Chuyên đề 1: Thể tích khối chóp

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
● Các bài toán thuộc chủ ñề này có trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng ở câu số 4. 
Hai nội dung chính ñược hỏi ñến là: 
 - Tính thể tích của một khối ña diện cho trước 
 - Sử dụng phương pháp thể tích ñể tìm khoảng cách giữa một ñiểm ñến một mặt phẳng 
hoặc khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau. 
● Các nội dung sau ñây tuy chưa ñược ñề cập ñến trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao 
ñẳng nhưng rất cơ bản và ñều nằm trong hạn chế kiến thức về môn Toán áp dụng cho các ñề 
thi tuyển sinh do Bộ giáo dục và ðào tạo quy ñịnh. 
 - Các bài toán về thể tích khối ña diện có kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. 
 - Các bài toán về so sánh thể tích. 
● Công thức Khối chóp: 1 .3V S h= Với S: diện tích ñáy, h: chiều cao. 
Ghi chú: Thông thường tính V khó ở chỗ xác dịnh ñường cao. 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với AC a = biết SA 
vuông góc với ñáy ABC và SB hợp với ñáy một góc o60 . Tính thể tích hình chóp. 
Hướng dẫn: 
- Ta có ( )SA ABC AB⊥ ⇒ là hình chiếu của SB trên 
(ABC). Vậy góc ( ) 
SB, ABC SAB 60o  = =  
- ∆ABC vuông cân nên = = aBA BC
2
- ABC
21 aS BA.BC
2 4∆
= = 
- 
a 6SAB SA AB.tan60
2
o∆ ⇒ = = 
- Vậy 
2 3
ABC
1 1 a a 6 a 6V .S .SA . .
3 3 4 2 24∆
= = = 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SB SC BC CA a= = = = . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng 
vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp. 
Hướng dẫn: 
- Ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )
ABC SBC
 AC SBC
ASC SBC
 ⊥ ⊥ ⊥
⇒ 
- Do ñó SBC
2 31 1 a 3 a 3V .S .AC . .a
3 3 4 12∆
= = = . 
CHUYEÂN ÑEÀ 1. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP 
a
o60
S
C
B
A
DAÏNG 1. KHOÁI CHOÙP 
 COÙ CAÏNH BEÂN VUOÂNG GOÙC VÔÙI ÑAÙY 
_
\
/
/
a
B
S
C
A
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác ñều cạnh a, biết SA vuông góc với 
ñáy (ABC) và (SBC) hợp với ñáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp. 
 Hướng dẫn: 
- Gọi M là trung ñiểm của BC. Suy ra SM BC⊥ . 
Vì tam giác ABC ñều nên AM BC⊥ . 
 Vậy góc ( ) ( ) 
SBC ; ABC SMA 60o  = =  . 
- 
o a 3 3aSAM SA AM tan 60 . 3
2 2
∆ ⇒ = = = 
- Vậy 
2 3
ABC
1 1 a 3 3a a 3V .S .SA . .
3 3 4 2 8∆
= = = . 
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình 
vuông có cạnh a, SA vuông góc ñáy (ABCD) và mặt bên (SCD)hợp với ñáy một 
góc o60 .Tính thể tích hình chóp SABCD. 
Hướng dẫn: 
- Vì ( ) ( )SCD ABCD CD, SD CD, AD CD∩ = ⊥ ⊥ Suy ra góc 
( ) ( ) 
  = =  0SCD , ABCD SDA 60 . 
- ∆SAD vuông nên = =oSA AD.tan60 a 3 
- Vậy 
3
2
ABCD
1 1 a 3V .S .SA .a .a 3
3 3 3
= = =
□
. 
Ví dụ 5*: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C, AC a, AB 2a= = , SA vuông 
góc với ñáy. Góc giữa (SAB) và (SBC) bằng o60 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của 
A lên SB, SC. 
 1) Chứng minh AK HK⊥ . 
 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Hướng dẫn: 
1) Ta có AK SC, AK BC⊥ ⊥ . 
 Suy ra ( )AK SBC AK HK.⊥ ⇒ ⊥ 
2) ABC∆ vuông nên 2 2BC AB AC a 3= − = 
- ( ) ( )SAB SBC SB∩ = 
 + AH SB⊥ 
 + 
SB AH
SB HK
SB AK
⊥
⇒ ⊥ ⊥
 Suy ra ( ) ( )
 
 
 0SAB , SBC AH,KH AHK 60= = = 
- 
0 3.AHAHK AK AH.sin60
2
∆ ⇒ = = (1) 
- SAB∆ có 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AH SA AB SA 4a
= + = + (2) 
a
o60
M
C
B
A
S
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 SAC∆ có 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AK SA AC SA a
= + = + (3) 
- Từ (1), (2) và (3) ta tính ñược a 2SA
2
= 
- Do ñó: 
3
ABC
1 1 1 1 1 a 2 a 6V .S .SA . AC.CB.SA . a.a 3.
3 3 2 3 2 2 12∆
= = = = . 
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc ñáy. Góc 
giữa SC và ñáy bằng 060 và M là trung ñiểm của SB. 
 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 
 2) Tính thể tích của khối chóp M.BCD. 
Hướng dẫn: 
1) ( )2 2ABCDS 2a 4a= =□ 
- ( )0SAC SA AC.tan60 2a. 2 . 3 2a 6∆ ⇒ = = = 
- Do ñó: 
3
2
ABCD
1 1 8a 6V .S .SA .4a .2a 6
3 3 3
= = =
□
2) Kẻ ( )MH / /SA MH DBC⇒ ⊥ 
- Ta có: BCD ABCD
1 1MH SA ; S .S
2 2∆
= =
□
- Do ñớ: 
3
M.BCD S.ABCD
1 2a 6V .V
4 3
= = . 
BAØI TAÄP 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ñáy (ABC) và SA h= , biết rằng tam 
giác ABC ñều và mặt (SBC) hợp với ñáy (ABC) một góc o30 . Tính thể tích khối 
chóp S.ABC . ðS: 
3
2 h 3S h 3, V
3
= = 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có ( )AD ABC⊥ biết AC AD 4 cm, AB 3cm, BC 5cm.= = = = 
Tính thể tích ABCD. ðS: 2 3S 6cm , h 4cm, V 8cm= = = 
Bài 3. Cho khối chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác cân tại A với BC 2a= , góc 

BAC 120o= , biết ( )SA ABC⊥ và mặt (SBC) hợp với ñáy một góc 045 . Tính thể 
tích khối chóp SABC. ðS: 
2 3a a aS , h , V
93 3
= = = 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại ñỉnh B, AC a 2= và 
SB a 3= . ðường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích 
khối chóp S.ABC. ðS: 
2 3a a 3S , h a 3, V
2 6
= = = 
Bài 5. Hình chóp S.ABC có #ABC vuông tại B, ( ) 
 0SA ABC , ACB 60 , BC a,⊥ = = 
SA a 3,= M là trung ñiểm SB. Tính thể tích M.ABC . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 ðS: 
3
M.ABC
aV
4
= 
Bài 6. Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông biết ( )SA ABCD , SC a⊥ = , 
và SC hợp với ñáy một góc 060 . Tính thể tích khối chóp. 
 ðS: 
2 3a a 3 a 3S , h , V
8 2 48
= = = 
Bài 7. Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình chữ nhật biết rằng ( )SA ABCD⊥ , 
SC hợp với ñáy một góc 045 và AB 3a, BC 4a= = . Tính thể tích khối chóp. 
 ðS: 2 3S 12a , h 5a, V 20a= = = 
Bài 8*. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC). 
ðáy (ABC) là tam giác cân tại ñỉnh A, ñộ dài ñường trung tuyến AM a= . Mặt bên 
(SBC) tạo với ñáy góc 045 và góc 
 0SBA 30= . Tính thể tích của khối chóp S.ABC 
 ðS: 
3
2 a 2S a 2, h a, V
3
= = = 
Bài 9*. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với BA BC a= = , 
biết SA vuông góc với ñáy (ABC) và SC hợp với (SAB) một góc o30 . Tính thể tích 
hình chóp S.ABC. ðS: 
2 3a a 2S , SA a 2, V
2 6
= = = 
Bài 10*. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) vuông tại A và SB vuông góc với ñáy (ABC), 
biết SB a= , SC hợp với (SAB) một góc o30 và (SAC) hợp với (ABC) một góc o60 . 
Tính thể tích hình chóp S.ABC. ðS: 
2 3a a 3S , V
273 3
= = 
Bài 11*. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vuông 
góc với mặt phẳng ñáy. Biết góc 
 0BAC 120= , tính thể tích của khối chóp S.ABC 
theo a. (TNPT 2009). ðS: 
2 3a 3 a 2 a 2S , h , V
12 363
= = = 
Bài 12*. Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 060 
và ( )SA ABCD⊥ , biết rằng khoảng cách từ A ñến cạnh SC bằng a. Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD. ðS: 
2 3a 3 a 3 a 2S , h , V
2 42
= = = 
Bài 13* Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên (SAB) và (SAD) 
cùng vuông góc với ñáy, góc của cạnh SC với mặt bên (SAB) là α. Cho SA = a. Tính 
thể tích của khối chóp S.ABCD. ðS: 
2 3 2a.sin a .sinS , h a, V
3.cos2cos2
α α
αα
 
= = = 
 
Bài 14*. Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thang vuông tại A và B biết 
( )AB BC a , AD 2a, SA ABCD= = = ⊥ , và (SCD) hợp với ñáy một góc 060 . Tính 
thể thích khối chóp S.ABCD. ðS: 
2 33a a 6S , h a 6, V
2 2
= = = 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là 
tam giác ñều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy (ABCD), 
 1) Chứng minh rằng chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AB. 
 2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Hướng dẫn: 
1) Gọi H là trung ñiểm của AB. 
- ∆SAB ñều ⇒ ⊥ SH AB 
 mà ( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥SAB ABCD SH ABCD 
- Vậy H là chân ñường cao của khối chóp. 
2) Ta có ∆SAB ñều nên a 3SH
2
= 
- Vậy 
3
2
ABCD
1 1 a 3 a 3V .S .SH .a .
3 3 2 6
= = =
□
. 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều, BCD là tam giác vuông cân tại D, 
( ) ( )ABC BCD⊥ . Cạnh =AD a và hợp với (BCD) một góc 060 . Tính thể tích tứ 
diện ABCD 
Hướng dẫn: 
- Gọi H là trung ñiểm của BC. Ta có tam giác ABC 
ñều nên ( )AH BCD⊥ , mà ( ) ( )ABC BCD⊥ suy ra 
( )AH BCD⊥ 
- Ta có: o 3AH HD AH AD.sin 60 a.
2
⊥ ⇒ = = 
 và o 1HD AD.cos60 a.
2
= = 
- ∆ ⇒ = = =aBCD BC 2HD 2. a
2
- Vậy 
3
BCD
1 1 1 a a 3 a . 3V .S .AH . .a. .
3 3 2 2 2 24∆
= = = . 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B, có BC a= . Mặt 
bên (SAC) vuông góc với ñáy, các mặt bên 
còn lại ñều tạo với mặt ñáy một góc 060 . 
 1) Chứng minh rằng chân ñường cao khối 
chóp trùng với trung ñiểm cạnh AC. 
 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Hướng dẫn: 
1) Kẻ SH BC⊥ vì ( ) ( )SAC ABC⊥ nên ( )SH ABC .⊥ 
- Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC suy ra 
SI AB, SJ BC⊥ ⊥ , theo giả thiết 
 
SIH SJH 45o= = 
a
H
D
C
B
A
S
o60
a
H D
C
B
A
45
I
J
H
A
C
B
S
DAÏNG 2. KHOÁI CHOÙP 
 COÙ MOÄT MAËT BEÂN VUOÂNG GOÙC VÔÙI ÑAÙY 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Ta có SHI SHJ HI HJ∆ = ∆ ⇒ = nên BH là ñường phân giác của ABC∆ từ ñó suy ra H là 
trung ñiểm của AC. 
2) aHI HJ SH
2
= = = 
- Vậy 
3
2
ABC
1 1 1 a aV S .SH . a .
3 3 2 2 12∆
= = = . 
BAØI TAÄP 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC ñều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với (ABC). Cạnh bên SA hợp với ñáy góc 045 . 
 1) Chứng minh chân ñường cao của chóp là trung ñiểm của BC. 
 2) Tính thể tích khối chóp SABC. ðS: 
2 3a 3 a a 3S , h , V
4 2 24
= = = 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC vuông cân tại A với AB AC a= = biết tam giác 
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp 
với (ABC) một góc 045 . Tính thể tích của khối chóp SABC. 
 ðS: 
2 3a a aS , h , V
2 2 12
= = = 
Bài 3. Hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3= = , mặt 
bên (SBC) là tam giác cân tại S với SB SC 2a= = và vuông góc với mặt phẳng ñáy. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. ðS: 
2 3a 3 aS , h a 3, V
2 2
= = = 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB 2a, BC 4a= = , 
( ) ( )SAB ABCD⊥ , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với ñáy (ABCD) một góc 
030 . Tính thể tích hình chóp SABCD. ðS: 
3
2 a 3 8a 3S 8a , h , V
3 9
= = = 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi với AC 2BD 2a= = và tam giác 
SAD vuông cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích 
hình chóp SABCD. ðS: 
3
2 a 5 a 5S a , h , V
4 12
= = = 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD CD a= = 
AB 2a= , biết tam giác SAB ñều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính 
thể tích khối chóp SABCD . ðS: 
2 33a a 3S , h a 3, V
2 2
= = = 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông cạnh a. Biết SA SB 2a= = và 
hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD. ðS: 
3
2 a 15 a 15S a , h , V
2 6
= = = 
Bài 8*. Cho hình chóp S.ABC có 
 
BAC 90 ; ABC 30o o= = ; SBC là tam giác ñều cạnh a và 
( ) ( )SAB ABC .⊥ Tính thể tích khối chóp SABC. 
 HD: S.ABC C.SAB ∆SAB
1V V .S .CA
3
= = ðS: 
2 2
∆SAB
a 2 a a 2S , CA , V
4 2 24
= = = 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 9*. Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác ñều lần lượt nằm trong hai mặt 
phẳng vuông góc với nhau biết AD a= . Tính thể tích tứ diện. 
 ðS: 
 ...  thẳng qua O và vuông góc với (ABCD) suy ra ( )SO ABCD⊥ . Từ ñó ta tính 
ñược ABCD S.ABCD
3 3 6SO 2, S V
4 4
= = ⇒ = . 
Bài 3. Cho hình chóp SABC có 
 
 
o o oSA SB SC a; ASB 60 , BSC 60 , CSA 90= = = = = = . 
Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 
HD: Dùng ñịnh lý hàm số cosin ñể tính các cạnh của tam giác ABC, sau ñó kiểm tra ta 
thấy tam giác ABC vuông tại C. Hoặc dùng vectơ: ( )( )CA.CB CS SA CS SB 0= + + =      
suy ra tâm của tam giác ABC là trung ñiểm AB. Vì SA SB SC= = nên S nằm trên 
ñường thẳng ñi qua O và vuông góc với (ABC) suy ra ( )SO ABC⊥ . Từ ñó ta tính 
ñược 
2 3
∆ABC S.ABC
a a 2 a 2SO , S V
2 2 12
= = ⇒ = . 
Bài 4. Trong mặt phẳng ( )P cho nửa ñường tròn ñường kính AB 2R= và ñiểm C thuộc nửa 
ñường tròn ñó sao cho AC R= . Trên ñường thẳng vuông góc với ( )P tại A lấy ñiểm 
S sao cho ( ) ( )
SAB , SBC 60o  =
 
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. 
Chứng minh ∆AHK vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC. 
HD: Xem ví dụ 5 của Dạng 1. ðS: 
3R 6V
12
= . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 5. Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân, cạnh ñáy BC a= , góc 
 0BAC 120= . 
Các cạnh bên nghiêng với ñáy một góc 060 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. 
HD: Xét tam giác cân ABC tại A, ta tính ñược aAC AB
3
= = , ñường cao aAH
2 3
= , 
suy ra 
2
∆ABC
aS
4 3
= . Mặt khác ∆ABC
abc abc aS R
4R 4S 3
= ⇒ = = (R là bán kính ñường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC) . Vì các cạnh bên nghiêng với ñáy một góc như nhau 
nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O của tam giác ABC và vuông góc với mặt 
phẳng (ABC), tức là ( )SO ABC⊥ . Từ ñó ta tính ñược 0SO R.tan 60 a= = . Suy ra thể 
tích hình chóp 
3
S.ABC
aV .
12 3
= 
Bài 6. Hình chóp S.ABC có 
 
 0aAB AC a, BC , SA a 3, SAB SAC 30
2
= = = = = = . Tính thể 
tích hình chóp S.ABC. 
HD: ( )SAB SAB c g c∆ = ∆ − − . Dùng ñịnh lý hàm số cosin ta tính ñược SB SC a= = . Suy 
ra ( )SBC ABC c c c∆ = ∆ − − . Gọi I là trung ñiểm BC, suy ra SI và AI cùng vuông góc 
với AC. Trong tam giác SAI kẻ SH vuông góc với AI, ta chứng minh ñược SH chính 
là ñường cao của hình chóp. ( )( )( )
2
∆ABC
a 15 3aS p p a p b p c , SH
16 15
= − − − = = . 
Do ñó 
3
S.ABC
aV
16
= . 
Bài 7. Hình chóp S.ABC có SA x, BC y= = , các cạnh còn lại ñều bằng 1. Tính thể tích 
hình chóp S.ABC. 
HD: Cách giải giống như bài 6. 
Bài 8. Hình tứ diện ABCD có BC CD DB, AB AC AD= = = = . Gọi H là chân ñường cao 
của tứ diện xuất phắt từ A, K là chân ñường vuông góc hạ từ H xuống AD. Cho 
AH a, KH b= = . Tính thể tích tứ diện ABCD thao a và b. 
HD: Vì BC CD DB, AB AC AD= = = = nên ta chọn mặt ñáy là BCD, ñỉnh là A. Suy ra 
ñáy là tam giác ñều và tứ diện chính là hình chóp tam giác ñều A.BCD. Do ñó 
( )AH BCD⊥ , với H là tâm của tam giác BCD. Dùng hệ thức lượng trong tam giác 
AHB tính ñược 
2 2
abBH
a b
=
−
 suy ra cạnh của tam giác ñều BCD là 
2 2
ab 3
a b−
. Từ 
ñó ta tính ñược ( )
2 2 3 2
∆BCD ABCD2 2 2 2
a b 3 3 3.a bS , AH a V
a b 4 a b
= = ⇒ =
−
−
. 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân AB AC a= = . Mặt phẳng (SBC) 
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA SB a, SC b= = = . Tính thể tích khối chóp 
S.ABC theo a và b. 
HD: Ta thấy AB AC SA a= = = nên ta chọn mặt ñáy là (SBC) và ñỉnh là A. Suy ra A nằm 
trên ñường thẳng ñi qua tâm O của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
Theo ñề bài ( ) ( )SBC ABC⊥ nên tâm O của tam giác SBC thuộc BC, suy ra SBC∆ 
vuông tại S và tâm O của tam giác là trung ñiểm BC. Từ ñó ta tính ñược 
2 2 2 2
∆SBC S.ABC A.SBC
1 3a b ab. 3a bS ab, AO V V
2 2 12
− −
= = ⇒ = = . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh A, AB a 2= . Gọi I 
là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn 
IA 2IH= −
 
, góc giữa SC và mặt ñáy (ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp 
S.ABC . 
HD: Tam giác ABC vuông nên 2∆ABCS a= và BC 2a IC a IA a= ⇒ = ⇒ = . Từ hệ thức 
IA 2IH= −
 
 suy ra aIH
2
= . Tam giác vuông HIC tính ñược a 5HC
2
= , tam giác 
vuông SHC tính ñược 0 a 15SH HC.tan 60
2
= = . Do ñó 
3
S.ABC
a 15V
6
= . 
Bài 11*. Cho hình chóp vuông S.ABC có SA a, SB b ,SC c= = = các cạnh ñó ñôi một vuông 
góc với nhau. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối 
chóp O.SBC. 
HD: Nếu ñề bài yêu cầu tính thể tích hình chóp S.ABC thì rất ñơn giản, S.ABC
abcV
6
= . 
Nhưng ở ñây yêu cầu bài toán là tính thể tích hình chóp O.SBC , với O là hình chiếu, 
là chân ñường cao hạ từ ñỉnh S của hình chóp. 
 Cách 1. Các mặt bên là những tam giác vuông nên ta tính ñược các cạnh của tam giác 
ABC, dùng công thức hêrông tính ñược diện tích tam giác ABC, từ ñó suy ra SO 
S.ABC
∆ABC
3V
S
= . Trong hai tam giác vuông SOC và SOB ta tính ñược OB và OC, lại dùng 
hêrông ñể tính diện tích tam giác OBC, từ ñó tính ñược thể tích hình chóp O.SBC. 
 Cách 2. ðây là một bài tập trong sách giáo khoa lớp 11, ta ñi chứng minh hình chiếu 
của S xuống mặt ñáy chính là trực tâm của tam giác ABC. 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi. Hai ñường chéo 2 3=AC a , BD 
= 2a và cắt nhau tại O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a
. Tính 
thể tích khối chóp S.ABCD. 
HD: Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai ñường chéo 2ABCDS 2 3a= . Gọi M là trung 
ñiểm AB, trong tam giác SOM kẻ OH SM⊥ , ta dể dàng chứng minh ñược OH chính 
là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB). Trong tam giác vuông OAB ta tính ñược 
a 3OM
2
= . Trong tam giác vuông SOH ta tính ñược aSO
2
= . Vậy 
3
S.ABCD
a 3V
3
= . 
Bài 13*. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi. ( )SA a ; 0 a 3= < < các cạnh còn 
lại ñều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a. 
HD: ( )SBD CBD c c c∆ = ∆ − − suy ra SO CO= . Trong tam giác SAC có 1SO AC
2
= nên 
tam giác SAC vuông tại S, từ ñó tính ñược 2AC 1 a= + . Dùng công thức hêrông 
tính diện tích tam giác ACD rồi sau ñó nhân 2 ta ñược diện tích hình thoi 
2 2
ABCD
1S 1 a . 3 a
4
= + − . Gọi H là hình chiếu của S xuống mặt phẳng ABCD, vì 
SB SD= nên HB HD= , suy ra H CA∈ . Trong tam giác vuông SAC có SH là 
ñường cao, áp dụng hệ thức lượng ta tính ñược 
2
aSH
1 a
=
+
. Vậy 
2a 3 aV
6
−
= . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác ñều 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của 
các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích của khối tứ diện CMNP. 
(Chính thức.khối A năm 2007) 
HD: Gọi H là trung ñiểm AD, dể dàng chứng minh ñược ( )SH ABCD⊥ , suy ra 
SH BP⊥ . Trong tam giác SHB, từ M kẻ MK / /SH , khi ñó ( )MK ABCD⊥ và 
SH a 3MK
2 4
= = . 
2 3
∆CNP C.MNP M.CNP
a a 3S V V
8 96
= ⇒ = = . 
 Cách 2. Dùng tỉ số thể tích: Ta có S.AMC S.ABC S.ABCD S.AMCD
1 1 1V V . V V
2 2 2
= = ⇒ 
S.ABCD M.ABC S.ABCD
3 1V V V
4 4
= ⇒ = . Suy ra ( )( ) M.ABC
∆ABC
3.Vd M, ABC
S
= . Cách này khá 
dài dòng, nhưng giúp cho việc rèn luyện về tỉ số thể tích. 
Bài 15. Cho khối chóp S.ABC có ( )SA ABC⊥ , ñáy là tam giác cân tại A, ñộ dài trung tuyến 
AD bằng a, cạnh bên SB tạo với ñáy một góc α và tạo với mặt phẳng (SAD) một 
góc β . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
HD: Trước hết xác ñịnh góc giữa SB và ñáy là góc 
SBA , góc giữa SB và mặt phẳng 
(SAD) là góc 
BSD . Gọi AB x= , suy ra 2 2BD x a= − . Tam giác vuông SBD có 
2 2 2 2
x a x aSB , SD
sin tanβ β
− −
= = . Tam giác vuông SBA có 
2 2
x a .sinSA
sin
α
β
−
= . Tam 
giác vuông SAD có 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2x a x a .sinSD SA AD a
tan sin
α
β β
   
− −
= + ⇔ = +   
   
   
. Suy 
ra: 2 2
2 2
a.sin
x a
cos sin
β
β α− = − . Do ñó 2 2
a.sinSA
cos sin
α
β α= − , 2 2
2a.sinBC
cos sin
β
β α= − 
. Vậy ( )
3
S.ABC ∆ABC 2 2
1 1 1 a .sin .sinV .S .SA . .AD.BC .SA .
3 3 2 3 cos sin
α β
β α
 
= = = 
− 
Bài 16*. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại A, góc 
ABC α= . SBC là 
tam giác ñều cạnh a và ( ) ( )SAB ABC .⊥ 
 1) Tìm ñiều kiện α ñể tồn tại hình chóp S.ABC thỏa mãn các ñiều kiện nói trên. 
 2) Khi 045α = . Tính thể tích khối chóp SABC. 
HD: 1) Kẻ SH AB⊥ , vì tam giác SBC ñều nên SB SC= , do ñó HB HC= . Mặt khác 
H AB∈ . Suy ra H là giao ñiểm của AB và ñường trung trực của ñoạn BC. Vì 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
BH BS BH a< ⇔ < . Gọi O là trung ñiểm BC, xét tam giác vuông BOH ta có: 
a a
BO 12 2cos
BH BH a 2
α = = > = . Suy ra 060α < . 
 2) Khi 045α = thì ABC∆ vuông cân tại A. Ta dễ dàng tính ñược 
3
S.ABC
a 2V .
24
= 
Bài 17**. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC, α là góc 
giữa hai ñường thẳng ñó. Chứng minh rằng: A.BCD
1V .AD.BC.d.sin
6
α= . 
HD: Trong mặt phẳng (ABD) dựng hình bình hành ABED. Suy ra DE / /AB 
( ) DE / / ABC⇒ . Do ñó: A.BCD D.ABC E.ABC A.EBCV V V V= = = . Gọi MN là ñường vuông 
góc chung của AD và BC, với M AD, N BC∈ ∈ . Suy ra A.EBC M.EBCV V= . Vì 
( )MN AD MN BE MN EBC
MN BC MN BC
⊥ ⊥ 
⇒ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ 
. 
 Vậy M.EBC ∆EBC
1V .S .MN
3
= 

( )1 1. .EB.BC.sin EB, BC .MN3 2 =    

( ) ( )1 .AD.BC.sin AD, BC .d AD, BC .6= 
Bài 18*. Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh ñối bằng nhau: AB CD a,= = 
AC BD b, AD BC c.= = = = ( tứ diện gần ñều) 
HD1: Áp dụng công thức 
( ) ( )A.DCB 1V .AB.CD.sin AB,CD .d AB,CD .6= 
 - ( )∆ABC ∆BAD c c c= − − . Gọi M là trung ñiểm AB suy ra MC MD= (2 trung 
tuyến tương ứng). Gọi N là trung ñiểm CD, suy ra MN CD⊥ . Tương tự MN AB⊥ . 
Vậy ( )MN d AB,CD .= 
 - Xét tam giác ACD có AN là trung tuyến 
2 2 2
2 2b 2c a
 AN
4
+ −
⇒ = . Xét tam giác 
vuông AMN ta có 
2 2 2
2 2 2 b c a
 MN AN AM MN
2
+ −
⇒ = − ⇒ = . 
 - Gọi P là trung ñiểm của BC, H là trung ñiểm của AC , K là trung ñiểm của BD. 
Tương tự ta tính ñược 
2 2 2a c bHK
2
+ −
= . Ta có 
 
( )HPK AB,CD= . Áp dụng ñịnh 
lý hàm số cosin trong tam giác HPK ta có 
( ) 2 22b ccos HPK a−= . Từ ñó suy ra 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 

( ) 2 2 2 2 2 22a b c . a c bsin HPK a+ − + −=

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2A.DCB 1 2V .AB.CD.sin AB,CD .d AB,CD . a b c . b c a . c a b6 12= = + − + − + −
HD2: - Dựng tam giác PQR sao cho B, C, D lần 
lượt là trung ñiểm PQ, QR, RP. 
 - DCR BCQ PDB PQR
1S S S S
4∆ ∆ ∆ ∆
= = = 
 ∆BCD PQR
1
 S S
4 ∆
⇒ = 
 - Xét tam giác APR ta có: 1AD BC PR
2
= = 
và D là trung ñiểm PR nên tam giác APR 
vuông tại A, suy ra AR AP⊥ . Tương tự AR AQ⊥ và AP AQ⊥ . 
 - Ta có A.BCD A.PQR R.APQ
1 1 1 1 1 1V .V .V . .AQ.AP .AR .AQ.AP.AR
4 4 4 3 2 24
  
= = = =  
  
. 
 - Tương tự như HD1. Gọi M, N là trung ñiểm AB và CD, ta tính ñược 
2 2 2b c aMN
2
+ −
= , suy ra 2 2 2AR 2MN 2. b c a= = + − . 
 - 
2 2 2 2 2 2AP 2. c a b ; AQ 2. a b c= + − = + − . 
 - Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2A.DCB
2V . a b c . b c a . c a b
12
= + − + − + − . 
 TRUNG TÂM LUYỆN THI CHẤT LƯỢNG CAO 
 GIA SƯ ðỨC KHÁNH 
 0975.120.189 - 0563.602.929 
Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN