Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số và các ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
ïVẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc: 
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
Bài 3. Chứng minh rằng:
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
Bài 4. Chứng minh rằng:
 nghịch biến trên R.
 đồng biến trên R.
Giải: 
a) Ta có: và 
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi . 
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn . 
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; 
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi . 
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn . 
Vậy hàm đồng biến trên R.
ïVẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu thì f(x) nghịch biến trên K.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức . Ta có:
Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
B2. Lý luận: 
Hàm số đồng biến trên K 
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 1
Với giá trị nào của a, hàm số nghịch biến trên R ?
Giải: 
TXĐ: R
Ta có: , 
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi .
Bài 2
Với giá trị nào của m, hàm số nghịch biến trên R ?
Giải: 
TXĐ: R
Ta có: 
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi 
m = 0, khi đó f’(x) = : không thỏa .
, khi đó 
Vậy, với thì thỏa mãn bài toán.
Bài 3
Với giá trị nào của m, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải: 
TXĐ: 
Đạo hàm: 
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi 
Bài 4
Định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải: 
TXĐ: 
Đạo hàm: . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi 
Bài 5
Tìm m để hàm số đồng biến trên .
Giải: 
Ta có: 
Hàm số đồng trên 
 (vì x2 – 2x + 3 > 0)
Bài toán trở thành: 
Tìm m để hàm số 
Ta có 
BBT: 
x
2 
f’(x)
 0
f(x)
 0
Ta cần có: . Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 6
Tìm m để hàm số nghịch biến trên nửa khoảng .
Giải: 
Ta có: 
Hàm số nghịch biến trên 
Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số 	
Ta có: 
x
 1 
f’(x)
f(x)
 0 
Ta cần có: . Vậy là các giá trị cần tìm của m.
Bài tập tự giải:
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số luôn đồng biến trên R ?
ĐS: 
Bài 4. Cho hàm số . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 
ĐS: 
Bài 5. Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng . 
ĐS: .
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2). 
ĐS: .
Bài 8. Cho hàm số .
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
ïVẤN ĐỀ 3:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:
f(x) đồng biến trên đoạn thì 
f(x) nghịch biến trên đoạn thì 
Bài 1
Cho hàm số . 
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
Chứng minh rằng: .
Giải: 
Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng và có . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng (đpcm). 
Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, (đpcm).
Bài 2
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
Chứng minh rằng .
Giải: 
Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng và có . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng .
Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,.
Xét hàm số trên nửa khoảng . Hàm số này liên tục trên nửa khoảng và có đạo hàm , do .
Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng nên g(x) > g(0) = 0 (đpcm).
Bài 3
Chứng minh rằng : , với mọi x > 1.
Giải: 
Bất đẳng thức đã cho tương đương với 
Xét hàm số . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng nên cũng đồng biến trên khoảng . Vậy ta luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh.
Bài tập tự giải:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 và 
 và 
 với 
Bài 2. Cho hàm số .
Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn .
Từ đó suy ra rằng: .
Bài 3. Chứng minh rằng: với 
ïVẤN ĐỀ 4:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ 
CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT
Bài 1
Cho hàm số .
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
Chứng minh rằng phương trình có một nghiệm duy nhất.
Giải: 
TXĐ: .
Đạo hàm: 
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên sao cho f(c) = 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 2
Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx.
CMR hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn .
Chứng minh rằng với mọi , phương trình sin2x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn .
Giải: 
Hàm số đã cho liên tục trên và có đạo hàm 
 f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), 
vì khi đó sinx > 0 nên 
BBT: 
x
0 
y’
 + 0 
y
1 1 
Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn . 
 Hàm số liên tục trên đoạn và . Theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục thì , tồn tại số sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình sin2x + cosx = m. Vì hàm f nghịch biến trên nên phương trình có nghiệm duy nhất.
Lại vì ta có nên phương trình đã nêu không có nghiệm với . Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc .
Bài 3
Giải phương trình: (3)
Giải: 
Đặt với 
Ta có f(x) là hàm liên tục trên nửa khoảng và có đạo hàm 
 . 
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 là một nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này.
Bài 4
Giải phương trình: (4)
Giải: 
Điều kiện xác định của phương trình : 
Xét hai hàm số và xác định và liên tục trên , ta có:
 và với mọi 
Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên . Mặt khác 
f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghiệm của (4) và đó là nghiệm duy nhất.
Bài 5
Giải phương trình: (5)
Giải: 
Điều kiện xác định của phương trình: x > 3. Khi đó:
Xét hai hàm số và là hai hàm xác định và liên tục trên khoảng , ta có:
f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến.
vì nên g(x) là hàm nghịch biến.
Mặt khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm của (5) và cũng là nghiệm duy nhất.
Bài 5
Giải phương trình: (6)
Giải: 
Đặt t = 5x-2 (t > 0). Khi đó: 
Ta có:
Xét phương trình , ta dễ chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của nó.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .
Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006)
Cho hệ phương trình 
Chứng minh hệ trên có nghiệm duy nhất.
Giải: 
Xét hệ: với điều kiện xác định 
Từ (1) y = x + a, thế vào (1) ta được: (3)
Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng .
Đặt trên khoảng 
Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng và có đạo hàm 
Do a > 0 nên với mọi x > -1, ta có: 
Như vậy f’(x) > 0 với mọi x > -1 f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng 
Mặt khác, ta có: 
Từ đó ta tính giới hạn: và 
Vậy, phương trình (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng . Từ đó suy ra đpcm.
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
	ĐS: x = 1
	ĐS: x = 7
ïVẤN ĐỀ 4:
ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN 
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Chú ý. Cho f(x) là hàm số liên tục trên T, thì:
 với mọi 
 với mọi 
 có nghiệm 
 có nghiệm 
Bài 1
Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm 
x. 
Giải: 
Xét bất phương trình : 
	Đặt 
Ta xác định điều kiện của t :
	Xét hàm số với x
	Ta có: 
x
0 1 
t’
 0 +
t
 2
 1 
	Vậy với x thì .
Khi đó :
	(1) Û với 
Xét hàm số với . Ta có: 
	f’(t) . Vậy hàm số f tăng trên [1; 2].
Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm tÎ[1,2] .
Đó là giá trị cần tìm của tham số.
Bài 2
Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm.
Giải: 
Ta có: 
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với tại một điểm duy nhất.
Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 trên nửa khoảng 
	Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)
	Cho f'(x) = 0 Û 4x2 – 4x – 3 = 0 Û 
x
–¥ 1
f’(x)
 + 0 
f(x)
Từ bảng biến thiên ta thấy: 
	Yêu cầu bài toán xảy ra khi 
Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 3
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải: 
Ta có: 
(I) 
Với điều kiện: ta có: 
	(I) (Do x = 0 không là nghiệm của hệ)
 (*)
Xét hàm số trên tập 
Ta có hàm số f(x) liên tục trên D và có đạo hàm 
Giới hạn : và f(1) = 2
BBT : 
x
–¥ 0 1
f’(x)
 + +
f(x)
 2
–¥ –¥
Từ BBT ta thấy :
	Yêu cầu bài toán xảy ra khi m > 2. Đó là các giá trị cần tìm của tham số.
Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .
Giải: 
Đặt . Với x thì .
Khi đó phương trình đã cho tương đương với : 
Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm 
Xét hàm số f(t) = t2 + t – 2 với . Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, với mọi 
Vậy yêu cầu bài toán xảy ra khi : 	
Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải: 
Điều kiện xác định của phương trình : 
Đặt . Với , ta xác định điều kiện của t như sau :
Xét hàm số với 
Ta có :
	, cho 
x
 0 1
t’
 0 +
t
 0 
	Vậy với thì 
Từ . Khi đó, phương trình đã cho tương đương với :
Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm 
Xét hàm số với . Ta có : 
Suy ra : 
Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi . Đây là các giá trị cần tìm của tham số.
Bài 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)
Tìm m để phương trình có nghiệm thực phân biệt.
Giải: 
Ta có: (*)
NX : x = 0 không phải là nghiệm của (2). Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :
Bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt 
Xét hàm số với . Ta có : 
BBT :
x
–¥ 0 1
f’(x)
 + +
f(x)
 –¥
Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu bài toán xảy ra khi . 
Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt.
Bài 7 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007)
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải: 
Điều kiện xác định của phương trình : 
Khi đó :
Đặt (). Vì nên t < 1. Vậy với thì .
Khi đó, (2) (3)
Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm 
Xét hàm số f(t) = trên nửa khoảng . Ta có : 
f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = 0
t
0 1 1
f’(t)
 + 0 
f(t)
0 
Từ BBT, ta thấy yêu cầu bài toán xảy ra khi . 
Bài 8 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007)
Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình luôn có hai nghiệm thực.
Giải: 
Bài 9 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007)
Giải: 
Bài 10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008)
Giải: 
Bài tập tự giải
Bài 1. Tìm m để bất phương trình đúng với mọi .
	ĐS : 
Bài 2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
	ĐS : 
Bài 3. Tìm m để phương trình có nghiệm.
	ĐS : 
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
	ĐS: