 1
4 4 4 2
a b c c a ba b a b a b
ab
+ + + + + + +⎡ ⎤+ + + − − ⎣ ⎦− ≥ − = = ≥ 
Tương tự suy ra: 
21 1 1 11 1 1
8
A
a b c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞≥ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 
Mà: 
3
3
3
1 1 1 11 1 1 1 4
a b c abc
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 Vậy: ( )3 8A dpcm≥ 
26. 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 12 a b c dP
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bcaa b c d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + + 
2 2
1 1 1 1 1 1 1*
...
1 1 1 1 1 1*
*
A B C
A
ab ac ad bc bd cda d
B
ab ac ad bc bd cd
a b c dC
bcd acd dab abc
= + +
= + + + + + ++ +
= + + + + +
= + + +
Ta cm: 100, 96, 64 260A B C P≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ 
29.Đặt: , 1,...,
1
i
i
i
x
X i n
x
= ∀ =− ta có 
1
1
1
... ... 1
1 1
n
n
n
XX
x x
X X
+ + = + + =+ + 
Từ đó suy ra: ( )1 21
1 1 1... 1 . ...
1 1 1
n nn
n X X X
X X n
+ + = − ⇒ ≤+ + −
 (đpcm) 
30. Đặt: , 1,
1998
i
i
xX i n= ∀ = .Ta có: 
1
1 1... 1
1 1 nX X
+ + =+ + 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
Từ đó suy ra: ( )1... 1 nnX X n≥ − .vậy có (đpcm) 
31.Đăt: ( )11 1
1
1 ...
; 1,..., ;
1 ...
n
i n
i n
a aa
X i n X
a a a+
− + += = =− + + 
Ta có: 
1 1
1 1 1...
1 1 1n n
n
X X X +
+ + + =+ + + .vậy 
1
1 1
1...
n
n nX X X n
+
+ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
38. 
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 1
2
z zP a x y z x y a x y
xz yz xy
α α α
α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
≥ + + −
Chọn 
2
aα α= − 
39. 
( )( )
( ) ( )
22 2
2 2 2 2 2 2 216 161
25 2 2 25
162 2 1
2 25
z zP x y z xy qx qy q x y xy
q xz yz q xy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤≥ + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
Chọn ( ) 16 182 2 1
2 25 25
q q q= − + ⇔ = 
2
ax
5
6M
aP = khi 3
3
5 3
ax y
az
⎧ = = ±⎪⎪⎨⎪ = ±⎪⎩
39.Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị 
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: 2 2 2 2,a d c d= = .với p>0 xác định sau ta có 
cộng theo vế : 
( )( ) ( )2 2 2 25 105 5 pP p a d b cp+≤ + + + + Chọn p thỏa : 1 2 1 51 2pp pp+ ++ = ↔ = 
Vậy ( )ax 5 3 52mP += 
43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx 
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 
1.Gọi ( ) ( ); , ;M a b N c d Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn 2 2 4x y+ = và đường 
thẳng 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
4x y+ = .Dễ thấy ( ) ( ) ( )2 2 22 20 20ac bd cd a c b d MN− + + = − + − − = − 
Mà 2 12 8 2MN ≥ − nên ( )2 8 8 2 4 4 2ac bd cd ac bd cd− + + ≥ − − ⇔ + + ≤ + 
Vậy axP=4+4 2m khi 2; 2a b c d= = = = 
2.và 3 tương tự 
4.Gọi ( ) ( ) ( ); , , , ;N a b Q c d M x y Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2: 4 5 1, : 2 3 1C x y C x y− + − = − + − = và đường thẳng 
( )Δ :3 2 13 0x y− − = 
Khi đó P MQ MN= + 
Gọi 1,I R và 2,J R lần lượt là tâm và bán kính của ( ) ( )1 2,C C 
Lấy ( );K u v đối xứng với I qua ( )Δ thì 118 21;
13 13
K ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ) ( ) ( )
( )
1 2
2 13 1
P MQ MN MJ JQ MI IN MJ MK R R= + ≥ − + − = + − +
= − 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 1 1, ,M M Q Q N N≡ ≡ ≡ .Trong đó 1 1,M Q là giao 
Của JK với ( )Δ và ( )2C còn ( )1 1 1N M I C= ∩ 
Vậy ( )min 2 3 1P = − 
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT 
3.Từ câu a) ta có 
1 ost ost cot
2t sin
c c gt
t
+ > = .và vì cot cot 3 3
2 2 2
A B Cg cogt g+ + ≥ nên có đpcm 
4.Hàm số ( ) ( )( )( )1 1 1
1 1 1
x b af x x a b
a b x a x b
= + + + − − −+ + + + + + với [ ]0;1x ∈ 
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm 
1TH : ( ), 0f x = VN Thì ( ) ( ) ( ){ }ax f 0 ; 1 1f x M f≤ ≤ 
2TH : ( ), 0f x = có nghiệm duy nhất x α= thì vì ( ),f x đồng biến nên α là điểm 
cực tiểu vì vậy [ ] ( ) ( ) ( ){ }0;1 ax 0 ; 1 1axf x m f fm = ≤ (đpcm) 
8.Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ... nF x f x f x f x= + + + thì 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ... nF x f x f x f x F x f x= + + + = − (1) 
vì f là đa thức bậc n nên ( ) ( )1 0nf x+ = .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn 
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại 0x Thì 
( ), 0 0F x = 
vậy từ (1) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ),0 0 0 0 0F x F x f x f x= + = ≥ (đpcm) 
12. ( )( ) ( )( )1 p+q 1 0p q p q p q p qa a a a p q a a+ +− ≥ − ↔ − + − − ≥ 
 Hàm số: ( ) ( )( ) 1p q p qf x x p q x x+= − + − − đồng biến trên [ )1;+∞ 
Và có ( )1 0f = nên từ 1a ≥ ta có (đpcm) 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của ( ) 2 3sin .f x x tgx x= − 
Chú ý: ( ) ( )2 22 2 1 12sin 2sinx+tgx 3
3 3
x tg x x+ ≥ > 
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x 
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị 1
3
x = là 
( )3 21y x x x x= − = − 
23. 
2
1
1
xy
x x
+=
− +
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1 
nên 2 2 21 1 1P x x y y z z= − + + − + + − + nhỏ nhất bằng 3 
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi 
40. 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
24 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
2 2
2
2 2 2
16 2 2 16
P x y z x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
t t
= + + = + + − + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + + − + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − −
với t=xy + yz +zx 
( ) ( ) 24t x y z yz x x
x
= + + = − + 
Vì 
24 2 4 3 5;2
2 2 2
y z x xyz x
x
+ − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤≤ = ⇔ ≤ ⇔ ∈ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ do (0<x<4) 
Từ đó tìm được min và max của P 
41.Tương tự40 
42. Lấy ln hai vế ta có ( )( ) ( )( )ln ln ln lnd b c a c a d b− − ≥ − − (1) 
Nếu a c= hoặc d b= thì hiển nhiên đúng 
Xét a c≠ và d b≠ .Khi đó (1) ( ) ln lnln ln ln ln1
1 1
c d
c a d b a b
c dc a d b a b
a b
− −↔ ≥ ↔ ≥− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Xét hàm số : ( ) ( )ln , 1,
1
xf x x
x
= ∈ +∞− nghịch biến trên ( )1,+∞ Suy ra: 
ln ln ln ln
1 1 1 1
c d c d
c d a b a bf f
c d c da b a b
a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
44,45. Biểu diễn sin 2 , os2xx c theo cotgx ta được ( )
2
2
2 1
1
t tf t
t
+ -=
+
IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
6. xét hàm số ( )
2 2
3 22 sin 2 sin 2 sin os
2 2 3
n na x b x cf x x cc x
n n
+ +
= - + -
+ +
8.a) 3 5 2 4 5 4 4 3.x x x x x x x+ = « - = - (1) .Giả sử pt có nghiệm x α= 
Xét hàm số ( ) ( )1 0,f t t t tα α= + - > có ( ) ( )4 3f f= .Do đó tồn tại ( )3 4;c Î 
Sao cho ( ) ( ) 1 1 00 1 0
1
,f c c cα α
α
α
α
- - é =é ù ê= « + - = «ê ú êë û =ë
Thử lại thấy 0x = và 1x = đều thỏa mãn (1) 
Vậy pt có hai nghiệm 0x = , 1x = 
b) 2 3 3 2 2tt=cosx 3 t t tt t t® - = « - = - . Giả sử pt có nghiệm x α= 
Xét ( )f t t tα α= - thì ( ) ( )3 2f f= suy ra pt ( ) 0,f t = có nghiệm có 
nghiệm ( )2 3;c Î . 
( ) ( ) ( ), 1 , 1 01 0 1
α α αf t αt α f c α c
α
- - é =ê= - ® = - = Û ê =ë
c)Đặt 1 1cos ,t x t= - £ £ 
Ta có pt: ( )( ) ( ) 3 41 2 4 3 4 1 0
2 4
..
t
t t
tt f t t+ + = « = - - =+
( )
( )
( ) ( )226 4 4 1 0 6 4 4 2 4
2 4
, ,ln . , ln .
t
t t
t
f t f t= - = « = +
+
.Đây là pt bậc hai theo 4t 
nên có không quá hai nghiệm do đó pt ( ) 0f t = có không quá 3 nghiệm 
Ta thấy 10 1
2
, ,t t t= = = là 3 nghiệm của pt 
C) Xét ( ) 2003 2005 4006 2x xf x x= + - - có đạo hàm cấp hai dương 
Và ( ) ( )0 1 0f f= = .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1 
9)Viết lại pt dưới dạng ( ) 2
1 1 1 1 0
2 1 4 1 1
...nf x x x n x
= - + + + + =
- - -
 (1) 
Dễ thấy ,với mỗi Ν*n Î hàm ( )nf x liên tục và nghịch biến trên ( )1;+ ¥ 
Hơn nữa ( )nf x ® + ¥ khi 1x +® và ( )
1
2n
f x ® - khi x ® + ¥ .Từ đó suy ra 
Với mỗi Ν*n Î ,pt(1) có duy nhất nghiệm 1nx > 
Với mỗi Ν*n Î ,ta có 
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1 14
2 2 1 4 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 11 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
1 0
2 2 1
...
... ...
n
f
n
k k n n
f x
n
= - + + + +
- - -
æ ö÷ç= - + - + - + + - + + - ÷ç ÷çè ø- - - +
= - < =
+
Từ đó, do hàm ( )nf x trên ( )1;+ ¥ nên 4nx < với mọi Ν*n Î (2) 
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 
Năm học 2009-2010  
Mặt khác hàm ( )nf x có đạo hàm trên [ ]4,nx nên theo định lí Lagrange 
Với mỗi Ν*n Î tồn tại ( )4;nt xÎ sao cho 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
4 1 4 1
Ν
4 911 4 1
, *...n n n
n
f f x nf t n
x n tt t
- - - -= = + + + < - " Î
- -- -
Hay 
( )( ) ( )
1 1 9
Ν 4 Ν
2 2 1 4 9 2 2 1
* *
n
n
n x n
n x n
- - " Î
+ - +
 (3) 
từ (2) và (3) : 
( )
94 4 Ν
2 2 1
*,nx nn
- < < " Î
+
 suy ra 4lim nx = (đpcm) 
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 
2. ( )1 0
2
2
2
osx-1ax osx , ;
x
cc a f x x π
æ ö÷ç+ = Û = = " Î ÷ç ÷çè ø
Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm 
3.Hàm số ( )( )y x x a x b= - + + + có miền giá trị trên ( )0;+ ¥ là 
2
;a bab
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷çè ø
Do đó chỉ cần cm: 
1
2 2
s s sa b a bab
æ ö+ +÷ç ÷ç< <÷ç ÷ç ÷è ø
,với mọi ( )0 1;s Î 
4 
. 
( ) ( )4 3 3 3 4 1 1 0
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
m x m x m
x xm
x x
- + + - - + - =
+ + - +Û =
+ + - +
Chú ý: 
2 2
3 1 1
2 2
x xæ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
.Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ 
2
t tg α= 
Rồi khảo sát hàm số thu được theo t 
5.Tương tự 4 
10. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0ln lnxxx x f x x x x x+ = + Û = + - + = 
Ta có ( ) 1 1 1 1 1 11 0
1 1
, lnf x
x x x x x x
æ ö÷ç= + - - < - - <÷ç ÷çè ø + +
 với x>0 vậy f Nb 
Mà ( )1 2 0lnf = > và 
( ) ( ) ( )
( )
1
11 1 1
11 1
ln lnlim lim
ln lnlim
x x
x
x
f x x x
x
x
x
® + ¥ ® + ¥
+
® + ¥
é ùæ ö÷çê ú= + + - +÷ç ÷çê úè øë û
é ùæ öê ú÷ç= + - + = - ¥÷çê ú÷çè øê úë û
Kết hợp f liên tục trong ( )0,+ ¥ suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .