Chuyên đề 4: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

ŀ Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 309 
Chuyên đề IV 
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG 
 
 Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM 
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên 
K nếu ( ) ( )F' x f x x K= ∀ ∈ . 
2. Các tính chất 
Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f 
trên K đều có dạng ( )F x C, C+ ∈
 . Do vậy ( )F x C+ gọi là họ nguyên hàm của 
hàm f trên K và được kí hiệu: 
 ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . 
Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 
Định lí 3. Nếu f ,g là hai hàm liên tục trên K thì: 
a) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ 
b) ( ) ( )k.f x dx k f x dx=∫ ∫ với mọi số thực k 0≠ . 
Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +∫ thì 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C= = +∫ ∫ . 
3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 
Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp 
( )( )u u x= 
* xdx x C= +∫ 
* 
1x
x dx C ( 1)
1
α+
α = + α ≠ −
α +∫ 
* 
dx
ln| x | C
x
= +∫ 
* x xe dx e C= +∫ 
* 
x
x aa dx C
lna
= +∫ 
* sinxdx cosx C= − +∫ 
* cosxdx sinx C= +∫ 
* udu u C= +∫ 
* 
1u
u du C 
1
α+
α = +
α +∫ 
* 
du
ln|u| C
u
= +∫ 
* u ue du e C= +∫ 
* 
u
u aa du C
lna
= +∫ 
* sinu.du cosu C= − +∫ 
* cosudu sinu C= +∫ 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 310 
Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp 
( )( )u u x= 
* 
2
dx
tanx C
cos x
= +∫ 
* 
2
dx
cot x C
sin x
= − +∫ 
* 
dx
2 x C
x
= +∫ 
* 
2
du
tanu C
cos u
= +∫ 
* 
2
du
cot u C
sin u
= − +∫ 
* 
dx
2 u C
u
= +∫ 
Nếu u ax b= + thì ta có: 
* 
dx 1
ln|ax b| C
ax b a
= + +
+∫ 
* ax b ax b
1
e dx e C
a
+ += +∫ 
* ( ) ( )
cos ax b
sin ax b dx C
a
+
+ = − +∫ 
* ( ) ( )
sin ax b
cos ax b dx C
a
+
+ = +∫ 
*
( )
( )2
dx 1
tan ax b C
acos ax b
= + +
+∫
*
( )
( )2
dx 1
cot ax b C
asin ax b
= − + +
+∫
*
dx 2
ax b C
aax b
= + +
+∫
4. Các phương pháp tính nguyên hàm 
Phương pháp phân tích: 
Để tìm nguyên hàm ( )f x dx∫ , ta phân tích 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x k .f x k .f x ... k .f x= + + + 
Trong đó: ( ) ( ) ( )1 2 nf x , f x ,...,f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm 
được nguyên hàm 
Khi đó: 
 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x dx k f x dx k f x dx ... k f x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫ . 
Phương pháp từng phần: 
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ]a;b và có đạo hàm liên tục trên [ ]a;b . 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 311 
Khi đó: ( )udv uv vdu 1= −∫ ∫ 
Để tính tích phân ( )I f x dx= ∫ bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: 
B1: Chọn u,v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) dv v’ x dx= ). 
Tính v dv= ∫ và du u'.dx= . 
B2: Thay vào công thức ( )1 và tính vdu∫ . 
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 
vdu∫ dễ tính hơn udv∫ . Ta thường gặp các dạng sau 
Dạng 1: ( )I x .sinxdx (x).cosxdx= ∫ ∫hoaëc , trong đó ( )P x là đa thức 
Với dạng này, ta đặt ( )u P x , dv sinxdx. dv cosxdx.= = =hoaëc . 
Dạng 2: ( ) ax bI P x e dx+= ∫ 
Với dạng này, ta đặt 
( )
ax b
u P x
dv e dx+
 =

=
, trong đó ( )P x là đa thức 
Dạng 3: ( ) ( )I P x ln mx n dx= +∫ 
Với dạng này, ta đặt 
( )
( )
u ln mx n
dv P x dx
 = +

=
. 
Dạng 4: x xI sinxe dx I cosxe dx= =∫ ∫hoaëc 
Với dạng này, ta đặt 
x
sinx
u
cosx
dv e dx
  
=  
 

=
 để tính vdu∫ ta đặt 
x
sinx
u
cosx
dv e dx
  
=  
 

=
. 
Phương pháp đổi biến số 
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= ∫ , trong đó ta có thể phân tích 
 ( ) ( )( ) ( )f x g u x u' x dx= thì ta thực hiện phép đổi biến số 
 ( ) ( )t u x dt u' x dx= ⇒ = . 
Khi đó: ( ) ( ) ( )( )I g t dt G t C G u x C= = + = +∫ 
Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( )t u x= 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 312 
Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm: 
3
1
I x dx
x
 = − 
 ∫
Lời giải 
Ta có : 
3
3
3
1 3 1
x x 3x
x x x
 − = − + − 
 
 nên suy ra : 
4 2
3
3 2
3 1 x 3x 1
I x 3x dx 3ln x C
x 4 2x 2x
 
= − + − = − + + + 
 ∫
. 
Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm: ( )2x xI e 2e dx−= +∫ 
Lời giải 
Ta có: ( )2x x 2x 2xe 2e e 4 4.e− −+ = + + 
Suy ra: ( )2x 2x 2x 2x1I e 4 4e dx e 4x 2e C
2
− −= + + = + − +∫ 
Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm: 
2
x 2
I dx
2x 5x 2
+
=
− +∫
Lời giải 
Ta có: ( )( )22x 5x 2 2x 1 x 2− + = − − và ( ) ( )4 5x 2 2x 1 x 2
3 3
+ = − − − 
Suy ra: 
4 1 5 1
I dx
3 x 2 3 2x 1
 = − − − ∫
4 5
ln x 2 ln 2x 1 C
3 6
= − − − + . 
Ví dụ 4. Tính họ nguyên hàm: ( )3I cos3x.cos4x sin 2x dx= +∫ 
Lời giải 
Ta có : [ ]1cos3x.cos4x cos7x cosx ,
2
= + 3
3 1
sin 2x sin2x sin6x
4 4
= − 
Nên suy ra: 
1 1 3 1
I cos7x cosx sin2x sin6x dx
2 2 4 4
 = + + − 
 ∫
1 1 3 1
sin7x sinx cos2x cos6x C
14 2 8 24
= + − + + . 
Ví dụ 5. Tính họ nguyên hàm: 4I cos 2xdx= ∫ 
Lời giải 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 313 
Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos 4x
4 4
= + = + + 
( )1 1 cos8x 11 2cos4x 3 4cos4x cos8x
4 2 8
+ = + + = + + 
 
( )1 1 1I 3 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x C
8 8 8
 ⇒ = + + = + + + 
 ∫
5) Ta có: 
2
2
1
I cos x 2 dx
cos x
 
= + − 
 ∫ ( )
dx 1
tanx 2x cos2xd 2x
2 4
= − + +∫ ∫ 
3 1
tanx x sin2x C
2 4
= − + + . 
Ví dụ 6. Tính họ nguyên hàm: 
3
2
x 2x 1
I dx
x 2x 1
+ +
=
+ +∫
Lời giải 
Ta có: ( ) ( ) ( )3 23x 2x 1 x 1 3 x 1 5 x 1 2+ + = + − + + + − 
Suy ra 
( )2
5 2
I x 2 dx
x 1 x 1
 
 = − + −
 + + 
∫
2x 2
2x 5ln x 1 C
2 x 1
= − + + + +
+
. 
Ví dụ 7. Tính họ nguyên hàm: 
2
3 2
2x x 6
I dx
x 5x 6x
+ +
=
+ +∫
Lời giải 
Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: 
( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + (1) 
Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau 
Cách 1: Đồng nhất các hệ số 
(1) ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + 
a b c 2
2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6
6b 6
+ + =

⇔ + + = ⇔ = = = −
 =
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 314 
Do đó, 
2
3
2x x 6 7 1 6
dx dx
x 3 x x 2x 5x 6
+ +  = + − + + + +∫ ∫
Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . 
Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào (1) ta có được 
a 7,b 1,c 6= = = − và ta có kết quả như trên. 
Ví dụ 8. Tính họ nguyên hàm: 
sin2xdx
I
1 4sinx
=
+∫ 
Lời giải 
Ta có: 
sinxcosxdx
I 2
1 4sinx
=
+∫ 
Đặt 
t 1 1
t 1 4sinx sinx cosxdx dt
4 4
−
= + ⇒ = ⇒ = 
Suy ra: ( )
t 1 1
dt 1 1 14 4I 2 1 dt t ln t C
t 8 t 8
−
 
= = − = − + 
 ∫ ∫
. 
 ( )1 1 4sinx ln 1 4sinx C
8
= + − + + . 
Ví dụ 9. Tính họ nguyên hàm: 
3
sin2x 3cosx
I dx
1 1 2sinx
+
=
+ +∫
Lời giải 
Ta có: 
( )
3
2sinx 3 cosxdx
I
1 1 2sinx
+
=
+ +∫
Đặt 
( )33 t 1 1t 1 1 2sinx sinx
2
− −
= + + ⇒ = ( )23cosxdx t 1 dt
2
⇒ = − 
( ) ( ) ( )( )2 2 2 23t 1 2 t 1 dt t 2t 3 t 2t 1 dt32I
t 2 t
 − + − − + − +  ⇒ = =∫ ∫ 
 3 2
3 3
t 4t 8t 8 dt
2 t
 
= − + − + 
 ∫
4 3
23 t 4t 4t 8t 3ln t C
2 4 3
 
= − + − + + 
  
với 3t 1 1 2sinx= + + . 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 315 
Ví dụ 10. Tính họ nguyên hàm: 
x 1
I dx
x 2
−
=
+∫ 
Lời giải 
Đặt 
( )
2
2 22
x 1 2t 1 6t
t x dx dt
x 2 1 t t 1
− +
= ⇒ = ⇒ =
+ − −
( ) ( )
2
2 2 22 2
6t 1 1
I dt 6 dt
t 1t 1 t 1
 
 
⇒ = = + 
− − −
 
∫ ∫ 
Mà: 
( ) ( )
( )( )2
t 1 t 11 1 1 1 1
2 t 1 t 1 2 t 1 t 1t 1
+ − −  = = − − + − +−  
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 22
t 1 t 11 1
4 t 1 t 1t 1
 + − − =
− +− ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1
4 t 1 t 1t 1 t 1
 
 = + + −
+ − − + 
Suy ra: 
2
dt 1 t 1
ln
2 t 1t 1
−
=
+−∫
; 
( )22
dt 1 t 1 1 1
ln
4 t 1 t 1 t 1t 1
 −
= − + + + − + −
∫ . 
Vậy: 
2
3 t 1 3t
I ln C
2 t 1 t 1
−
= − +
+ −
 với 
x 1
t
x 2
−
=
+
. 
Ví dụ 11. Tính họ nguyên hàm: 
x
x
e 4
I dx
4e 1
+
=
+∫
Lời giải 
Đặt 
( )
x 2
x x
x 2 22
e 4 t 4 30t
t e e dx dt
4e 1 4t 1 4t 1
+ −
= ⇒ = − ⇒ = −
+ − −
( )( )2 2
30t
dx dt
t 4 4t 1
⇒ =
− −
Suy ra 
( )( )
2
2 22 2
t dt 1 4
I 30 2 dt
t 4 4t 1t 4 4t 1
 
= = − 
− − − −
∫ ∫ 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 316 
1 t 2 2t 1
ln ln C
2 t 2 2t 1
− −
= − +
+ +
 với 
x
x
e 4
t
4e 1
+
=
+
. 
Ví dụ 12. Tính họ nguyên hàm: 
( )
lnx.dx
I
x 1 3lnx 2
=
+ +
∫ 
Lời giải 
Đặt 
2t 2 dx 2
t 3lnx 2 lnx tdt
3 x 3
−
= + ⇒ = ⇒ = 
Suy ra 
2
2
t 2 2
. tdt 2 13 3I t t 1 dt
1 t 9 t 1
−
 
= = − − + + + ∫ ∫
 ( )
3 22 t t
t ln t 1 C
9 3 2
 
= − − + + +  
 
, với t 3lnx 2= + . 
Ví dụ 13. Tính họ nguyên hàm: 3xI sin2x.e dx= ∫ 
Lời giải 
Cách 1 : 
Ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2sin2x.e sin2x e ' sin2x '.e cos2xe
3 3
 = + −
 
( ) ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2 4sin2x.e ' cos2x. e ' cos2x 'e sin2x.e
3 9 9
 = − + −
 
( ) ( )3x 3x 3x13 1 2sin2x.e sin2x.e ' cos2x.e '
9 3 9
⇒ = − 
 3x 3x
1 2
sin2x.e cos2xe '
3 9
 
= − 
 
Suy ra : 3x 3x 3x
3 2
sin2xe dx sin2xe cos2xe '
13 13
 
= − 
 
( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C
13
= − + . 
Cách 2 : Ta giả sử : 3x 3x 3xsin2x.e dx a.sin2x.e b.cos2x.e C= + +∫ 
Lấy đạo hàm hai vế ta có : 
( ) ( )3x 3x 3x 3x 3xsin2x.e a 2cos2xe 3sin2x.e b 3cos2x.e 2sin2x.e= + + − 
3a 2b 1 3 2
a ,b
13 132a 3b 0
− =
⇔ ⇔ = = −
+ =
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 317 
Vậy ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C
13
= − + . 
Bài tập tự luyện 
1. Tìm họ nguyên hàm:
3
2x 1
I dx
x 3x 2
+
=
− +
∫ 
Hướng dẫn giải: 
( ) ( ) ( )3 2 2
2x 1 2x 1 a b c
x 1 x 2x 3x 2 x 1 x 2 x 1
+ +
= = + +
− +− + − + −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
2
a x 2 b x 1 x 2 c x 1
x 1 x 2
+ + − + + −
=
− +
( ) ( )( ) ( ) ( )22x 1 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 1⇔ + = + + − + + − 
Ở ( )1 ta cho x 1;x 2;x 0= = − = ta có tìm được: 1 1a 1;b ;c
3 3
= = = − 
( )2
1 1 1 1 1
I dx
3 x 1 3 x 2x 1
 
 ⇒ = + −
 − +− 
∫ 
1 1 1 1 1 x 1
ln x 1 ln x 2 C ln C
x 1 3 3 x 1 3 x 2
−
= − + − − + + = − + +
− − +
Chú ý: 
( )( )
ax b
dx
cx dx
+
−α −β∫ 
• Tách phân thức trong tích phân trở thành: 
1 1
p q
cx dx
   +   −α −β   
• Lấy nghiệm của cx −α thay vào 
ax b
dx
+
−β
 ta được p 
• Lấy nghiệm của dx −β thay vào 
ax b
cx
+
−α
 ta được q 
2. Tìm họ nguyên hàm:
3
5x 1
I dx
x 3x 2
+
=
− +∫
Hướng dẫn giải: 
Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: 
( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + ( )1 
Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau 
Cách 1: Đồng nhất các hệ số 
( )1 ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 318 
a b c 2
2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6
6b 6
+ + =

⇔ + + = ⇔ = = = −
 =
Do đó, 
2
3
2x x 6 7 1 6
dx dx
x 3 x x 2x 5x 6
+ +  = + − + + + +∫ ∫
Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . 
Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào ...  một hình tròn có bán kính ( )R |f x |= 
nên diện tích thiết diện bằng 
( ) ( )2 2S x R f x= pi = pi . Vậy thể tích khối tròn 
xoay được tính theo công thức: 
( ) ( )
b b
2
a a
V S x dx f x dx= = pi∫ ∫ . 
Chú ý: 
Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ) ( )y f x ,y g x ,= = x a, x b= = 
(Với ( ) ( ) [ ]f x .g x 0 x a;b≥ ∀ ∈ ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D 
quanh trục Ox được tính bởi công thức: 
 ( ) ( )
b
2 2
a
V f x g x dx= pi −∫ . 
Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi 
các đường ( )x g y , y a, y b, Oy= = = quanh trục Oy được tính theo công thức: 
( )
b
2
a
V g y dy= pi∫ . 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau 
2x
y 4 ,
4
= − 
2x
y
4 2
= 
x 
( )y f x= 
a 
b 
y 
x 0 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 356 
Lời giải 
Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 
2x
y 4
4
= − và 
2x
y
4 2
= : 
2 2 2 4
2x x x x4 4 x 8 x 2 2
4 4 324 2
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± . 
Trên 2 2;2 2 −  , ta có: 
2 2x x
4
4 4 2
− ≥ nên diện tích cần tính là: 
2 2 2 2 2 22 2
2 2
D
0 02 2
x x 1
S 4 dx 16 x dx x dx
4 4 2 2 2
−
 
 = − − = − −
 
 
∫ ∫ ∫ 
Ta có: 
2 22 2 3
2
0 0
x 16 2
x dx
3 3
= =∫ 
Đặt x 4sint dx 4costdt= ⇒ = . Khi đó: 
( )
2 2 4 4
2 2
0 0 0
16 x dx 16 cos tdt 8 1 cos2x dx 2 4
pi pi
− = = + = pi+∫ ∫ ∫ 
Vậy: D
4
S 2
3
= pi+ . 
Ví dụ 2. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): 2y x= và phía trên 
bởi đường thẳng đi qua ( )A 1;4 có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ 
nhất. 
Lời giải 
Đường thẳng ∆ đi qua A , hệ số góc k có phương trình : 
( )y k x 1 4 kx k 4= − + = − + . 
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ∆ : 
( )2 2x kx k 4 x kx k 4 0 1= − + ⇔ − + − = 
Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x< . Khi đó, diện tích (H) là: 
( )
x2
2
x1
S kx k 4 x dx= − + −∫ ( )
x23
2
x1
k x
x 4 k x 
2 3
 
= + − −  
 
 ( ) ( )( ) ( )2 2 3 32 1 2 1 2 1k 1x x 4 k x x x x2 3= − + − − − − 
 ( ) ( ) ( )22 1 1 2 1 2 1 2
x x
3k x x 6 4 k 2 x x 2x x
6
−  = + + − − + +  
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 357 
 ( )22 1x x k 4k 16
6
−
= − + . 
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 1 2x x x x 4x x k 2 12 12− = + − = − + ≥ 
2 3
S .12 4 3
6
⇒ ≥ = . Đẳng thức xảy ra k 2⇔ = . 
Vậy k 2= là giá trị cần tìm. 
Bài tập tự luyện 
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3, x 0, x 3= − + − = = và Ox . 
Hướng dẫn giải: 
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
   
= − − + − + − + − =      
   
. 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 2y x 11x 6, y 6x= + − = , x 0, x 2= = . 
Hướng dẫn giải: 
Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + − 
 ( )h x 0 x 1 x 2 x 3= ⇔ = ∨ = ∨ = (loại). 
 ( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
   
= − − + − + − + − =      
   
. 
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4 x 3= − + và trục hoành. 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = ⇔ − + = = ≥ 
x 1t 1 x 1
t 3 x 3x 3
 == = ± 
⇔ ⇔ ⇔ = = ±= 
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
−
⇒ = − + = − +∫ ∫ 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 358 
 ( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
 
 = − + + − +
  
∫ ∫ 
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
     = − + + − + =       
     
. 
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3= − + và y x 3= + . 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
 2x 4x 3 x 3− + = + 2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+ ≥
 =⇔ ⇔− + = +  =
 − + = − −
. 
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx⇒ = − + − + − + −∫ ∫ ∫ 
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
     −
= − + + − + − =          
     
. 
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y xlnx,x e= = và Ox 
Hướng dẫn giải: 
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: 
x 0 x 0
xlnx 0
lnx 0 x 1
= = 
= ⇔ ⇔ = = 
Nhận xét: [ ]xlnx 0 , x 1;e≥ ∀ ∈ 
Gọi S là diện tích cần tìm: 
e e
1 1
S xlnxdx xlnxdx= =∫ ∫ 
Đặt: 
2
dx
du
u lnx x
dv xdx x
v
2
 == 
⇒ 
=  =
ee e2
1 11
e e2 2
2
11
x 1
S xlnxdx lnx xdx
2 2
x 1 e 1
lnx x ( vdt)
2 4 4
= = −
+
= − =
∫ ∫
®
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 3x 2= − + và y x 1= − 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 359 
Hướng dẫn giải: 
. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: 
 2 2
x 1
x 3x 2 x 1 x 4x 3 0
x 3
=
− + = − ⇔ − + = ⇔  =
Gọi S là diện tích cần tìm: 
 ( ) ( )
3 3
2 2
1 1
S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +∫ ∫ 
Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) 
 [ ]2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1;3− + ≤ − ⇔ − + ≤ ∀ ∈ 
 ( )
33 4
2 2
1 1
x 4
S x 4x 3 dx 2x 3x
4 3
 
= − + − = − + − =  
 
∫ (đvdt) 
Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị ) 
 ( )
3 3
3 3
1 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +∫ ∫ 
3
4
2
1
x 4 4
2x 3x
4 3 3
 
= − + = − =  
 
 (đvdt) 
7. Tìm m để đồ thị ( )C : 4 2y x 2mx m 2= − + + cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và 
diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( )C và Ox bằng diện tích hình 
phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( )C và Ox . 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 
 Ox : ( )4 2x 2mx m 2 0 1− + + = 
Đặt 2t x , t 0= ≥ , ta có phương trình: ( )2t 2mt m 2 0 2− + + = . 
Yêu cầu bài toán ( )2⇔ có hai nghiệm t 0> phân biệt 
2' m m 2 0
S 2m 0 m 2
P m 2 0
∆ = − − >

⇔ = > ⇔ >
 = + >
. 
Gọi 1 2 1 2t ,t (0 t t )< < là hai nghiệm của ( )2 . 
Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: 
1 2 2 1 3 1 4 2x t ;x t ;x t ;x t= − = − = = . 
Do tính đối xứng của ( )C nên yêu cầu bài toán 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 360 
( ) ( )
x x3 4
4 2 4 2
0 x3
x 2mx m 2 dx x 2mx m 2 dx⇔ − + + = − + − −∫ ∫ 
( ) ( )
5 3
4 24 4
4 4 4
x 2mx
m 2 x 0 3x 10mx 15 m 2 0
5 3
⇔− + − + = ⇔ − + + = 
4x⇒ là nghiệm của hệ: 
( )
4 2
4 4
4 2
4 4
x 2mx m 2 0
3x 10mx 15 m 2 0
 − + + =

− + + =
( ) ( )2 24 4
3 m 2
4mx 12 m 2 0 x
m
+
⇒ − + = ⇒ = thay vào hệ ta có được 
( ) ( ) ( )
2
2
2
m 2
9 6 m 2 m 2 0 9 m 2 5m 0
m
+
− + + + = ⇔ + − = (do m 2> ) 
25m 9m 18 0 m 3⇔ − − = ⇔ = 4x 5⇒ = . 
Với ( ) 4 2
x 1
m 3 1 x 6x 5 0
x 5
= ±
= ⇒ ⇔ − + = ⇔ 
= ±
. 
Vậy m 3= là giá trị cần tìm. 
8. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2 2y 4 x , x 3y 0= − − + = quay quanh Ox 
Hướng dẫn giải: 
Hoành độ giao điểm 
2
2 2x4 x x 3 x 3
3
− − = − ⇔ = ⇔ = ± 
( )
3 4
2
3
x
V 4 x dx
9
−
⇒ = pi − −∫ 
 ( )
33 5
2 4 3
0 0
2 2 x
36 9x x dx 36x 3x
9 9 5
 pi pi
= − − = − −  
 
∫ . 
Vậy 
28 3
V
5
pi
= (đvtt). 
9. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2x y 5= − + , x 3 y= − quay quanh Oy . 
Hướng dẫn giải: 
Tung độ giao điểm: 2
y 1
y 5 3 y
y 2
= −
− + = − ⇔  =
. 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 361 
( ) ( )
2 2 22
1
V y 5 3 y dy
−
⇒ = pi − + − −∫ 
 ( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
−
= pi − + +∫ 
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
−
  pi
= pi − + + =  
 
. 
10. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
xy xe ,y 0,x 0,x 2= = = = và quay quanh trục Ox . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi V là thể tích cần tìm: ( )
2 22x 2 2x
0 0
V xe dx x e dx= pi = pi∫ ∫ 
Đặt: 
2
2x2x
du 2xdx
u x
1
v edv e dx 2
= = 
⇒ 
==  
2 2 22 2x
2x 4 2x
0 00
x e
V xe dx 2 e xe dx
2
pi
= −pi = pi −pi∫ ∫ 
Đặt: 2x2x
du dxu x
1
v edv e dx
2
== 
⇒ 
==  
22 22x
4 2x 4 2x
0 00
xe
V 2 e xe dx 2 e e dx
2 2
 
pi pi = pi −pi = pi − −
 
 
∫ ∫ 
( ) ( )
2
4 4 2x 4 4 4 4
0
2 e e e 2 e e e 1 5e 1
4 4 4
 pi pi pi
= pi − pi − = pi −pi + − = − 
  
 (đvtt). 
11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = và quay quanh trục Ox . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các 
đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox 
( ) ( )
22 2 3
2 2 2
1
0 0 0
4x 32
V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x
3 3
  pi
= pi − = pi − + = pi − + =  
 
∫ ∫ 
Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 
 362 
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các 
đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox 
( ) ( )
22 2 5 322 4 2
2
0 0 0
x 8x 256
V x 4 dx x 8x 16 dx 16x
5 3 15
  pi
= pi − = pi − + = pi − + =  
 
∫ ∫ 
Gọi V là thể tích cần tìm: 2 1
256 32 32
V V V
15 3 5
pi pi pi
= − = − = (đvtt) 
12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với 
D là hình giới hạn bởi các đường: 2y xcosx sin x , y 0,x 0,x
2
pi
= + = = = 
Hướng dẫn giải: 
Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là: 
 ( )
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx
pi pi pi pi
= pi = pi + = pi + pi∫ ∫ ∫ ∫ 
Ta có: ( )
2 2 22
00 0
1 1 1
sin xdx 1 cos2x dx x sin2x 
2 2 2 4
pi pi pi
pi 
= − = − = 
 ∫ ∫
. 
Đặt 
u x du dx
dv cosxdx v sinx
= = 
⇒ 
= = 
2 2
2
0
0 0
xcosxdx xsinx sinxdx 1
2
pi pi
pi
pi
⇒ = − = −∫ ∫ 
Vậy 
( )3 4
V 1
2 4 4
pi pi−pi pi = pi − + pi = 
 
 ( đvtt ) 
13. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với 
D là hình giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 1= = = = 
Hướng dẫn giải: 
Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 
1
2 2x
0
V x e dx= ∫ 
Đặt 
2
2x2x
du 2x
u x
1
v edv e dx 2
= = 
⇒ 
==  
1 1212 2x 2x 2x
0
0 0
1 e
V x e xe dx xe dx
2 2
  pi
 ⇒ = pi − = −pi
 
 
∫ ∫ 
Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 
 363 
Đặt 2x2x
du dxu x
1
v e dxdv e dx
2
== 
⇒ 
==  
11 1 2 2x 212x 2x 2x
0
0 0 0
1 1 e e e 1
xe dx xe e dx
2 2 2 4 4
+
⇒ = − = − =∫ ∫ 
2 2 2e e 1 e 1
V
2 4 4
 + −
⇒ = pi − = pi 
 
 ( đvtt ) 
14. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với 
D là hình giới hạn bởi các đường: ( )2y x ln 1 x ,y 0,x 1= + = = 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường 
 ( )2y x ln 1 x= + và y 0= : ( )2x ln 1 x 0 x 0+ = ⇔ = . 
Thể tích cần tính: ( )
1
2 2
0
V x ln 1 x dx= pi +∫ . 
Đặt 
( )2 2
32
2x
du dx
u ln 1 x 1 x
xdv x dx v
3

= = +  +
⇒ 
 = =
( ) ( )
11 13 4
2 2 2
2
0 00
x 2 x
x ln 1 x dx ln 1 x dx
3 3 1 x
⇒ + = + −
+∫ ∫
1
2
2
0
ln2 2 1
x 1 dx
3 3 1 x
 
= − − + 
 + ∫
1 13
2
00
ln2 2 x 2 dx
x
3 3 3 3 1 x
 
= − − −   + 
∫ 
ln2 4 2 12ln2 16 6
.
3 9 3 4 36
pi + − pi
= + − = (đvtt).