Chuyên đề 1: Phương trình mũ – logarit

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN 
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 
Phương trình mũ cơ bản có dạng : xa m= , trong ñó 0, 1a a> ≠ và m là số ñã cho. 
● Nếu 0m ≤ , thì phương trình xa m= vô nghiệm. 
● Nếu 0m > , thì phương trình xa m= có nghiệm duy nhất log .ax m= 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
 1) x 1 x x 15 6.5 3.5 52+ −+ − = 2) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 23 3 3 9.5 5 5+ + + + ++ + = + + 
 3) x x 13 .2 72+ = 4) x 1 x 23 2.3 25+ −− = 
 5) x 1 x 2 x x 23.2 2.5 5 2+ − −+ = + 6) 
x 3x 14 7 16 0
7 4 49
−
   
− =   
   
. 
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. 
Phương trình logarit cơ bản có dạng : loga x m= , m là số ñã cho. 
● ðiều kiện : 0
0 1
x
a



<
< ≠
● Phương trình có nghiệm : mx a= . 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
1) ( )3log x x 2 1+ = 2) ( ) ( )22 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = 
3) ( ) ( )log x 15 log 2x 5 2+ + − = 4) ( )x 12log 2 5 x+ − = 
5) ( ) ( )2 2x 1log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
 6) 2 xxlog 16 log 7 2− = . 
DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ 
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 
Sử dụng công thức : a a βα α β= ⇔ = . 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
 1) 
2 3x
3x x x 319 27 . 81
3
−
+ 
= 
 
 2) x 1 2x 14.9 3 2− += . 
CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH 
 MUÕ – LOGARIT 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. 
Sử dụng công thức : ( )0 0log log b cb ca a b c



> >
= ⇔
=
. 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 1) ( ) ( )2 22 2 2log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = + 
2) ( )
( )
( )2 2
x 3
1log 3x 1 2 log x 1
log 2+
− + = + + 
3) ( )229 331 x 1log x 5x 6 log log x 32 2
−
− + = + − 
4) ( ) ( )224 4 4log x 1 log x 1 log x 2− − − = − 
5) ( ) ( )2 34 82log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + 
6) ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = . 
DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 
Phương trình dạng : 2. . 0x xa aα β γ+ + = . 
● ðặt : 0xt a >= . 
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : 2 0t tα β γ+ + = . 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
1) 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = 
2) 3 2cos x 1 cos x4 7.4 2 0+ +− − = 
3) 3x x3x x 1
8 12 6 2 0
2 2 −
   
− − − =   
   
. 
Phương trình dạng : . . 0x xa aα β γ−+ + = . 
● ðặt : 0xt a >= . Suy ra : 1 01x xa a t
−
= = > . 
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : 21 0 0 
t
t t tα β γ α γ β+ + = ⇔ + + = . 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 1) ( ) ( ) ( )x x x26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − = 
 2) 2 2sin x cos x9 9 10+ = . 
Phương trình dạng : . . 0x xa bα β γ+ + = . Với . 1a b = . 
● ðặt : 0xt a >= . Suy ra : 1xb
t
= . 
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : 21 0 0 
t
t t tα β γ α γ β+ + = ⇔ + + = . 
Bài 3. Giải các phương trình sau : 
 1) ( ) ( )x x2 3 2 3 4− + + = 
 2) ( ) ( )x x4 15 4 15 8− + + = . 
Phương trình dạng : ( )2 2. . 0xx xa ab bα β γ+ + = . 
● Chia hai vế phương trình cho : 2xa ( hoặc 2xb ) 
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : 
2
0
x xb b
a a
α β γ      
   
+ + = . ðặt : 0
xb
t
a
 
 
 
= > . 
Bài 4. Giải các phương trình sau : 
 1) 2 2 2x x x15.25 34.15 15.9 0− + = 
 2) 
1 1 1
x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 
 3) x x x27 12 2.8+ = . 
Phương trình dạng : ( ) ( ) ( ). .f x g x h xaa aα β αβ+ − = . Với ( ) ( ) ( )h x f x g x= + . 
● ðặt : 
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
0
0
f x
h x f x g x
g x
v
u a
a a u
v a
+


= >
⇒ = =
= >
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : ( ) ( ). . u v uv v u vα β αβ α β α+ − = ⇔ − = − 
( )( ) .0 uv u
v
β
α β
α



=
− − = ⇔
=
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
Bài 5. Giải các phương trình sau : 
 1) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = 
 2) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 
 3) ( )22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + 
 4) x x x8.3 3.2 24 6+ = + . 
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. 
Phương trình có chứa : log , log , logka a xx x a . 
● ðặt : logat x= . Suy ra : , .
1log logk kx xa t a t
= = 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
 1) 
x 3 3x
1log 3 log x log 3 log x
2
+ = + + 2) ( )3 9x
3
42 log x log 3 1
1 log x
− − =
−
 3) ( )2 x 1log x 1 log 16++ = 4) ( ) ( )x 1 x2 2log 4 4 .log 4 1 3+ + + = 
 5) 2 22 xlog x.log (4x ) 12= 6) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= . 
Phương trình dạng : ( ) ( )log log log loga ab bx x= . 
● ðặt : ( ) ( )log log log loga ab bx x A= = . 
● Khi ñó : ( )( )
( )
( )
 1
 2
log log log
loglog log
A
A
a b b
aab
x A x a
x bx A
  
⇔ 
 
= =
==
. Suy ra : 
log
log
AA
A
b
a
a
b
x a
x b
 
= =  
 
1
 log log log log log
log
A A A
x xb b b
a
a a a
b b b
x a x x a
x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ =     
     
 ( ) .log log logA ab b
b
a
a A a
b
 
⇔ =  
 
⇔ = 
● Từ (1) suy ra : 
log log
.
ba
b
a
Aa ax b b
 
 
 
= = 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 1) 2 3log log xx = 2) ( ) ( )2 3 3 2log log log logx x= 
 3) 7 3log x log ( x 2)= + 4) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = . 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi ñưa về hệ ñơn giản. 
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp. 
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình. 
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ ñộc lập ñối với biến x. 
Bài 3. Giải các phương trình sau : 
 1) ( ) ( )2 22 2log x x 1 3log x x 1 2− − + + − = 
 2) 3 2 lgx 1 lgx 1− = − − 
 3) ( ) ( )2 22 23 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6+ − + + − − + = . 
DAÏNG 4. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA 
● Dạng 1 : ( ) ( )
0 1, 0
log .
f x
a
a b
a b f x b



= ⇔
=
● Dạng 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .lo g f x g x f x g xa a aa b a b f x g x b= ⇔ = ⇔ = . 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
 1) ( )44 3 log x 1log x 2x 2 −− = 2) 2 3lg x lg x 3 2x 1 1
1 1 1 1x x
+ +
=
−
+ − + +
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
1) xlog 56 5x .5 5− −= 2) lg x 2x 1000x= 
3) x x3 22 3= 3) 2x 2x x2 .3 1,5− = 
5) 2x x5 .3 1= 6) 
x
x x 23 .8 6+ = . 
DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU HAØM SOÁ 
Phương pháp : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh nghiệm duy nhất. 
Ta thường sử dụng các tính chất sau : 
● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng ( );a b thì phương trình : 
( )f x C= có không quá một nghiệm trong khoảng ( );a b . Do ñó nếu tồn tại ( )0 ;x a b∈ 
sao cho ( )0f x C= thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình : ( )f x C= . 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
● Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng ( );a b và hàm g là hàm một hàm giảm 
trong khoảng ( );a b thì phương trình ( ) ( )f x g x= có nhiều nhất một nghiệm trong 
khoảng ( );a b . Do ñó nếu tồn tại ( )0 ;x a b∈ sao cho ( ) ( )0 0f x g x= thì ñó là nghiệm 
duy nhất của phương trình : ( ) ( )f x g x= . 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
 1) x x x3 4 5+ = 
 2) x x4 3 1− = 
 3) ( ) ( )x x x2 3 2 3 4− + + = . 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 1) 2log x 3 x= − 2) x 32 2 log x= − 
 3) x2 3 x= − 4) 2log xx 2.3 3+ = . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 
 1) 82 3log xlog x2x 2x 5 0−+ − = 2) 3 32x x 2 x 2 x 2 x 4x 44 2 4 2+ + + + + −+ = + 
 3) ( ) ( )2 23 3 3log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8 + + + + + = + 4) ( )2 4log x log x 3 2− − = 
 5) ( ) ( )28 8 42log 2x log x 2x 1 3+ − + = 6) x 27 33 log 3 3log x 2log x4 − =
 7) 2 2
x
log 2 log 4x 3+ = 8) ( ) ( )x x2 21 log 9 6 log 4.3 6+ − = − 
 9) ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + 10) 82
4 16
log 4xlog x
log 2x log 8x
= 
 11) ( ) ( )x 1
x
log cos x sin x log cos x cos 2x 0− + + = 12) 25x 5
5log log x 1
x
+ = 
 13) 
( )
( ) ( )
2
1 2
2
2
1
2
3log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
 
+ − + − 
 
= +
+ +
 14) x x x
16 64
log 2.log 2 log 2= 
 15) ( ) ( )2 34 2 21log x 1 log x 2 2log 4 x 13+ = + + − + 16) 2
2
3x27x
16log x 3log x 0− = 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
 17) ( ){ }4 3 2 2 1log 2log 1 log 1 3log x 2  + + = 18) ( )1 1 22 4log x 2log x 1 log 6 0+ − + = 
 19) ( ) ( )31 82
2
log x 1 log 3 x log x 1 0+ − − − − = 20) x 2x 2xlog 2 2 log 4 log 8.+ = 
 21) 2 3 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = 22) x
3
1 63 log 9x
log x x
 
+ = − 
 
 23) 4 2
2x 1
1 1log (x 1) log x 2
log 4 2+
− + = + + 24) ( )2x 4 2log 8 log x log 2x 0+ = 
 25) ( ) ( )222x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4− ++ − + − = 26) 2 1
2
2log 2x 2 log 9x 1 1+ + − = 
 27) ( )x x2 2 x1log 4 15.2 27 2log 04.2 3+ + + =− 28) ( ) ( )3log log x log log x 2 0+ − = 
 29) ( )221 2
2
1 1log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − = 30) 23 3log (x 1) log (2x 1) 2− + − = 
 31) ( ) ( )22 4 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0+ + − + = 32) ( )2 2 2lg x lgxlog 4x 2log x 0− + = 
 33) ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log xlog x x 2 0− + − − = 34) 4 3 2lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0+ − − − = 
 35) 22 2 3 2 3log x log x log x log xlog x 0− + − = 36) ( ) ( )3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2− + + = . 
---------- HẾT ---------- 
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975.120.189 
 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN.