Chuyên đề 7 Lượng giác

 27
Chuyên đề 7 LƯỢNG GIÁC 
 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
I. Đơn vị đo góc và cung: 
 1. Độ: 
 bẹtgóc 01 Góc 180
1= 
 2. Radian: (rad) 
 rad 0180 π= 
 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: 
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 
Radian 0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 
 1. Định nghĩa: 
 2. Đường tròn lượng giác: 
 Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: qAM k2= α + π 
 M 
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k 
22 B
2k 
x
y
(tia gốc) 
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn) 
O
α
. 
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc) 
+
t
O A
(điểm ngọn) 
πα 2kAB +=
 28
III. Định nghĩa hàm số lượng giác: 
1. Đường tròn lượng giác: 
• A: điểm gốc 
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) 
• y'Oy : trục sin ( trục tung ) 
• t'At : trục tang 
• u'Bu : trục cotang 
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác: 
 a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α . 
 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy 
 T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu 
 Ta định nghĩa: 
cos 
sin 
tan 
cot 
OP
OQ
AT
BU
α
α
α
α
=
=
=
=
 b. Các tính chất : 
• Với mọi α ta có : 
 1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤ 
 1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤ 
• tan xác đinh 
2
kπα α π∀ ≠ + 
• cot xác đinh kα α π∀ ≠ 
c. Tính tuần hoàn 
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
 )( Zk ∈ 
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin 
Trục tang 
Trục sin Trục cotang 
+
−
 29
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: 
 Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt 
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc 
Hslg 
0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
sinα 0 
2
1 
2
2
2
3 1 
2
3 
2
2 2
1 0 0 
cosα 1 
2
3 
2
2
2
1 0 
2
1− 
2
2−
2
3− -1 1 
tanα 0 
3
3 
1 3 kxđ 3− -1 
3
3− 0 0 
cotα kxđ 3 1 
3
3 0 
3
3− -1 3− kxđ kxđ 
+
−
 30
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: 
 Đó là các cung : 
 1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd: 
6
&
6
ππ − ,) 
 2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 
6
5&
6
ππ ,) 
 3. Cung phụ nhau : và 
2
πα α− ( tổng bằng 
2
π ) (Vd: 
3
&
6
ππ ,) 
 4. Cung hơn kém 
2
π : và 
2
πα α+ (Vd: 
3
2&
6
ππ ,) 
 5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd: 
6
7&
6
ππ ,) 
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : 
sin( ) sin
tan( ) 
cos( ) c
tan
cot
o
( ) 
s
 cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− = −
− = −
− =
cos( ) cos
t
sin( ) s
an( ) tan
cot( ) 
i
 ot
n
c
π α α
π α
α
α
π
α
α
α
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 
2
π 
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
tan
cos( ) sin
2
sin( ) 
( ) cot
2
cot(
) ta
s
2
co
2
n
π α α
π α
π α α
α
α
π α
+ = −
+
+ −
+ = −
=
=
5. Cung hơn kém π : 
tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co
in
t( ) cot
π α
π α α
π
α
α
α
α
α
π
+
+ = −
+ =
+
−
=
=
Đối cos Bù sin 
Phụ chéo
Hơn kém 
2
π 
sin bằng cos 
cos bằng trừ sin 
Hơn kém π
tang , cotang 
 31
VI. Công thức lượng giác: 
 1. Các hệ thức cơ bản: 
2 2cos sin 1
sintan = 
cos
coscot = 
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tan = 
cos
11 cot = 
sin
tan . cot = 1 
α α
α α
α α
+
+ 
 Ví dụ: Chứng minh rằng: 
 1. 4 4 2 2cos x sin x 1 2 sin x cos x+ = − 
 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 
 Chứng minh 
( ) ( )
( )
2 24 4 2 2
22 2 2 2
2 2
1) cos x sin x cos x sin x
 cos x sin x 2 sin x cos x
 1 2 sin x cos x
+ = +
= + −
= −
( ) ( )
( ) ( )
3 36 6 2 2
32 2 2 2 2 2
2 2
2) cos x sin x cos x sin x
 cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x
 1 3 sin x cos x
+ = +
= + − +
= −
 2. Công thức cộng : 
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tantan( + ) = 
1 tan .tan
tan tantan( ) = 
1 tan .tan
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
 Ví dụ: Chứng minh rằng: 
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
 Chứng minh 
 32
2 21) cos sin 2 cos sin
2 2
 2 cos cos sin sin
4 4
 2 cos
4
2 22) cos sin 2 cos sin
2 2
 2 cos cos si
4
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟α + α = α + α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
π π⎛ ⎞⎟⎜= α + α ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⎟⎜= α − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟α − α = α − α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
π= α − n sin
4
 2 cos
4
π⎛ ⎞⎟⎜ α ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⎟⎜= α + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 3. Công thức nhân đôi: 
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
 2 cos 1
 1 2sin
 cos sin
sin 2 2sin .cos
2 tantan 2 
1 tan
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
 4 Công thức nhân ba: 
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
 5. Công thức hạ bậc: 
 2 2 21 cos2 1 cos2 1 cos2cos ; sin ; tan
2 2 1 cos2
α α − αα = α = α = +
+ −
α 
 6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo tan
2
α=t 
2
2 2 2
2t 1 t 2tsin ; cos ; tan
1 t 1 t 1 t
−α = α = α =+ + − 
2 1 cos2
2
cos + αα = 
2 1 cos2sin
2
− αα = 
ααα 2sin
2
1cossin = 
4
cos33coscos3 ααα += 
4
3sinsin3sin 3 ααα −= 
 33
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : 
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : 
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )tan tan
cos cos
sin( )tan tan
cos cos
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
 9. Các công thức thường dùng khác: 
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
4 4
6 6
cos 4cos sin
cos 4c
3
os sin
4
5 3
8
+ αα + α =
+ αα + α =
 34
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Các bước giải một phương trình lượng giác 
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa 
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) 
Bước 4: Kết luận 
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng ) 
u = v+k2
sinu=sinv 
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π ππ
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⇔ ±⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
 ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2. 
4
3cos)
4
cos( ππ =−x 
 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = − 
Bài giải 
23 2 2 5 24 20 541) sin3 sin( 2 )
3 34 3 2 2 2 2
4 4 4
kx x k xx k
x x
x x k x k x k
π π πππ ππ
π π ππ π π π
⎡ ⎡⎡= − + = += +⎢ ⎢⎢⎢= − ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢⎛ ⎞⎢ ⎢⎢= − − + = + = +⎜ ⎟⎢ ⎢⎢⎣ ⎣⎝ ⎠⎣
3 x k2x k2
3 4 42)cos(x ) cos
3 x k24 4 x k2 24 4
⎡ π π ⎡ = π + π− = + π⎢ ⎢π π ⎢− = ⇔ ⇔ ⎢ π⎢ π π ⎢ = − + π⎢ − = − + π ⎢⎢ ⎣⎣
k23x 2x k2 x
2 10 53) cos 3x cos 3x
3x 2x k
sin2x cos 2x
2
2
2 x k2
2
π ⎡ π π⎡ = − + π = +⎢⎢ ⎢⎢= ⇔ = ⇔ ⇔ ⎢⎢ π π⎢⎢ =
π⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ − + + π = − + π⎢⎢⎣ ⎣
 35
( )4 4 1 3 cos4 3 cos64) sin cos (3 cos6 ) cos6 cos6
4 4 4
2
6
cos4 cos 4
4 2 10 5 
6 4 2
2
x xx x x x x
kxx x k
x x k
x k
x x
π π
π π
π π π π
π+ −+ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
⎡ = +⎢= − +⎡⇔ ⇔ ⎢⎢ = − + +⎣ ⎢ =
−
⎣
−
− +⎢
II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( Rm∈∀ ) 
 * Gpt : sinx = m (1) 
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có 
x = +k2
(1) sinx=sin 
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣ 
 * Gpt : cosx = m (2) 
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có 
x = +k2
(2) cosx=cos 
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣ 
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = tanγ thì 
 (3) tanx = tan x = +kγ γ π⇔ ⇔ 
* Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = cotδ thì 
 (4) cotx = cot x = +kδ δ π⇔ ⇔ 
 36
Các trường hợp đặc biệt: 
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π
π π
π π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
 Ví dụ: 
 Giải các phương trình : 
 1) = 1sin 2
2
x 2) 2cos( )
4 2
x π− = − 
 3) 12cos2sin =+ xx 4) xxx 2cossincos 44 =+ 
 Bài giải: 
11) sin 2 s in2x=sin
2 6
2 2
6 
2 2
6
12 
5
12
x
x k
x k
x k
x k
π
π π
ππ π
π π
π π
= ⇔
⎡ = +⎢⇔ ⎢⎢ = −⎢⎣
⎡ = +⎢⇔ ⎢⎢ = +⎢⎣
2 32) cos( ) cos( ) cos
4 2 4 4
3 2
4 4 
3 2
4 4
2
2
2
x x
x k
x k
x k
x k
π π π
π π π
π π π
π π
π π
− = − ⇔ − =
⎡ − = +⎢⇔ ⎢⎢ − = − +⎢⎣
= +⎡⎢⇔ ⎢ = − +⎣
+
−
x
y
OC A
B
D
 37
3) sin2x cos2x 1 2 cos 2x 1
4
2 cos 2x
4 2
 cos 2x cos
4 4
2x k2
4 4 
2x k2
4 4
π⎛ ⎞⎟⎜+ = ⇔ − =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⎟⎜⇔ − =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⎛ ⎞⎟⎜⇔ − =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⎡ − = + π⎢⎢⇔ ⎢ π π⎢ − = − + π⎢⎣
x k
4 
x k
π⎡ = + π⎢⇔ ⎢⎢ = π⎢⎣
 ( )
4 4
2
2
3 cos 4x4) cos x sin x cos2x cos2x
4
 3 2 cos 2x 1 4 cos2x
 cos2x 1 0
 cos2x 1
++ = ⇔ =
⇔ + − =
⇔ − =
⇔ =
 2x k2
 x k
⇔ = π
⇔ = π
 Ví dụ: 
 Giải các phương trình: 
 1) 4 41 cos sin 2 cos2x x x+ − = 3) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 
 2) 6 6sin cos cos4x x x+ = 4) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− = 
 Bài giải 
4 41) 1 cos sin 2 cos2 cos2 1
 2 2
x x x x
x k
x k
π
π
+ − = ⇔ =
⇔ =
⇔ =
 Vậy nghiệm pt là x kπ= 
6 6 5 3cos42) sin cos cos4 cos4
8
 cos4 1
 4 2
2
xx x x x
x
x k
kx
π
π
++ = ⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
 Vậy nghiệm pt là 
2
kx π= 
 38
4 43) 4(sin x cos x) sin 4x 2 0 3 cos 4x s in4x 2 0
 2 cos 4x 1
4
3 cos 4x cos
4 4
+ + − = ⇔ + + − =
π⎛ ⎞⎟⎜⇔ − = −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⎛ ⎞⎟⎜⇔ − =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
34x k2
4 4 
34x k2
4 4
4x k2
4x k2
2
kx
4 2 
x
⎡ π π− = + π⎢⎢⇔ ⎢ π π⎢ − = − + π⎢⎣
⎡ = π + π⎢⇔ ⎢ π⎢ = − + π⎢⎣
π π= +
⇔ π= − k
8 2
⎡⎢⎢⎢ π⎢ +⎢⎣ 
 Vậy nghiệm pt là 
kx
4 2
kx
8 2
⎡ π π= +⎢⎢⎢ π π⎢ = − +⎢⎣
( )3 3 2 21 14) sin .cos cos .sin sin cos . cos sin4 4
1 s in2x.cos2x
2
 s in4x 1
x x x x x x x x− = ⇔ − − =
⇔ − =
⇔ = −
 4 2
2
8 2
x k
kx
π π
π π
⇔ = − +
⇔ = − +
 Vậy nghiệm pt là 
8 2
kx π π= − + 
2. Dạng 2: 
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
 ( 0a ≠ ) 
 Cách giải: 
 39
 Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) 
 Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) 
 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x 
 Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) 
 Ví dụ : 
 1) 22 cos 5sin 4 0x x+ − = 2) 5cos2 4 cos 0
2
x x− + = 
 3) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π 4) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66 =−
−+
x
xxxx 
 Bài giải 
( )2 2
2
1) 2 cos 5sin 4 0 2 1 sin 5sin 4 0
 2sin 5sin 2 0
sin 2 (VN)
 1sin
2
x x x x
x x
x
x
+ − = ⇔ − + − =
⇔ − + =
=⎡⎢⇔ ⎢ =⎣
2
6 
5 2
6
x k
x k
π π
π π
⎡ = +⎢⇔ ⎢⎢ = +⎢⎣
 Vậy nghiệm pt là 
2
6
5 2
6
x k
x k
π π
π π
⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣
2
2
52) cos2 4 cos 0 2(2 cos 1) 8cos 5 0
2
 4 cos 8cos 3 0
3cos (VN)
2 
1cos
2
x x x x
x x
x
x
− + = ⇔ − − + =
⇔ − + =
⎡ =⎢⇔ ⎢⎢ =⎢⎣
 2
3
x kπ π⇔ = ± +
 Vậy nghiệm pt là 2
3
x kπ π= ± + 
 40
4 4
2
2
3 cos 4x3) 2(sin x cos x) cos( 2x) 0 s in2x 0
2 2
 3 1 2 sin 2x 2 s in2x 0
 2 sin 2x 2 s in2x 4 0
π ++ − − = ⇔ − =
⇔ + − − =
⇔ + − =
s in2x 1
s in2x 2 (VN)
 2x k2
2
 x k
4
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
π⇔ = + π
π⇔ = + π
 Vậy nghiệm pt là x k
4
π= + π 
6 62(cos x sin x) sin x.cos x4) 0
2 2 sin x
+ − =− 
 Điều kiện: 
x k2
2 4sin x 32 x k2
4
π⎡ ≠ + π⎢⎢≠ ⇔ ⎢ π⎢ ≠ + π⎢⎣
 Khi đĩ: 
( )
6 6
2
2
2(cos x sin x) sin x.cos x 5 3 cos 4x 1 0 s in2x 0
2 2 sin x 4 2
 5 3 1 2 s in 2x 2 s in2x 0
 6 sin 2x 2 s in2x 8 0
+ − += ⇔ − =−
⇔ + − − =
⇔ + − =
s in2x 1
 4s in2x (VN)
3
 2x k2
2
 x k
4
⎡ =⎢⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
π⇔ = + π
π⇔ = + π
 So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là 5x k2
4
π= + π . 
 41
3. Dạng 3: 
 cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠ 
 Cách giải: 
• Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ thì pt 
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
 (2) 
• Đặt 
2 2 2 2
bcos và sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
 với [ )0;2α π∈ thì : 
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin = 
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 
Chú ý : 
 2 2 2Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥ 
Ví dụ : Giải các phương trình : 
 1) + = −cos 3 sin 1x x 2) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = 
Bài giải 
1 3 11) cos 3 sin 1 cos sin
2 2 2
2 cos cos
3 3
2 2
3 3 
2 2
3 3
x x x x
x
x k
x k
x
π π
π π π
π π π
π
+ = − ⇔ + = −
⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ − = +⎢⇔ ⎢⎢ − = − +⎢⎣
= +
⇔
2
2
3
k
x k
π
π π
⎡⎢⎢ = − +⎣
 Vậy nghiệm pt là 
2
2
3
x k
x k
π π
π π
= +⎡⎢⎢ = − +⎣
 42
4 42) 4(sin cos ) 3 sin 4 2 cos4 3 s in4x 1
1 3 1 cos4 s in4x
2 2 2
2 cos 4 cos
3 3
x x x x
x
x π π
+ + = ⇔ + = −
⇔ + = −
⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
24 2
3 3 
24 2
3 3
4 2
4 2
3
x k
x k
x k
x k
π π π
π π π
π π
π π
⎡ − = +⎢⇔ ⎢⎢ − = − +⎢⎣
= +⎡⎢⇔ ⎢ = − +⎣
4 2 
12 2
kx
kx
π π
π π
⎡ = +⎢⇔ ⎢⎢ = − +⎢⎣ 
 Vậy nghiệm pt là 4 2
12 2
kx
kx
π π
π π
⎡ = +⎢⎢⎢ = − +⎢⎣
d. Dạng 4: 
 2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1) 
Cách giải 1: 
 Aùp dụng công thức hạ bậc : 2 21 cos2 1 cos2sin và cos
2 2
x xx x− += = 
 và công thức nhân đôi : 1sin .cos sin 2
2
x x x= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) 
 Chia hai vế của pt (1) cho 2cos x ta được pt: 
 2tan tan 0a x b x c+ + = 
 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải. 
 Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π= + π có phải là nghiệm của (1) không? 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx 
 43
d. Dạng 5: 
 (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1) 
Cách giải : 
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x tπ= + = − ≤ ≤ 
 Do 
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x −+ = + ⇒ 
• Thay vào (1) ta được phương trình : 
2 1 0
2
tat b c−+ + = (2) 
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x tπ− = tìm x. 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − = 
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + = 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : 
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng 
 giác cơ bản đã biết 
 Ví dụ: Giải phương trình: 
 1) 0
2
32sincossin 44 =−++ xxx 
 2) sin 3x 3 cos 3x 2 s in2x− = 
 3) 1tan x 3
cos x
− = 
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số 
 Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: 
A=0
. 0 
B=0
A B
⎡= ⇔ ⎢⎣ hoặc 
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC
⎡⎢= ⇔ ⎢⎢⎣
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = 
 b. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = 
 44
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ 
 Một số dấu hiệu nhận biết : 
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) 
Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx 
 b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx 
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosxx x± 
 Ví dụ : Giải phương trình : + + =3 3 31 sin cos sin 2x
2
x x 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 1 1 74 sin x3sin x 4sin x
2
⎛ ⎞π ⎟⎜+ = − ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞π ⎝ ⎠⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 2) ( )2 sin x 1 cos2x sin2x 1 2cos x+ + = + 
 3) 3 3 2 2sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x− = − 
Bài giải: 
1) 1 1 74 sin x3sin x 4sin x
2
⎛ ⎞π ⎟⎜+ = − ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞π ⎝ ⎠⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 45
Bài giải: 
2) ( )2 sin x 1 cos2x sin2x 1 2cos x+ + = + 
Bài giải: 
3) 3 3 2 2sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x− = − 
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) ( ) ( )2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 s in2x+ + + = + 
 2) 22 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = 
 3) 
2x xsin cos 3 cos x 2
2 2
⎛ ⎞⎟⎜ + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài giải 
1) ( ) ( )2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 s in2x+ + + = + 
Bài giải: 
2) 22 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = 
 46
Bài giải: 
3) 
2x xsin cos 3 cos x 2
2 2
⎛ ⎞⎟⎜ + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 
( )6 62 cos x sin x sin x cos x
0
2 2 sin x
+ − =− 
 2) xcotx sin x 1 tan x tan 4
2
⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 3) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = 
Bài giải: 
1) 
( )6 62 cos x sin x sin x cos x
0
2 2 sin x
+ − =− 
Bài giải: 
2) xcotx sin x 1 tan x tan 4
2
⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 47
Bài giải: 
3) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = 
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 2 2cos 3x cos2x cos x 0− = 
 2) 1 sin x cos x s in2x+cos2x=0+ + + 
 3) 4 4 3cos x sin x sin 3x cos x 0
4 4 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ + − − − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Bài giải: 
1) 2 2cos 3x cos2x cos x 0− = 
Bài giải: 
 48
2) 1 sin x cos x s in2x+cos2x=0+ + + 
Bài giải: 
3) 4 4 3cos x sin x sin 3x cos x 0
4 4 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ + − − − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 2cos2x 1cotx 1 sin x s in2x
1 tan x 2
− = + −+ 
 2) ( ) 25 sin x 2 3 1 sin x tan x− = − 
 3) ( )( )2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x− + = − 
Bài giải: 
1) 2cos2x 1cotx 1 sin x s in2x
1 tan x 2
− = + −+ 
 49
Bài giải: 
2) ( ) 25 sin x 2 3 1 sin x tan x− = − 
Bài giải: 
3) ( )( )2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x− + = − 
------------------------------------Hết----------------------------------