Để thi thử đại học, cao đẳng năm học 2009 môn thi: Toán, Khối A

ĐỀ THI THỦ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN: ĐÀ NẴNG - VĨNH PHÚC
	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	ĐỂ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
	THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG	Môn thi: TOÁN, khối A
	TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN	Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 với .
Câu II (2 điểm) 
	1. Giải phương trình: 
	2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (1 điểm) Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường và .
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
	1. ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: và phân giác trong CD: 	. 	Viết phương trình đường thẳng BC.
	2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số 
	.Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua , hãy viết 	phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 	
	1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường	chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
	2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
Đáp án
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
2,00
1
1,00
+ Tập xác định: 
0,25
+ Sự biến thiên:
Giới hạn: 
0,25
Bảng biến thiên.
0,25
Đồ thị
0,25
2
1,00
Xét phương trình với (1)
Đặt , phương trình (1) trở thành: 
Vì nên , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
0,25
Ta có: 
Gọi (C1): với và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền .
0,25
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
 	: Phương trình đã cho vô nghiệm.
 	: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
	: Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
 	: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
 	 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
m < 0	 : Phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
II
2,00
1
1,00
Phương trình đã cho tương đương: 
0,50
0,50
2
1,00
Điều kiện: 
Đặt ; không thỏa hệ nên xét ta có . 
Hệ phương trình đã cho có dạng:
0,25
 hoặc 
+ (I)
+ (II)
0,25
Giải hệ (I), (II).
0,25
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là 
0,25
III
1,00
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: và 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
Suy ra diện tích cần tính:
0,25
Tính: 
Vì nên 
0,25
Tính 
Vì và nên .
0,25
Vậy 
0,25
IV
1,00
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có:
Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm .
0,25
Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có:
Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 
0,25
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: 
Trong đó: 
0,25
Từ đó, ta có: 
0,25
V
1,00
Ta có:
+/ ;
+/ 
+/ 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
Đặt (điều kiện: ). 
0,25
Khi đó . Phương trình (1) trở thành:
 (2) với 
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): với .
0,25
Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn nhất là tại . 
0,25
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 
.
0,25
VIa
2,00
1
1,00
Điểm . 
Suy ra trung điểm M của AC là . 
0,25
Điểm 
0,25
Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ).
 Suy ra . 
Tọa độ điểm I thỏa hệ: . 
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của .
0,25
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 
0,25
2
1,00
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và . 
0,25
Mặt khác 
Trong mặt phẳng , ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A.
0,25
Vectơ pháp tuyến của (P0) là , cùng phương với .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: .
0,50
VIIa
1,00
Để ý rằng ; 
và tương tự ta cũng có 
0,50
Vì vậy ta có:
0,50
VIb
2,00
1
1,00
Ta có: . Phương trình của AB là: .
. I là trung điểm của AC và BD nên ta có: . 
0,25
Mặt khác: (CH: chiều cao) . 
0,25
Ngoài ra: 
Vậy tọa độ của C và D là hoặc 
0,50
2
1,00
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng có phương trình tham số: .
Điểm nên .
0,25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ và .
Ta có 
Suy ra và 
Mặt khác, với hai vectơ ta luôn có 
Như vậy 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng 
 và .
0,25
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 
0,25
VIIb
1,00
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:. 
Đặt .
Vế trái viết lại:
0,50
Ta có: .
Tương tự: 
Do đó: .
Tức là: 
0,50
SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC
Trường THPT Tam Dương
ĐỀ THI THỬ ĐH,CĐ
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2.0 điểm): Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Câu 2 (2.0 điểm ) : 
1. Giải phương trình:.
2. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực.
Câu 3 (2.0 điểm): 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình:
	(P): 2x - y - 2z - 2 = 0;	(d): 
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Câu 4 (2.0 điểm):
1. Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.
2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 £ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 5 (2.0 điểm): 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E): và parabol (P): y2 = 12x. 
2. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển Newton: 
-------------o0o-------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:....................................................................SBD:......................
SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC
Trường THPT Tam Dương
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH,CĐ
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu
Nội dung
Điểm
I
1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 - 3x2 + 4
+ TXĐ: R
+ Sự biến thiên: y’ = 3x2 - 6x = 0 Û x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên: (-¥; 0) và (2; +¥)
Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0
y” = 6x - 6 = 0 Û x = 1
Đồ thị hàm số lồi trên (-¥; 1), lõm trên (1; +¥). Điểm uốn (1; 2)
0.25
Giới hạn và tiệm cận: 
0.25
4
+∞ 
-∞ 
-
+
+
0
0
y’
-∞ 
2
+∞ 
y
 0
x
LËp BBT:
 0
0.25
y
§å thÞ: 
O
x
0.25
2/. Ta có: y’ = 3x2 - 6mx = 0 Û 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
0.25
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ 
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
0.25
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 
0.25
Giải ra ta có: ; m = 0
0.25
Kết hợp với điều kiện ta có: 
II
2/. Đk: 
0.25
Phương trình đã cho tương đương với: 
0.25
Û 
0.25
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : ; kÎZ
0.25
2/. 
Điều kiện: 
0.25
Đặt t = x + 1 Þ tÎ[0; 2]; ta có (1) Û t3 - 3t2 = y3 - 3y2.
0.25
Hàm số f(u) = u3 - 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 
(1) Û y = y Û y = x + 1 Þ (2) Û 
0.25
Đặt Þ vÎ[0; 1] Þ (2) Û v2 + 2v - 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v - 1 đạt 
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 £ m£ 2
0.25
III
1/. Đường thẳng (D) có phương trình tham số là: 
Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử I(-t; -1 + 2t; 2+ t)Î(D). 
0.25
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
Û 
0.25
Þ Có hai tâm mặt cầu: 
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5.
0.25
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
0.25
2/. Đường thẳng (D) có VTCP ; PTTQ: 
Mặt phẳng (P) có VTPT 
0.25
Góc giữa đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) là: 
Þ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là 
0.25
Giả sử (Q) đi qua (D) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z - 2) = 0 (m2+ n2 > 0)
Û (2m + n)x + my + nz + m - 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là: 
0.25
Û m2 + 2mn + n2 = 0 Û (m + n)2 = 0 Û m = -n.
Chọn m = 1, n = -1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y - z + 3 = 0
0.25
IV
1/. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là: y = 4x - 4
0.25
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
0.25
=
0.5
2/. Ta có: 
0.25
0.25
Þ 
0.25
Vậy GTNN là Pmin = khi x = y = z
0.25
V
1/. Giả sử đường thẳng (D) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
(D) là tiếp tuyến của (E) Û 8A2 + 6B2 = C2 (1)
(D) là tiếp tuyến của (P) Û 12B2 = 4AC Û 3B2 = AC (2)
0.25
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = -2A.
Với C = -2A Þ A = B = 0 (loại)
0.25
Với C = 4A Þ 
Þ Đường thẳng đã cho có phương trình: 
0.25
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 
0.25
V
Ta có: 
0.25
0.25
Ta chọn: i, k ÎN, 0 £ i £ k £ 12; 4k - 5i = 8
Þ i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12
0.25
Vậy hệ số cần tìm là: 
0.25