Chuyên đề bất đẳng thức cực trị

BẤT ĐẲNG THỨC 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Khái niệm: 
A > B Û A – B > 0 ;  A < B Û A – B < 0 
A ≥ B Û A – B ≥ 0 ;  A ≤ B Û A – B ≤ 0 
2. Tính chất: 
1) A > B và B > C Þ A > C 
2) A > B Û A + C > B + C. 
3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0. 
4) A > B, C > D Û A + C > B + D. 
5) A > B > 0 và C > D > 0 Þ A.C > B.D 
6) A > B > 0 và n Î N * Þ A n > B n . 
7) A > B > 0 và n Î N Þ  n n A B >  . 
8) A > B Þ 
1 1 
A B 
 0. Hoặc: 
1 1 
A B 
>  nếu AB < 0. 
3. Chứng minh bất đẳng thức 
­ Xét hiệu hai vế: a > b Û a – b > 0 
­ Biết đổi tương đương bất đẳng thức phải chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng 
­ Dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy từ bất đẳng thức đã biết là đúng đến bất đẳng thức 
phải chứng minh 
B. BÀI TẬP 
Bài 1: Chứng minh: a + b ≥  ab  (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) 
HD: (1) Û a + b  –  ab  = ( ) 2 a b 0 - ³  (đúng). 
Bài 2: Chứng minh: (a + b) 2 ≥ 4ab. 
HD: Biến đổi đưa về (a – b) 2 ≥ 0. 
Bài 3: Chứng minh:  a 2 + b 2 ≥ 2ab. 
HD: Xét hiệu, đưa về (a – b) 2 ≥ 0. 
Bài 4: Chứng minh: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). 
HD: Biến đổi hiệu (ac + bd) 2 – (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) thành (ay – bx) 2 . 
Bài 5: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 
HD: Biến đổi hiệu a 2 + b 2 + c 2 – (ab + bc + ca) thành (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 
Bài 6: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d. 
HD: Biến đổi a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 –  a + b + c + d  thành: 
2 2 2 2 
1 1 1 1 
a b c d 
2 2 2 2 
æ ö æ ö æ ö æ ö - + - + - + - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø è ø è ø 
Bài 7: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ a(b + c + d + e) 
HD: Biến dổi về dạng: 
2 2 2 2 
b c d e 
a a a a 0 
2 2 2 2 
æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç - + - + - + - ³ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 
Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) 
HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx) 2 + (az – cx) 2 + (bz – cy) 2 ≥ 0 
Bài 9: Chứng minh a 4 + b 4 ≥ ab 3 + a 3 b. "a, b ≥ 0. 
HD: Biến đổi, phân tích thành:  (a – b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) = 
2  2 
2  b 3b (a b) a 0, a, b 
2 4 
é ù æ ö ê ú ÷ ç - + + ³ " ÷ ç ê ú ÷ ç è ø ê ú ë û 
. 
Bài 10: Chứng minh: 
3 3 3 a b a b 
2 2 
æ ö + + ÷ ç ³ ÷ ç ÷ ç è ø 
HD: Xét hiệu, phân tích thành nhân tử Þ đpcm. 
Bài 11: Chứng minh: 
2 2 2 a b a b 
2 2 
+ + æ ö ³ ç ÷ 
è ø 
. 
HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa về dạng: (a – b) 2 ≥ 0.
Bài 12: Chứng minh: 
2 2 2 2 a b c a b c 
3 3 
+ + + + æ ö ³ ç ÷ 
è ø 
HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 ≥ 0. 
Bài 13: Chứng minh: 
x y 4 
xy x y 
+ 
³ 
+ 
. "x, y > 0. 
HD: Biến đổi về (x + y) 2 ≥ 4xy Þ tương tự bài 2. 
Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A =  2005 2007 +  và B =  2 2006 . 
HD: Chứng minh A 2 ≥ B 2 Þ đpcm. 
Bài 15: Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ a + b 
1 
2 
- 
HD: Biến đổi đưa về 
2 2 
1 1 
a b 0 
2 2 
æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ³ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 
Bài 16: Chứng minh: 
2 
2 
a a 1 3 
2 a 1 
+ + £ 
+ 
HD: Quy đồng: 2a 2 + 2a + 2 ≤ 3a 2 + 3 Û (a – 1) 2 . 
Bài 17: Chứng minh:  a) 
1 
a 2, a 0 
a 
+ ³ " >  .  b)  1 a 2, a 0 
a 
+ £ - " <  . 
HD:  a) Vì a > 0 nên: a 2 – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1) 2 ≥ 0. b) Vì a < 0: a 2 + 2a + 1 ≥ 0 Û (a + 1) 2 ≥ 0. 
Bài 18: Chứng minh:  a) Nếu ab > 0 thì: 
a b 
2 
b a 
+ ³  .  b) Nếu ab < 0 thì: 
a b 
2 
b a 
+ £ -  . 
HD:  a) Từ (a – b) 2 ≥ 0 Û a 2 + b 2 ≥ 2ab. Chia cả hai vế của a 2 + b 2 ≥ 2ab cho ab > 0 Þ đpcm. 
b) Chia cả hai vế của a 2 + b 2 ≥ –2ab cho ab < 0 Þ đpcm 
Bài 19: Cho x ≥ y, a ≥ b. Chứng minh: 
ax by a b x y 
. 
2 2 2 
+ + + ³ 
HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ 0 (đúng). 
Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: 
a b c 1 1 1 
2 
bc ca ab a b c 
æ ö ÷ ç + + ³ + + ÷ ç ÷ ç è ø 
. 
HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) 2 ≥ 0 (đúng). 
Bài 21: Cho ab ≥ 1. Chứng minh: 
2 2 
1 1 2 
1 ab 1 a 1 b 
+ ³ 
+ + + 
(*). 
HD: (*) Û 
2 2 
2 2 2 2 
2 a b 2 
1 ab 1 a b a b 
+ + ³ 
+ + + + 
Û (a – b) 2 (1 – ab) ≤ 0 (đúng). 
Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Chứng minh: 
2 2 
2 2 
x y x y 
4 3 
y x y x 
æ ö ÷ ç + + ³ + ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 
. 
HD: Đặt 
x y 
t 
y x 
+ =  ( | t | ≥ 2 ). Bất đẳng thức viết lại: t 2 – 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2. 
Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a. 
HD:  BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3) 2 + 6 > 0, "a 
Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x. 
HD: Làm tương tự bài 23. 
Bài 25: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a 3 + b 3 ≥ ab(a + b). 
HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y) 2 ≥ 0.
CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 2x 2 + 3x + 1.  b) x 2 – 2x + 5.  c) 4x 2 – 4x – 3.  d) x 2 – 5x + 1.  e) 5x 2 + 7x + 9. 
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) 6 – x 2 – 6x.  b) 1 – x 2 – 6x 2 .  c) 4 – x 2 + 2x.  d) 4x – x 2 .  e) 7 – 3x – x 2 . 
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ. 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 
2 
1 
x 2x 6 + + 
. 
C1: Vì x 2 + 2x + 6 = (x + 1) 2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤ 
1 
5 
. Dấu “=” xảy ra Û x = –1. 
C2: y = 
2 
1 
x 2x 6 + + 
Û yx 2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm Û Δ’ = y – 5y 2 ≥ 0 Û 0 < y ≤ 
1 
5 
. 
Dấu “=” xảy ra Û x 2 + 2x + 1 = 0 Û x = –1( Thực chất là thay y = 
1 
5 
vào phương trình theo x). 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 
2 
2 
2x 5 
2x 1 
+ 
+ 
HD: Làm tương tự bài 3.  y = 
2 
2 2 
2x 1 4 4 4 
1 1 5 
1 2x 1 2x 1 
+ + = + £ + = 
+ + 
. Dấu “=” xảy ra Û x = 0. 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 
2 
x 2x 1 
y 
x 4x 5 
- + = 
+ + 
. 
HD: 
2 
2 
(x 1) 
y 0 
(x 2) 5 
- = ³ 
+ + 
. Dấu “=” xảy ra Û x = -1. 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 
1 
A 
6x 5 9x 
= 
- - 
. 
HD:  Biến đổi biểu thức trở thành: 
2 
2 1 
A 
2 4 (3x 1) 
= ³ 
- - 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 
1 
P 
4x 4x 3 
= 
- + 
. (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành) 
HD: Làm tương tự bài 6. 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 
2 
2 
x 2 
x 2 
- 
+ 
. 
HD: Biến đổi biểu thức trở thành: 
2 
4 
B 1 1 
x 2 
= - ³ 
+ 
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
4 
2 
x 1 
C 
x 
+ = 
HD: Ta có:  2 
2 
1 
C x 2 
x 
= + ³ 
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y = 
2 
2 
x 2x 2 
x x 1 
- - 
+ + 
. 
C1: 
2 2 2 
2 2 
3x 2(x x 1) 3x 
y 2 
x x 1 x x 1 
- + + = = - 
+ + + + 
Þ 
2 
3 3 
2 2 4 
3 1 3 
x  4 2 4 
- £ - £ = 
æ ö ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç è ø 
C2: Sử dụng phương trình bậc hai. Bạn đọc tự giải. 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
2 
x x 1 
A 
x 2x 1 
+ + = 
+ + 
( x ≠ -1).
HD: Đặt y = x + 1 Þ  x = y – 1 Þ A = 
2 
2 2 
y y 1 1 1 
1 
y y y 
- + = - +  . 
Đặt z = 
1 
y 
Þ A = z 2 – z + 1 = 
2 
1 3 3 
z 
2 4 4 
æ ö ÷ ç - + ³ ÷ ç ÷ ç è ø 
. Dấu “=” xảy ra: 
1 
z y 2 x 1 
2 
= Û = Û =  . 
Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
(x 2)(x 8) 
A 
x 
+ + = 
HD: 
2 x 10x 16 16 
A x 10 
x x 
æ ö + + ÷ ç = = + + ÷ ç ÷ ç è ø 
. Vì: x . 
16 
x 
= 16 = const Þ 
16 
x 
x 
æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø 
nhỏ nhất Û x 2 = 16. 
Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18. 
Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 (x 100) 
A 
x 
+ = 
HD: min B = 400 khi x = 100. 
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 
x 
B 
(x 100) 
= 
+ 
C1: Đặt x + 100 = y Þ x = 100 - y. 
2 2 
y 100 1 100 
B 
y y y 
- = = -  .  Đặt  1  z 
y 
=  . 
Þ B = z – 100z 2 = 
2 
1 1 1 
100 z 
400 200 400 
æ ö ÷ ç - - £ ÷ ç ÷ ç è ø 
. Dấu “=” xảy ra Û z = 
1
200 
Ûy = 200Ûx = 100. 
C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b) 2 ≥ 4ab: 
2 
x x 1 
B 
400x 400 (x 100) 
= £ = 
+ 
Û x = 100. 
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 
2 2 
(x y) 
A 
x y 
+ = 
+ 
HD: 
2 
2 2 
(x y) 
A 0 
x y 
+ = ³ 
+ 
. Dấu “=” xảy ra Û x = -y  ≠ 0. 
A = 
2 2 
2xy 2xy 
1 1 1 1 2 
2xy x y 
+ £ + = + = 
+ 
(vì x 2 + y 2  ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. 
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 
2 
2x 4x 1 
B 
x 1 
+ - = 
+ 
. 
HD: 
2 2 2 
2 2 
3x 3 (x 4x 4) (x 2) 
B 3 3 
x 1 x 1 
+ - - + - = = - £ 
+ + 
. Dấu “=” xảy ra Û x = 2. 
2 2 2 
2 2 
4x 4x 1 2x 2 (2x 1) 
B 2 2 
x 1 x 1 
+ + - - + = = - ³ - 
+ + 
. Dấu “=” xảy ra Û x = 
1 
2 
-  . 
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 
2 2 
4x 2xy 4y 
C 
x y 
- + = 
+ 
HD: 
2 
2 2 
(x y) 
C 3 3 
x y 
- = + ³ 
+ 
. Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. 
2 
2 2 
(x y) 
C 5 5 
x y 
+ = - £ 
+ 
. Dấu “=” xảy ra Û x = -y ≠ 0. 
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 
x 1 
D 
x x 1 
+ = 
+ + 
HD: 
2 2 2 
2 2 2 
3x 3 x 4x 4 x x 1 (x 2) 1 1 
D 
3 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x 1 1) 
+ + + - - - + = = = - ³ - 
+ + + + + + 
Û x = -2. 
2 2 2 
2 2 
x x 1 x x 
D 1 1 
x x 1 x x 1 
+ + - = = - £ 
+ + + + 
Û x = 0.