Chuyên đề 1 - Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trong khoảng (a;b)

Chuyên đề 1
Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trong khoảng (a;b)
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b)
Muốn chứng minh hàm số y = f(x) 
Ta phải chứng minh
đồng biến trong khoảng (a;b)
f’(x) ³ 0,"x, x ẻ (a;b) (1)
nghịch biến trong khoảng (a;b)
f’(x) ≤ 0,"x, x ẻ (a;b) (2)
đơn điệu trong khoảng (a;b)
f’(x) không đổi dấu,"x, x ẻ (a;b)
*Chú ý: Dấu thức ở (1) ,(2) chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm của khoảng (a;b)
*Cần nhớ Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (aạ0) luôn luôn cùng dấu với a D<0
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
a,Chứng minh hàm số y = f(x) = x3 – x2 +2x – 3 đồng biến trên miền xác định của nó 
Giải: TXĐ:R
Ta có: f’(x) = 3x2 – 2x +2 > 0,"x, x ẻ R vì 
Vậy: hàm số y = f(x) x3 – x2 +2x – 3 đồng biến trên miền xác định R của nó.
b, Chứng minh hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó 
Giải: TXĐ: D = R\
Ta có: f’(x) = < 0,"x, x ẻ D 
Vậy: hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó .
c,Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = 
Giải: y = f(x) = = -x- 
TXĐ: D = R\
Ta có: f’(x) = -1 - < 0,"x, x ẻ D
 Vậy: hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó .
Bài tập tương tự:
Bài 2: Chứng minh hàm số y = f(x) = đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Vấn đề 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b).Muốn tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số y = f(x) thì ta làm như sau:
-Tìm tập xác định D.
-Tính y’ = f’(x)
-Tìm nghiệm (nếu có) của f’(x) = 0
Lập bảng biến thiên của hàm số :
x
y’
dấu của y’ = f’(x) 
y
chiều biến thiên của hàm số
Bài tập áp dụng:
Bài 1: a,Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = -x3 – 3x2 +2
Giải:TXĐ : R 
y’ = f’(x) = -3x2 – 6x = -3x(x+2); y’ = 0 
Bảng biến thiên 
x
- -2 0 +
y’
 - 0 + 0 -
y
 Vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng (-2;0) và nghịch biến trong khoảng 
(-;-2) ; (0; +)
 b,Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 
Giải:TXĐ : D = R\
Ta có: y’ = f’(x) = ; y’ = 0 -x2 + 4x =0-x(x-4) = 0 
Bảng biến thiên 
x
- 0 2 4 +
y’
 - 0 + + 0 -
y
Vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng (0;2);(2;4) và nghịch biến trong khoảng (-; 0) ; (4; +)
Bài tập tương tự:
Bài 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 
a, y = -x4 + 4x2 b, y = f(x) = 
vấn đề 3:Xác định điều kiện của 1 tham số để hàm số y = f(x) đồng biến ,nghịch biến trong khoảng (a;b)
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b)
Muốn xác định điều kiện của tham số (m chẳng hạn)để hàm số y = f(x) 
Ta phải xác định điều kiện của m sao cho:
đồng biến trong khoảng (a;b)
f’(x) ³ 0,"x, x ẻ (a;b) (1)
nghịch biến trong khoảng (a;b)
f’(x) ≤ 0,"x, x ẻ (a;b) (2)
*Chú ý: Dấu thức ở (1) ,(2) chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm của khoảng (a;b)
*Cần nhớ :
1,Dờu của tam thức bậc hai:
*ax2 + bx + c ≥ 0,"x, x ẻ R
*ax2 + bx + c ≤ 0,"x, x ẻ R
2,Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (aạ0)
* a.f(x) f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và x1 < x , x2
* a.f(x) > 0 và D ³ 0 và : 
Bài tập áp dụng :
Bài 1:a,Xác định m để hàm số sau đây đồng biến toàn miền xác định của nó:
y = - (m+1)x2 + 4x – 5
Giải : TXĐ: R
y’ = x2 - 2(m+1)x + 4.Để hàm số đồng biến trên R f’(x) ³ 0,"x, xẻ R
D≤0 ( vì f’(x) có a = 1 > 0) (m+1)2 – 4 ≤ 0 m2 + 2m -3 ≤ 0 
-3 ≤ m ≤ 1 
b,Xác định m để hàm số sau đây nghịch biến biến trên mõi khoảng xác định (kạ-1 ,kạ 2)
Giải:
TXĐ : D = R\
y’ = . Để hàm số đồng biến trên D y’ < 0,"x, xẻ D 
-k2 + k + 2 < 0 
Vấn đề 4:Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Muốn tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta lần lượt thực hiện các bước sau:
-Tìm tập xác định.
-Tính đạo hàm f’(x).
-Tìm nghiệm x0 (nếu có) của f’(x) = 0 và tính y0
-Lập bảng biến thiên và dựa vào đây ta sẽ có kết quả.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Tìm cực trị của các hàm số sau:
a, y = 2x3+3x2-36x-10
TXĐ: D=R
y’= 6x2+6x-36
y’=0 6x2+6x-36 = 0 x2 + x - 6 = 0 
Bảng xét dấu:
x - -3 2 +
y’ + 0 - 0 + 
y 71
 -54 
Điểm cực đại (-3;71);Điểm cực tiểu (2;-54).
y=x+ 
 TXĐ: x
y’=1-=
Bảng xét dấu 
 x - -1 0 1 +
 y + 0 - - 0 + 
 y -2 
 2
Điểm cực đại (-1;-2); Điểm cực tiểu (1;2).
Tương tự:
c, y= 2x3 – 3x2 – 12x + 5
d, y = -x4 + 4x2 + 5
Vấn đề 5 : Tính giá trị của 1 tham số để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0
-Bước 1:Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x)
-Bước 2: phần thuận:
Hàm số đạt cực trị tại x0 =>f’(x) = 0 (từ đây ta tính được giá trị của tham số, m chẳng hạn)
-Bước 3: phần đảo:
Thay m vừa tính được ở phần thuận vào f’(x) từ đó tìm nghiệm của f’(x) = 0 và lập bảng biến thiên để xem hàm số f(x) có đạt cực trị tại x0 không?
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = -x3 – (2m – 1)x2 +(m – 5)x + 1.Tính m để hàm số đạt cực trị tại x = 1
Giải:
-TXĐ : R
y’ = -3x2 – 2(2m – 1)x +(m – 5)
-Thuận : Hàm số đạt cực trị tại x = 1=>f’(1) = 0 -3x2 – 2(2m – 1)x +(m – 5) = 0 m = -2
-Đảo : m = -2 =>y’ = 3x2 + 10x – 7 ; y’ = 03x2 + 10x – 7 = 0 
x
- 1 +
y’
 - 0 + 0 -
y
Vậy : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
-Kết luận: Với m = -2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = + (m2 – m +2)x2 +(3m2 +1)x + m.Tính m để hàm số cực tiểu(hoặc cực đại) khi x = -2.
ĐS: m = 3
Vấn đề 6:
 Chứng minh một hàm số luôn có cực 
trị.Xác định điều kiện của một tham số để hàm số có hoặc không có cực trị
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) trong khoảng (a;b) và nếu f’(x) = 0 có nghiệm thì chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm thuộc khoảng (a;b)
Muốn chứng minh hàm số y = f(x)(hoặc muốn xác định điều kiện của một tham số để hàm số y = f(x))
Ta phải chứng minh f’(x) (hoặc ta phải xác định điều kiện của tham số để f ’(x) )
Có cực trị trong khoảng (a;b)
f’(x) = 0 có nghiệm đơn x0 ẻ(a;b)
Không có cực trị khoảng (a;b)
f’(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x0 ẻ(a;b) [hoặc f’(x) không đổi "x, xẻ(a;b)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: CMR hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m
y = – mx2 +(m2 – 1)x + (m2 – 1)
Giải:
-TXĐ: R, 
y’ = x2 -2mx + (m2 – 1) ; y’ = 0 x2 -2mx + m2 – 1 = 0
Ta có: D’ = m2 – (m2 – 1) = 1 =>
x
- m - 1 m+1 +
y’
 + 0 - 0 +
y
Vậy : y’ = 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt =>y’ = 0 triệt tiêu và đổi dấu 2 lần khác nhau =>hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu (đpcm)
Bài 2: Xác định m để hàm số có cực trị: 
y = x3 -2x2 + mx – 1
Giải:
TXĐ R.
Ta có y’ = 3x2 -4x + m,để hàm số có cực trị y’ = 0 có nghiệm đơn D’ > 0 4 – 3m > 0 m < 
Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số
1,Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Nếu thì M gọi là giá trị lớn nhất của một hàm số
Nếu thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của một hàm số
2,Cách tìm 
- Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x)
- Tìm nghiệm x0 (nếu có0 của f’(x) và tính y0 = f(x0)
- Lập bảng biến thiên.
- Tính y = f(a), y = f(b) và giá trị cực đại (ymax) , giá trị cực tiểu (ymin), (nếu có) của hàm số (trong (a;b))
- So sánh f(a), f(b), (ymax), (ymin) ta có kết quả.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4x3 – 3x4
Giải:
TXĐ : R
y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2(1 – x); y’ = 0 =>x = 0,x = 1
x
- 0 1 +
y’
 + 0 + 0 -
y
 0 1
Vậy : ymax = 1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3x2 + 6x - 2
Giải:
TXĐ : R.Ta có :y’ = 6x + 6 ; y’ = 0 6(x + 1) = 0 =>x = -1
x
- -1 +
y’
 - 0 +
y
 -5 
Vậy : ymin = -5
Vấn đề 8 : KHảo sát hàm số
I.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0)
Dạng 1:
Bài 1: Khảo sát h/số y = x3 -3x2 +2 
Giải:
1, TXĐ D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = 3x2 - 6x = 0 x = 0, x = 2
Xét dấu y'
x - 0 2 +
y' + 0 - 0 + 
Vậy h/số ĐB/(-;0)(2;+ ); NB/(0;2)
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ =2
-H/số đạt cực tiểu tại x = 2 => yCT = -2
c,Giới hạn
y = x3(1-) = -;y = x3(1-) = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 6x - 6 = 0 x = 1
x - 1 +
y' - 0 + 
Đồ thị lồi ĐU lõm 
 (1;0)
e,Bảng biến thiên
x - 0 1 2 +
y' + 0 - - 0 + 
 2 +
y - U(1;0) -2 
3,Đồ thị 
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 2
-Tại đ' uốn U(1;0) tiếp tuyến xuyên 
qua đồ thị, hệ số góc của tt tại đ' uốn là y'(1) = -3
Dạng 2:
Bài 2: Khảo sát h/số y = x3 + x -2
Giải:
1,TXĐ D = R
2,Sự biến thiên
a,Chiều biến thiên
 y' = 3x2 +1>0, x
Vậy h/s đồng biến trên (-;+)
b,Cực trị: H/s không có cực trị
c, Giới hạn
y = -, y = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 6x = 0 x =0
x - 0 +
y' - 0 + 
Đồ thị lồi ĐU lõm 
 (0;-2)
e,Bảng biến thiên
x - 0 +
y' + 
 -2 + 
y - 
 U(0;-2) 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y =- 2
-Lấy thêm đ' (1;0),(-1;-4)
-Tại đ' uốn U(0;-2) tiếp tuyến 
xuyên qua đồ thị, hệ số góc của
 tt tại đ' uốn là y'(0) = 1
Dạng 3:
Bài 3: Khảo sát h/số y = -2x3 + 3x2 - 1
Giải:
1, TXĐ D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = -6x2 + 6x = 0 x = 1, x = 0
Xét dấu y'
x - 0 1 +
y' - 0 + 0 - 
 CĐ
y 
 CT 
Vậy h/số NB/(-;0)(1;+ )
 ĐB/(0;1)
b,Cực trị
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -1
-H/số đạt cực đại tại x = 1 => yCĐ =0
c,Giới hạn
y = -x3(2+) = +
y =-x3(2+) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = -12x + 6 = 0 x = =>y = -
x - +
y' + 0 - 
Đồ thị lõm ĐU lồi 
 (;-)
e,Bảng biến thiên
x - 0 1 +
y' - 0 + 0 - 
 + 
 U(;-) - 
y
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Tại đ' uốn U(;-) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị,
Dạng 4:
Bài 4 :Khảo sát h/số y = -x3 + x2 - x - 1
Giải:
1, TXĐ: D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = -3x2 +2x -1
y' = 0, pt vô nghiệm 
Xét dấu y', ta có = -2 < 0, a = -3, vậy y' luôn cùng dấu với a tức là y' luôn âm với R.
=> H/s nghịch biến/R
b,Cực trị: H/số không có cực trị
c,Giới hạn
y =(-x3 + x2 - x – 1) = +;y =(-x3 + x2 - x – 1) -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 0 -6x +2 = 0 x = 
x - +
y' + 0 - 
Đồ thị lõm ĐU lồi 
 (;-)
e,Bảng biến thiên
x - +
y' - - 
 +
y 
 U(;) 
 - 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Tại đ' uốn U(;) tiếp tuyến 
xuyên qua đồ thị, hệ số góc của 
tt tại đ' uốn là y'() = -
II.Hàm số y = ax4+bx2 +c (a0)
Dạng 1:
Bài 1: Khảo sát hàm số y = x4 - 4x2 +4
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 4x3 -8xx = 0, x = 
Xét dấu y'
x - - 0 +
y' - 0 + 0 - 0 + 
 CĐ
y CT CT 
Vậy h/số ĐB/(-;0)( ;+ )
 NB/(-;-)(0; )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ=4
-H/số đạt cực tiểu tại x = => yCT= 0
c,Giới hạn
y = ( x4 - 4x2 +4) = +
y = ( x4 - 4x2 +4) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 12x2-8= 0 x = 
x - - +
y'' + 0 - 0 + 
Đồ thị lõm ĐU lồi ĐU lõm
 (-;) (;)
e,Bảng biến thiên
x - - - 0 +
y' - 0 + 0 - 0 +
 + 4 +
y 0 U U 0
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 4
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 2:
Bài 2: Khảo sát hàm số y = 2x4 + x2 - 3
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 8x3 + 2x ; y’ = 0 8x3 + 2x = 02x(4x2 + 1) = 0
Xét dấu y'
x - 0 +
y' - 0 +
Vậy h/số ĐB/ (0;+ ), NB/(-;0)
b,Cực trị
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -3
c,Giới hạn
y = (2x4 + x2 – 3) = +
y =(2x4 + x2 – 3) = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 24x2 + 2 > 0 "xẻ R
Bảng biến thiên
x - 0 +
y' - 0 +
 + +
y 
 -3
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 3
Bài 3 : Khảo sát h/số y = 1+ 2x2 -
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 4x -x3 =0x = 0, x = 2
Xét dấu y'
x - -2 0 2 +
y' + 0 - 0 + 0 - 
Vậy h/số ĐB/(-;-2)(0;2); NB/(-2;0)(2 ;+ )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 2=> yCĐ= 5
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT= 1
c,Giới hạn
y = (1+ 2x2 -) = -
y = (1+ 2x2 -) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 4-3x2= 0 x = 
x - - +
y'' - 0 + 0 - 
Đồ thị lồi ĐU lõm ĐU lồi
 (-;) (;)
e,Bảng biến thiên
x - -2 - 0 2 +
y' + 0 - 0 + 0 -
 5 5 
y U 1 U 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 1
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 4
Bài 4: Khảo sát h/số y = -x4 – x2 - 1 
Giải :
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = - 4x3 -2x = -2x(2x2 + 1) => x = 0 
x - 0 +
y' + 0 - 
Vậy h/số ĐB/(-;0); NB/(0 ;+ )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0=> yCĐ = -1
c,Giới hạn
y = (-x4 – x2 - 1) = -
y = (-x4 – x2 - 1) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'’ = -12x2 -2 = -2(6x2 + 1) < 0
Đồ thị lồi /R
e,Bảng biến thiên
x
- 0 +
y’
 + 0 -
y
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => 
y = -1
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
III.Một số hàm phân thức 
1)Hàm số (cạ0;D =ad-bcạ0)
Bài 1: Khảo sảt hàm số 
1) TXD: x ạ 2
2)Sự biến thiên
a, chiều biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến /
b,Cực trị 
Hàn số không có cực trị 
C,Giới hạn 
 = = 
=> Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng 
 = = -1
=>đường thẳng y= -1 là tiệm cận ngang 
D,Bảng biến thiên 
x - 2 +
y’ + +
y 
3) Đồ thị 
Bảng giá trị x 1 3
 y 0 -2
NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận I(2;-1) làm tâm đối xứng 
Bài 2: Khảo sát hàm số 
1) TXD: D = R\
2)Sự biến thiên
a, chiều biến thiên 
Vậy h/s đồng nghịch 
b,Cực trị 
Hàn số không có cực trị 
C,Giới hạn 
=> Đường thẳng x= là tiệm cận đứng 
=>đường thẳng y = là tiệm cận ngang 
d,Bảng biến thiên 
x - +
y’ + 0 +
y 
3) Đồ thị 
NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận 
 làm tâm đối xứng
Bài2 : Khảo sát h/số
a, y = 
Giải:
1, TXĐ x1
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = <0 với x1
y' = 0, pt vô nghiệm 
Xét dấu y', y' luôn âm với x1.
=> H/s nghịch biến trên ( - ;1)(1;+ )
b,Cực trị: H/số không có cực trị
c,Giới hạn
y = -,y = +
Đt' x = 1 là t/cận đứng
y==1, đt' y = 1 là t/cận ngang
d,Bảng biến thiên
x - 1 +
y' - - 
y 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Giao với trục 0x: y=0=> x=-1
c, y = 
Giải:
1, TXĐ x
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = >0, với x
Xét dấu y'
Vậy h/số ĐB/(-;)( ;+)
 b,Cực trị: Không có cực trị
c,Giới hạn
y = +,y = -
Đt' x = là t/cận đứng
y==-, đt' y = - là t/cận ngang
d,Bảng biến thiên
x - +
y' + + 
 +
y 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y =- 
-Giao với trục 0x: y =0 => x = .
VD1:Khảo sát hàm số 
1)TXD : x 
2) Sự bíên thiên
a,Chiều biến thiên
y’=0 ú x2-2x-3 = 0 x= -1; x=3 
xét dấu y’ x - -1 1 3 +
 y’ + 0 - - 0 + 
Vậy h/s đồng biến /(- ;-1) và (3;+ ) nghịch biến /(-1;1) và (1;3)
b , Cực trị
 Cực đại (-1;-5); cực tiểu (3;3)
c,Giới hạn 
=> Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 
Phân tích : 
Vì 
Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên
d. Bảng biến thiên 
3) đồ thị 
Đi qua (0;-6) ; Nhận I(1;-1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng 
NX: Hàm số có 1 T/c đứng và 1 t/c xiên 
VD2: Khảo sát hàm số 
1)TXD : x 
2) Sự bíên thiên
a,Chiều biến thiên: 
Vậy h/s nghịch biến /(- ;1) và (1;+ ) 
b , Cực trị
 Hàm số không có cực trị
c,Giới hạn 
=> Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 
Vì 
Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên
d. Bảng biến thiên 
3) đồ thị 
Đi qua (0;-1) ; Nhận I(2;1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng 
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 
-Có 1 t/c đứng và một t/c xiên
-Nhận tâm đỗi xứng là giao điểm của 2 tiệm cận
-Vẽ hai t/c trước, xác định hai toạ độ x>2 và x< 2
d, y = 
Giải:
1, TXĐ x0
2, sự biến thiên
y' = =0x=4,x=-4
Xét dấu y'
x - -4 0 4 +
y' + 0 - - 0 + 
 CĐ 
y CT 
Vậy h/số ĐB/(-;-4)(4;+ )
 NB/(-4;0)(0;4)
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = -4 => yCĐ=-8
-H/số đạt cực tiểu tại x = 4 => yCT= 8
c,Giới hạn
y=-, y= +
Đt' x = 0 là t/cận đứng
y = (-x)= =0
nên đt' y = x là t/cận xiên
d, Bảng biến thiên
x - -4 0 4 +
y' + 0 - - 0 +
 -8 
y 8 
3,Đồ thị
-Đồ thị cắt trục toạ độ tại các đ' (-4;-8), (4;8)
g, y = -x + 1 +
y' = -1-<0, 1
H/s bghịch biến trên (-;1)(1;+ )
Tiệm cận đứng x = 1.
Tiệm cận xiên y = -x+1.
Bbt
x - 1 +
y' + +
y
Đồ thị.
Giao với 0x : y=0=> x=0, x=2
Giao với 0y: x=0=> y=0
Vấn đề 9: 
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị -
Biện luận số giao điểm của hai đồ thị dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. 
Xét phương trình P(m,x) = 0, trong đó: x là ẩn,m là tham số.
-Bước 1: P(m,x) = 0 f(x) = 0, trong đó f(x) là hàm số mà ta đã vẽ đồ thị (C)
y = g(m,x) là pt của một đường (d) thay đổi theo m
-Bước 2: Bằng cách dùng đồ thị, biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) để từ đó suy ra số nghiệm của pt đã cho
Bài tập:
Bài 1:
a,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x(x + 3)2 + 4
b,Tuỳ theo m biện luận số nghiệm của pt
x3 + 6x2 + 9x + 4 – m = 0 (1)
Giải:
a,
- -3 -1 +
y’
 + 0 - 0 +
y
 4 +
- 0
b,pt (1) x(x2 + 6x + 9) + 4 = m 
 x(x + 3)2 + 4 = m, đây là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hs 
y = x(x + 3)2 + 4 và đt (d) : y = m
Biện luận :
-Nếu m = 4=>(d) cắt (C) tại (0;4) và (d) cắt (C) tại (-3;4) =>pt(1) có 1nghiệm đơn x = 0 và 1 nghiệm kép x = -3
-Nếu 0 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt=> pt(1) có 3nghiệm đơn
-Nếu m = 0=>(d) cắt (C) tại (-4;0) và (d) cắt (C) tại (-1;0) =>pt(1) có 1nghiệm đơn x = -4 và 1 nghiệm kép x = -1
-Nếu m (d) cắt (C) tại 1 điểm => pt(1) có 1 nghiệm đơn
-Nếu m >4=>(d) cắt (C) tại 1 điểm => pt(1) có 1 nghiệm đơn
Bài 2 :
a,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
b,Tuỳ theo m biện luận số nghiệm của pt
x2 + 3(m-1)x -3(2m-1) = 0 (2)
Giải:
a,
b, -Nếu -3m > 3=>m(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt=> pt(2) có 2nghiệm đơn
-Nếu -1>m>-1=>(d) không cắt (C) =>pt(2) vô nghiệm
-Nếu -3m m > =>(d) cắt (C) 1=>(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt=> pt(2) có 2nghiệm đơn
Bài 3
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
b,Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đt (d) có pt: y = 3x + m
Giải:
a,Học sinh tự giải
b,Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là : = 3x + m (x ạ 1)
4x2 + (m-6)x – (m-3) = 0, (x ạ 1) (3)
Ta có: D = m2 + 4m – 12
Xét dấu D = m2 + 4m – 12
 m
- -6 2 +
D = m2 + 4m – 12
 + 0 - 0 +
Biện luận:
-Nếu D -6 pt(3) vô nghiệm =>(d) không cắt (C)
-Nếu D > 0 m 2=>pt(3) có 2 nghiệm =>(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Vấn đề 10: Bài toán tìm giao điểm hai đường thẳng.
 Viết phương trình tiếp tuyến
I,Tìm giao điểm của hai đường
Muốn tìm toạ độ của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta làm như sau:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
- Giải pt (1) (gọi nghiệm, nếu có, là x0)
Tính y0 = f(x0) = g(x0)
- Kết luận : (pt (1) có bao nhiêu nghiệm thì sẽ có bấy nhiêu giao điểm) 
Bài tập:
Bài 1:Tìm toạ độ giao điểm của đường cong (C) : y = x3 + x2 – x + 2 và đường thẳng (d) : y = 4x – 1
Giải: 
 phương trình hoành độ giao điểm : x3 + x2 – x + 2 = 4x – 1 
 x3 + x2 – 5x + 3 = 0 (1) (nhẩm thấy pt (1) có 1 nghiệm x = 1,
 chia vế trái của pt (1) cho x – 1, ta được : x2 + 2x – 3)
(1)(x – 1)( x2 + 2x - 3) = 0 
=>pt (1) có 1 nghiệm kép x = 1=>y = 3 =>(d) tiếp xúc với (C) tại A(1;3)
=>pt (1) có 1 nghiệm x = -3 =>y = -13 =>(d) cắt (C) tại B(-3;-13)
II, phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
Nếu biết tiếp tuyến tại điểm 
M(x0;y0) ẻ (C) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: 
Nếu biết tiếp tuyến của (C) đi qua A(x1;y1) .Ta làm như sau:
 y – y0 = f’(x0).(x – x0)
-Bước 1: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(x1;y1) với hệ số góc là k:
y – y1 = k.(x – x1) y = k.(x – x1) +y1
-Bước 2: Để (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm.
(giải hệ này xem có bao nhiêu nghiệm)
-Bước 3: Thay k vừa tìm được ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm (ứng với mỗi giá trị của k ta sẽ có 1 phương trình tiếp tuyến).
Bài tập
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;2)
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(0:3)
Giải:
a,Vì M(0;2) ẻ (C) nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;2) có dạng : y – y0 = f’(x0).(x – x0), với x0 = 0; y0 = 2; f’(x) = 3x2 – 6x; f’(x0) = 0
=>PTTT : y – 2 = 0.(x- 0) y = 2
b, -Bước 1: phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0;3) với hệ số góc là k:
y – 3 = k.(x – 0) y = kx + 3
-Bước 2: Để (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm.
Thay k từ pt (2) vào pt (1): x3 – 3x2 + 2 = (3x2 – 6x).x + 3 
x3 – 3x2 + 2 = 3x3 – 6x2 + 3 2x3 – 3x2 + 1 = 0(x – 1)( 2x2 – x – 1) = 0
-Bước 3: 
-Với k = -3 =>pttt là : y = -3x + 3
-Với k = =>pttt là : y = x + 3
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 1có đồ thị (C).
a,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;1)
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua N(;-1)
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 4x2 + 4 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(0;4)
Đê tổng hợp:
Bài 1: 
Cho hàm số y = x3 + k(x + 2) + 1	(1)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = - 3
2, Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x = m
3, Gọi (k) là đồ thị của hàm số (1). Tìm tất cả các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = x + 1
4,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(-1;0)
5, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua B(2;0)
6,Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số (khi k = -3) trên đoạn [-1;3]
7,Với giá trị nào của k thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Giải
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
* Mxđ:	D = R
* Đạo hàm	y = x3 – 3(x+1) + 1
	Û	y = x3 – 3x - 2
	Û	y’= 3x2 – 3
	y’= 0 Û x = ± 1
* Cực trị: 	x = -1 ị y = 0	(CĐ)
	x = 1 ị y = -4	(CT)
* Giới hạn: lim y =