Chuyên đề Ba đường cônic

Ba đường cônic
Lý thuyết
I.Elíp
1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c. Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2= 2a.
 (E) = { M: MF1+MF2= 2a}
 Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).
 Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).
2)Phương trình chính tắc của elip: 
 (E): ( với b2 = a2- c2 )
3)Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 Tiêu điểm phải F2( c; 0)
 *Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)
 *Trục lớn : A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
 Trục nhỏ :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
 *Tâm sai : e = <1
 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
 Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM= a+ xM
 Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM= a- xM
 *Đường chuẩn: x = 
 *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)
 *Trục đối xứng: Ox; Oy
 Tâm đối xứng: O
4)Tiếp tuyến của elip
Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc: 
 (E): với b2 = a2- c2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi : A2a2+B2b2=C2
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
 Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
 Û (I)
Đặt X= , Y= ta có hệ: (II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
 Û Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
 A2a2+B2b2=C2
Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc: 
 (E): với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d): 
Chứng minh
Do M thuộc (E) nên có : 
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): Û 
Theo điều kiện của định lý có :
 =
Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M
 II.Hypebol
1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn ỗMF1-MF2 ỗ= 2a.
 (H) = { M: ỗ MF1-MF2 ỗ= 2a}
Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).
 Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).
2.Phương trình chính tắc của hypebol: 
 (H): ( với b2 = c2- a2 )
3.Hình dạng và tính chất của (H):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 Tiêu điểm phải F2( c; 0)
 *Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0) 
 *Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
 Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
 *Tâm sai : e = >1
 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
 Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= ỗa + e.xM ỗ= ỗa+ xMỗ
 Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= ỗa - e.xM ỗ= ỗa- xMỗ
 *Đường chuẩn: x = 
 *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)
 *Phương trình các đường tiệm cận: y = x
 * Trục đối xứng: Ox; Oy
 Tâm đối xứng: O
4.Tiếp tuyến của hypebol
Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: 
 (H): với b2 = c2- a2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi :
 A2a2-B2b2=C2ạ0
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là:
 y= Û bxay= 0
Điều kiện để (d) không song song với hai đường tiệm cận là:
 Û A2b2- B2b2ạ 0
 Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2b2- B2b2ạ 0 (*)và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 (I) Û 
 Û Û 
Đặt X= , Y= ta có hệ:
 (II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
 Û Đường thẳng (d’):X+Y+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
 A2a2-B2b2=C2
Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi
 A2a2-B2b2=C2ạ0
Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc: 
 (H): với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d): 
Chứng minh
Do M thuộc (H) nên có : 
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): Û 
Theo điều kiện của định lý có :
 =
Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M
III. Parabol
1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định Dkhông đi qua F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng D. 
 (P) = { M: MF= d(M; D)}
Ta gọi : F là tiêu điểm của (P).
 Đường thẳng D là đường chuẩn của D
 p= d(F; D) là tham số tiêu
2.Phương trình chính tắc của parabol: 
 (P): y2= 2px
3.Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(; 0)
*Phương trình đường chuẩn D: x = -
*Đỉnh : O(0; 0)
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (P) là:
 MF = d(M; D) = xM+
*Trục đối xứng: Ox 
4.Tiếp tuyến của parabol
Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P)
Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: 
 (P): y2= 2px
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi :
 pB2=2AC
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
 Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P)
Để (d) không song song với trục 0x thì Ạ 0
Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất
 (I) Û ( Do A ạ0)
 Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất
 Û y2 +2p y + 2p= 0 có nghiệm duy nhất
 D’= =0
 pB2=2AC ( thỏa mãn Ạ0) (đpcm)
Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: 
 (P): y2= 2px
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phương trình là (d): y.yM= p(x+xM)
 Chứng minh
 Vì M thuộc (P) nên 
IV.Ba đường cônic
1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng D cố định không đi qua F và một số dương e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho .
 (C)= 
 Ta gọi: F là tiêu điểm
 D là đường chuẩn
 e là tâm sai 
2.Nhận xét
*Cho elip (E) có phương trình chính tắc: 
 (E): với b2 = a2- c2
Tâm sai e= <1
Đường chuẩn: D1: x = - ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 D2: x = ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (E) thì: = = e
Vậy đường (E) là đường cônic với e< 1.
*Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: 
 (H): với b2 = c2- a2
Tâm sai e= >1
Đường chuẩn: D1: x = - ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 D2: x = ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (H) thì: = = e
Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1.
*Cho parabol (P): y2= 2px
Tiêu điểm F(; 0)
Phương trình đường chuẩn D: x = -
Với mọi điểm M thuộc (P) thì: = 1
Vậy đường (P) là đường cônic với e=1.
Một số dạng bài tập
Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc của chúng.
Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E),(H),(P).
Ví dụ 1. Cho elip (E) có phương trình 
 Tìm tiêu điểm , tâm sai, đường chuẩn của (E)
Giải
Từ phương trình của (E) ị a2= 4, b2=1ịc2=a2-b2=3.
Vậy a = 2, b = 1, c = 
Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F1(-; 0), F2(; 0)
 Tâm sai của (E) là e= 
 Đường chuẩn của (E) là x= 
Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phương trình 
 Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đường tiệm cận của (H)
Giải
Từ phương trình chính tắc của (H) ị a2= 4, b2=5ịc2=a2+b2=9.
Vậy a = 2, b = , c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0)
 Tâm sai của (H) là e= 
 Đường tiệm cận của (H) là y= x
Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phương trình y2= 4x
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P).
Giải
Từ phương trình của (P)ị2p= 4ịp = 2
Ta có : Tiêu điểm của (P) là F(1; 0)
 Đường chuẩn của (P) là x = - 1
Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P).
Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số a, b,p trong các phương trình đó.
Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( ; - 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10.
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (E) là: với b2=a2- c2
Phương trình đường chuẩn là: x = 
ị Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là = 10
 Û a2= 5c
 Û a4=25 c2 Ûa4=25(a2-b2)
 Û b2=a2- (*)
Do (E) đi qua điểm M(; - 2) nên: Û
 Û5(1- )+4= a2-
 Û a4- 30a2+225 = 0
 Û(a2- 15)2= 0 Û a2= 15
Thay vào (*) thì b2= 6
Vậy phương trình của (E) là: 
Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 600.
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (H) là: với b2=c2- a2
Vì M ẻ(H) nên (*)
Phương trình hai đường tiệm cận là: D1: y = x Û bx- ay = 0
 D2: y = -x Û bx+ ay = 0
Góc giữa hai đường tiệm cận là:
 cos(D1;D2) = Û cos600 = 
 Û = Û 2 = b2+a2
 Û Û 
Với b2= 3a2 thay vào (*) được a2= ; b2= 11
 ị Pt (H): 
Với a2=3b2 thay vào (*) được a2= 1; b2= 
 ị Pt (H): 
Ví dụ 6. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip.
Giải
Ta có elip (E): có a2 = 25, b2= 9 ị c2= a2-b2=16 ị c = 4.
ị Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: với b2= c2- a2.
Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4
Do (H) có tâm sai e = = 2 ị c = 2a ị a = 2
 ị b2= c2- a2= 12
Vậy phương trình của (H) là : 
Ví dụ 7.Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0)
Giải
Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2= 2px
 Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên = 5 ị p = 10
 Vậy phương trình của (P) : y2= 20x
 Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai
 đường thẳng d1: x+ y - 5 = 0
 d2: x- 4y - 10 = 0
 Giải
 Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): với b2= a2 - c2
 Do (E) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có	
 Û 
Vậy phương trình của (E): 
Ví dụ 9. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F đến đường thẳng x + y- 12 = 0 là 2
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (P) : y2= 2px
Tọa độ tiêu điểm F( ;0)
Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đường thẳng D: x +y – 12 = 0 bằng 2 nên:
 d(F; D)= =2 ị p= 16 hoặc p = 32.
Vậy phương trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x
Dạng 3. Lập phương trình tiếp tuyến của các đường cônic
Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với hypebol (H) : . Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải
Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của (d). Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng:
 (d): x0.x- = 1
Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: xo - yo = 1 (1)
Mặt khác M thuộc (H) nên: (2)
Từ (1) và (2) suy ra hoặc 
 ịM ( 1;0) hoặc M( - ; - )
 ịTiếp tuyến của (H) là: x = 1Û x - 1 = 0
 hoặc - x + y = 1 Û 5x -2y + 3 = 0
Ví dụ 11.Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường elip:
 và 
Giải
Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By+C = 0 ( với A2+B2ạ0)
Theo điều kiện tiếp xúc có : Û
Chọn A= 1 ị 
Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai elip là:
 (d): x ± y ± 3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)
Dạng 4. Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc 
 Xác định các yếu tố của các đường cônic không ở dạng chính tắc
Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa về dạng chính tắc
Trong  ... m cận của hypebol (H).
Giải
 Ta có (H) : x24y2- 2x- 16y -19= 0
 Û (x-1)2- 4(y+2)2= 4
 Û 
Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY.
Công thức đổi tọa độ : 
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình:
ịa2=4, b2=1 nên c2=a2+b2=5 ịa= 2, b = 1, c= 
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có: 
 + Tọa độ tiêu điểm: F1( - ; 0), F2(;0)
 + Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)
 + Phương trình hai đường tiệm cận: Y = X
Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:
 + Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- ; - 2), F2(1+;- 2)
 + Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )
 + Phương trình hai đường tiệm cận: y = (x-1)-2
Ví dụ 13. Viết phương trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)
Giải
Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn của (P) là: 
 D: x = 0 ( trục 0y)
Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)
Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;D)
 Û (c-5)2+(-4)2= 52
 Û c= 8 hoặc c = 2
Với c = 8 thì F(8;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
 Û MF= d(M, D)
 Û= x
 Û(8-x)2 + y2 = x2
 Û y2= 16x – 64
 Vậy phương trình (P): y2= 16x – 64
Với c = 2 thì F(2;0). Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
 Û MF= d(M, D)
 Û= x
 Û(2-x)2 + y2 = x2
 Û y2= 4x – 4
 Vậy phương trình (P): y2= 4x – 4
Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình 
 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
Chứng minh rằng (P) là một parabol. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đó.
Giải
Ta có M(x; y)ẻ(P) Û16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
 Û25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1
 Û( x-1)2 + (y+2)2 = (*)
Đặt F(1; -2) và đường thẳng D: 3x- 4y + 1= 0.
Khi đó (*) Û MF2= d2(M; D)
 Û MF = d(M; D)
Vậy (P) là phương trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đường chuẩn
 D: 3x- 4y + 1= 0.
Dạng 5. Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 15. Cho elip (E) : . Tìm trên (E) một điểm M sao cho MF1=2MF2
Giải 
Ta có a2= 25 ị a= 5 
 b2= 9 ịb= 3
 c2= a2- b2 = 16 ị c =4
Giả sử M(x0; y0) ẻ(E) ị (*)
Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có :
 MF1= a +x0 =5 +x0
 	 MF2= a -x0 =5 -x0
Để MF1= 2MF2 thì : 5 + x0 = 2( 5- x0)
 Û x0= 5 Û x0 = 
Thay vào (*) ta có : Û Û y0=
Vậy tọa độ của M= 
Ví dụ 16. Cho hypebol (H): 
a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là 1
b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 bằng 900.
c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M= 2F2M.
Giải
Ta có : a2 = 9 ị a =3
 b2= 3 ị b = 
 c2=a2+ b2= 12ịc= 
a)Thay y = 1 vào phương trình của (H) được:
 Û
Vậy tọa độ của M là 
b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0)
Do góc F1MF2 bằng 900 Û OM= OF1=OF2
 Û Û x02+ y02= 12
Do M thuộc (H) nên Û 3x02- 9y02= 27
 Ta có hệ Û 
 Û
Vậy tọa độ điểm M là:
 ; ; ; 
 c)Vì MF1= 2MF2 nên F1M > F2Mị M thuộc nhánh phải và F1M- F2M = 2a = 6
 Ta có ị 
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: 
 MF1= a+ x0= 3+ x0 = 12 
 ị x0=
 Do M thuộc (H) nên thay x0= vào (H) ta được:
 Û y02= Ûy0= 
 Vậy tọa độ của M là : 
 Ví dụ 17. Cho parabol (P): y2 = 4x.
 a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.
b)Tìm trên (P) điểm Mạ O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x.
Giải
a)Từ phương trình (P): y2 = 4x ị p = 2
Ta có : MF = xM+= 4 Û xM +1 = 4 Û xM = 3
Thay vào (P) ị yM2= 12 ị yM = 
Vậy tọa độ điểm M là: (3; ).
b)Gọi tọa độ M= (x ;y). 
Do M thuộc (P) nên : y2 = 4xị x 0
Từ giả thiết Mạ O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x ta có: Û x = 
Ta có hệ: Û 
Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8).
Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đường cônic
Ví dụ 18. Cho hypebol (H): với b2 = c2- a2 có các tiêu điểm F1, F2. Lấy M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận có giá trị không đổi.
Giải
Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là:
 D1: bx+ay = 0
 D2: bx - ay = 0
Đặt toạ độ M= (x0; y0)
Khi đó : d1= d(M; D1)= 
 d2= d(M;D2) = 
ị d1.d2 = . = 
Vì M thuọc (H) nên : b2x02 - a2y02 = a2.b2
Vậy d1.d2 = (Đpcm)
Ví dụ 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.Đường thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 cắt (P) tại M và N.
a.Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi.
b.Tìm k sao cho FM = 4.FN.
Giải
Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 nên có phương trình:
 d: y = k( x - 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
 [k(x - 1)]2 = 4x Û k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*)
 D'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 "k
ị Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phương trình (*)
Theo định lý Viet có: xM + xN = (1)
 xM.xN = 1 (2)
Ta có : d1 = d(M; 0x) = = 
	 d2 = d(M; 0x) = = 
ị d1.d2 = = 4 không đổi.
b) Từ phương trình (P) ị Tham số tiêu p =p
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
 MF = 1 + xM
 NF = 1 + xN
Để MF = 4NF thì 1+ xM = 4( 1 + xN)
 Û xM - 4xN = 3 ( 3)
Từ (2) và (3) ị xM = 4; xN = 1/4
Thay vào (1) ị k = 
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0
a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H)
b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F1; F2 của (H) dưới một góc vuông
HD: b) - Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2
 - Ta có M ẻ (C)ầ (H)
ĐS: a) F1( -; 0); F2( ; 0)
 b) M 
Bài 2.Cho hypebol (H): và D: x - y + m = 0
a) Chứng minh rằng : Đường thẳng D luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác của (H) . ( xM < xN)
b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)
HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của D và (H)
 - Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu
 b) - Tìm toạ độ xM , xN
 - Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm
Bài 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp dưới đây:
a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(E) đi qua điểm M( 1; ) và có tiêu cự 4
c)(E) đi qua hai điểm M( 3; ), N (- 4; )
d)(E) đi qua M( 1; ) và tâm sai e = 
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 4.Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thường hợp sau:
a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(H) đi qua điểm A( 4; 5) và có đường tiệm cận y = 
c)(H) có tiêu cự bằng 2 và có tiệm cận xiên y = 2x
d)(H) đi qua A( 1; 0) và B( ; 1)
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 5. Viết phương trình của parabol (P) trong mỗi trương hợp dưới đây
a)(P) có đường chuẩn là D: x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)
b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)
c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1); B(1; 2)
HD:a) M(x; y) ẻ (P) Û d(M; D) = MF ị Phương trình của (P)
 b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
 - Ta có d(A; 0x) = AF suy ra a
 - Lập phương trình theo phần a)
 c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
 - Đường chuẩn D ^ 0x nên D: x = b
 - Từ suy ra a và b
 - Lập phương trình (P) như phần a)
ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0
 b) y2 - 2(3 2)x + (3 2)2 = 0
 c) y2= - x + 5
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip 
ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol (H) : vẽ từ điểm (1; 4)
ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) : y2 = 4x đi qua điểm (- 1; )
ĐS: x - 3y + 9 = 0 và 9x + 3y + 1 = 0
Bài 9. Cho hypebol (H) 
a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn
b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận
c)Chứng minh rằng : Chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó.
HD: 
a) - Lập phương trình hai đường chuẩn và hai đường tiệm cận
 - Xác định toạ độ các giao điểm
 - Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn (do tình đối xứng nên hai đoạn là bằng nhau)
 b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến một đường chuẩn bất kỳ
 c) - Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ F2 đến đường tiệm cận d: bx + ay = 0
 - Do I thuộc d nên toạ độ I( x0; - x0)
 - Từ suy ra toạ độ I
 - Kiểm tra I thuộc đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2
ĐS: a) 2a b) b
Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : và C( 2; 0). Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0)
 - Từ suy ra toạ độ a, b.
ĐS: A( ) , B() hoặc A(), B()
Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phương trình của hypebol (H): 
biết tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1)
ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0
Bài 12. (CĐ Sư phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. Lập phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4; ) .
ĐS: x - 4 = 0 và 9x +16 y - 60 = 0
Bài 13.
a) Viết phương trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F1(- ; 0) , F2(; 0) và độ dài trục lớn là 2.
b)Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)
 - Lập phương trình tiếp tuyến tại M
 - Xác định toạ độ A, B theo x0, y0.
 - Tính diện tích tam giác OAB theo x0, y0.
 - Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB 
ĐS: a) 
 b)Min S= 12 khi M( )
Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế toán 2006).Cho elip (E): với các tiêu điểm F1; F2. Tìm M thuộc (E) sao cho MF1 - MF2 = 2
HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm
ĐS: M( )
Bài 15. 
a) Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và phương trình hai đường tiệm cận là y = x
b)Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d:5x -4y +10 =0.
ĐS:a) b)5x - 4y 16 = 0
Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x2- y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hypebol đã cho .
ĐS: 
Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64
a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip
b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M tới tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x = có giá trị không đổi.
HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E)
 - Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF2
 - Tính d(M; D) với D: x = 
 - Lập tỷ số 
ĐS: a) F1( - ; 0), F2(; 0)
 b) 
Bài 18.Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e = và tiếp xúc với đường tròn tâm I( 0; 4) bán kính 2.
HD: - Lập phương trình tổng quát của (H) : 
 - Lập phương trình đường tròn (C) 
 - Lập phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (C).
 -Từ điều kiện e = và phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép suy ra a , b.
ĐS: 
Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tâm sai e = và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
HD : Từ suy ra a, b.
ĐS: 
Bài 20.Cho elip (E) : (a>b>0)
a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b
b) Giả sử đường thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k.
c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA ^OB. Chứng minh rằng : có giá trị không đổi.
HD: 
a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)
 - Từ điều kiện và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM2 = x02+y02
b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)
 - Từ A = (d) ầ(E) suy ra toạ độ A
 - Tính OA
c) áp dụng phần b)
ĐS: b) OA = 
*** Hết ***