Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. Số thực dương, số thực âm: 
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 0≥x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 0≤x 
Chú ý: 
• Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0≤a " 
• Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " " 0≥a
II. Khái niệm bất đẳng thức: 
 1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức 
 là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a 
 Ta có: 0a b a b> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có: ba ≥
 0b-a ≥⇔≥ ba 
2. Định nghĩa 2: 
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số 
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B 
 " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B 
 " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥ 
 " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤ 
được gọi là một bất đẳng thức 
Quy ước : 
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất 
đẳng thức đúng. 
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 
1. Tính chất 1: 
a b
a c
b c
>⎧ ⇒ >⎨ >⎩
2. Tính chất 2: a b a c b c> ⇔ + > +
Hệ quả 1: a b a c b c> ⇔ − > −
Hệ quả 2: a c b a b c+ > ⇔ > − 
3. Tính chất 3: 
a b
a c b d
c d
>⎧ ⇒ + > +⎨ >⎩
4. Tính chất 4: 
 nếu c > 0
 nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>⎧> ⇔ ⎨ <⎩
Hệ quả 3: a b a b> ⇔ − < −
Hệ quả 4: 
 nếu c > 0
 nếu c < 0
a b
c ca b
a b
c c
⎧ >⎪⎪> ⇔ ⎨⎪ <⎪⎩
 19
5. Tính chất 5: 
0
0
a b
ac bd
c d
> >⎧ ⇒ >⎨ > >⎩
6. Tính chất 6: 1 10 0a b
a b
> > ⇔ < < 
7. Tính chất 7: nn baNnba >⇒∈>> *,0
8. Tính chất 8: n baNnba >⇒∈>> n *,0 
 Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 
 22 baba >⇔>
 Nếu a và b là hai số không âm thì : 
 22 baba ≥⇔≥
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : 
1. Định nghĩa: 
 nếu x 0
 ( x )
 nếu x < 0
≥⎧= ∈⎨−⎩
x
x R
x
2. Tính chất : 2 20 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤ 
3. Với mọi ta có : Rba ∈,
• a b a b+ ≤ + 
• a b a b− ≤ + 
• . 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥ 
• . 0a b a b a b− = + ⇔ ≤ 
V. Bất đẳng thức trong tam giác : 
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : 
• a > 0, b > 0, c > 0 
• b c a b c− < < + 
• c a b c a− < < + 
• a b c a b− < < + 
• a b c A B C> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản : 
a. Bất đẳng thức Cauchy: 
Cho hai số không âm a; b ta có : 
2
a b ab+ ≥ 
 20
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b 
Cho ba số không âm a; b; c ta có : 3
3
+ + ≥a b c abc 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c 
Tổng quát : 
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có : 
 1 2 1 2
... . ...n n n
a a a
a a a
n
+ + + ≥ 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : 
 Ta thường sử dụng các phương pháp sau 
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương 
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . 
Ví dụ: 
 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 1. với mọi số thực a,b,c 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +
 2. với mọi a,b 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + +
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp 
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng 
minh. 
Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a và b thoả mãn 3a 2b 1+ = . Chứng minh: 1ab
24
≤ 
 b) Cho hai số dương a và b thoả mãn ab 1= . Chứng minh: 4a 9b 12+ ≥ 
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
4
5=+ yx . Chứng minh rằng: 5
4
14 ≥+
xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: x y y z z x 8
y z z x x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ 
Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9≥++++++++
c
cba
b
cba
a
cba 
Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3b c c a a b a b c
a b c
+ + ++ + ≥ + + + 
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN & GTNN CỦA MỘT HÀM SỐ 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y (x 2)(3 x)= + − với 2 x 3− ≤ ≤ 
Ví dụ 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1= . Tìm GTNN của biểu thức P (x 1)(y 1)(z 1)= + + +
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số 
 a) y x 5 x 3= + + − b) y x 1 x 2 2x 5= + + − + − 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2S 10x 5y 10xy 10x 14= + − − + với x, y∈\
------------------------------------Hết----------------------------------- 
 21
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
ĐỀ SỐ 1: 
Câu 1: Giátrị nhỏ nhất của hàm số 2
1y 2x , x 0
x
= + > là 
 (A) 3 (B) 1 (C) 2 2 (D) 33 3 
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
1y 3x , x 0
x
= + > là 
 (A) 2 2 (B) 1 (C) 4 (D) 33 4 
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 5y x , x 2
x 2
= + >− là 
 (A) 2 1+ (B) 2 1− (C) 5 2 2− (D) 5 2+ 
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số x 3y x , x 1
x 1
+= + >+ − là 
 (A) 2 2 5+ (B) 2 2 5− (C) 2 2 (D) 2 2− 
Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2S 4 5x 2y 2xy 8x 2y= − − + + + với là x, y∈\
 (A) (B) 9− 1
9
 (C) 1
9
− (D) 9 
---------------------------Hết------------------------- 
 22