Chuyên đề 1: Phương trình đại số và bất phương trình đại số

 1
Chuyên đề 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 
1. + = + +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 −+=+ 
2. − = − +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 +−=+ 
3. − = + −2 2 ( )( )a b a b a b 
4. + = + + +3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b )(33)(33 baabbaba +−+=+ 
5. − = − + −3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 
6. + = + − +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b 
7. − = − + +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b 
A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất: 
 1. Dạng : ax + b = 0 (1) 
⎩⎨
⎧
số tham : ba,
số ẩn : x
 2. Giải và biện luận: 
 Ta có : (1) ⇔ ax = -b (2) 
 Biện luận: 
• Nếu a ≠ 0 thì (2) ⇔
a
bx −= 
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b 
 * Nếu b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm 
 * Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
 Tóm lại : 
• a ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
a
bx −= 
• a = 0 và b ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm 
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
 2
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình: 
 Định lý: Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có: 
• (1) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0 
• (1) vô nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
≠
=
0
0
b
a
• (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ ⎩⎨
⎧
=
=
0
0
b
a
II.Giải và biện luận phương trình bậc hai: 
1. Dạng: 2 0ax bx c+ + = (1) 
⎩⎨
⎧
số tham : c, ba,
số ẩn : x
 2. Giải và biện luận phương trình : 
 Xét hai trường hợp 
 Trường hợp 1: Nếu a 0= thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0 
• b ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
b
cx −= 
• b = 0 và c ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm 
• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
Trường hợp 2: Nếu a≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có 
 Biệt số 2 4b acΔ = − ( hoặc ' 2 '' với b
2
bb acΔ = − = ) 
Biện luận: 
) Nếu 0Δ < thì pt (1) vô nghiệm 
) Nếu 0Δ = thì pt (1) có nghiệm số kép 1 2 2
bx x
a
= = − ( 
'
1 2
bx x
a
= = − ) 
) Nếu 0Δ > thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2
bx
a
− ± Δ= ( 
' '
1,2
bx
a
− ± Δ= ) 
 3
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai: 
 Định lý : Xét phương trình : 2 0ax bx c+ + = (1) 
) Pt (1) vô nghiệm ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=
=
0
0
0
c
b
a
 hoặc 
⎩⎨
⎧
<Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có nghiệm kép ⇔ ⎩⎨
⎧
=Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
>Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
≥Δ
≠
0
0a
) Pt (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0
0
0
c
b
a
 Đặc biệt 
 Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
4. Định lý VIÉT đối với phương trình bậc hai: 
 ) Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : 2 0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 thì 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=+=
a
cxxP
a
bxxS
21
21
.
) Định lý đảo : Nếu có hai số ,x y mà x y S+ = và . Px y = )4( 2 PS ≥ thì ,x y là nghiệm của 
 phương trình 
 2X S.X P 0− + = 
) Ý nghĩa của định lý VIÉT: 
Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và 
không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau .Ví dụ: 2
2
2
121
2
2
2
1 11
xxxx
xxA +++= ) mà 
không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng . 
Chú ý: 
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là 1 21 và x cx a= = 
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là 1 21 và x cx a= − = − 
 4
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai: 
 Dựa vào định lý Viét ta có thể suy ra định lý sau: 
 Định lý: Xét phương trình bậc hai : 2 0ax bx c+ + = (1) ( 0a ≠ ) 
) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
> 0
 P > 0
S > 0
Δ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩
) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt 
> 0
 P > 0
S < 0
Δ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩
) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0⇔ 
II. Phương trình trùng phươngï: 
1.Dạng : 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ (1) 
2.Cách giải: 
 ) Đặt ẩn phụ : x2= t ( 0≥t ). Ta được phương trình: 02 =++ cbtat (2) 
 Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào x2= t để tìm x. 
 Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm 
 của phương trình (1) 
III . Phương trình bậc ba: 
 1. Dạng: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( 0a ≠ ) 
 2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1) 
)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x0 
)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân 
 tử và đưa pt (1) về dạng tích số : 
 (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 
 0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=⎡⇔ ⎢ + + =⎣
)Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có). 
Chú ý 
Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, 
để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm được một nghiệm của đa thức). 
 5
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
I. Bất phương trình bậc nhất: 
1. Dạng : (1) 0>+ bax (hoặc ≤<≥ ,, ) 
2. Giải và biện luận: 
 Ta có : (2) )1( bax −>⇔ 
 Biện luận: 
• Nếu 0>a thì 
a
bx −>⇔)2( 
• Nếu 0<a thì 
a
bx −<⇔)2( 
• Nếu 0=a thì (2) trở thành : bx −>.0 
 * 0≤b thì bpt vô nghiệm 
 * 0>b thì bpt nghiệm đúng với mọi x 
II. Dấu của nhị thức bậc nhất: 
1. Dạng: 0)(a )( ≠+= baxxf 
2. Bảng xét dấu của nhị thức: 
x ∞− 
a
b− ∞+ 
ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 
III. Dấu của tam thức bậc hai: 
1. Dạng: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai: 
x ∞− 1x 2x ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
acb 42 −=Δ 
x ∞− 
a
b
2
− ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 0 Cùng dấu a 
x ∞− ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 
0<Δ 
0=Δ 
0>Δ 
 6
Chú ý: Nếu tam thức bậc hai 2f(x) ax bx c (a 0)= + + ≠ cĩ hai nghiệm 1 2x , x thì tam thức luơn cĩ 
thể phân tích thành ( )( )2 1 2f(x) ax bx c a x x x x= + + = − − 
3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức: 
 Định lý: Cho tam thức bậc hai: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
• 
⎩⎨
⎧
>
0a
0
 Rx 0)(xf 
• 
⎩⎨
⎧
<
<Δ⇔∈∀<
0a
0
 Rx 0)(xf 
• 
⎩⎨
⎧
>
≤Δ⇔∈∀≥
0a
0
 Rx 0)(xf 
• 
⎩⎨
⎧
<
≤Δ⇔∈∀≤
0a
0
 Rx 0)(xf 
IV. Bất phương trình bậc hai: 
 1. Dạng: 02 >++ cbxax ( hoặc ≤<≥ ,, ) 
 2. Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp. 
 7
VẬN DỤNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM GIẢI CÁC BÀI 
TỐN TUYỂN SINH 
Bài 1: Cho phương trình: mmx
x
xx 22
2
422 −+=−
+− (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
Bài giải: 
Điều kiện: x 2≠ 
Khi đĩ: 
( )( )
( ) ( )
2
2 2
2
(1) x 2x 4 mx 2 2m x 2
 x 2x 4 mx 2x 2mx 2mx 4 4m
 m 1 x 2 2m 2 x 4m 8 0 (2)
⇔ − + = + − −
⇔ − + = + − − − +
⇔ − − − + − =
Đặt: ( ) ( )2f(x) m 1 x 2 2m 2 x 4m 8= − − − + − 
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 2 
( ) ( )( )
( ) ( )
2
m 1 0a 0
' 0 2m 2 m 1 4m 8 0
f(2) 0 m 1 4 4 2m 2 4m 8 0
m 1
4m 4 0 m 1
4 0
⎧⎧ ⎪⎪ − ≠≠ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⇔ Δ > ⇔ − − − − >⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪≠ − − − + − ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
⎧⎪ ≠⎪⎪⎪⎪⇔ − > ⇔ >⎨⎪⎪⎪− ≠⎪⎪⎩
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là m 1> 
Bài 2: Cho phương trình: 053)1(2 =−++− mxmx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt 
Bài giải: 
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm dương phân biệt 
( ) ( )2 2 m 3 m 70 m 1 4 3m 5 0 m 10m 21 0 5 m 35 3P 0 3m 5 0 3m 5 0 m
3 m 7m 1 0 m 1 0S 0 m 1
⎧ ⎪⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪Δ > ⎪+ − − > − + > ⎡⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⇔ − > ⇔ − > ⇔ > ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎪ ⎪ >⎢⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ > + >> ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎪ > −⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ ⎪⎩
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là 5 m 3 m 7
3
 8
Bài 3: Cho phương trình: 0
1
2
=−
++
x
mxmx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
Bài giải: 
Điều kiện: x 1≠ 
Khi đĩ: 
 2(1) mx x m 0 (2)⇔ + + = 
Đặt: 2f(x) mx x m= + + 
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm dương phân biệt ⇔ Phương trình (2) cĩ hai nghiệm dương phân biệt khác 1 
2
m 0a 0
1 4m 00
mP 0 0
m
S 0 1 0
mf(1) 0
1 2m 0
m 0
1 1m
12 2 m 0
m 0 2
1m
2
⎧⎪⎪ ≠⎪⎧⎪ ≠ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − >⎪ ⎪Δ >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇔ > ⇔ >⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪>⎪ ⎪⎪ ⎪− >⎪ ⎪⎪ ⎪≠⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ + ≠⎪⎩
≠⎧⎪⎪⎪⎪⎪− < <⎪⎪⎪⇔ ⇔ − < <⎨ <⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ≠ −⎪⎪⎩
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là 1 m 0
2
− < < 
Bài 4: Cho phương trình: 0124 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 
Bài giải: 
Đặt 2x t (t 0)= ≥ , phương trình (1) trở thành: 2t mt m 1 0− + − = (2) 
Phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) cĩ hai nghiệm dương phân biệt 
 9
20 m 4m 4 0
P 0 m 1 0
m 0S 0
m 2
m 1
m 1
m 2
m 0
⎧ ⎧⎪ ⎪Δ > − + >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ > ⇔ − >⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ >>⎪ ⎪⎪⎩⎪⎩
⎧⎪ ≠⎪ ⎧ >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇔ > ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪ ≠⎪ ⎪⎩⎪ >⎪⎪⎩
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là 
m 1
m 2
⎧ >⎪⎪⎨⎪ ≠⎪⎩
Bài 5: Cho phương trình: 0))(1( 2 =++− mmxxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 
Bài giải: 
Ta cĩ: ( ) 2
x 1
1
x mx m 0 (2)
⎡ =⎢⇔ ⎢ + + =⎢⎣
Đặt: 2f(x) x mx m= + + 
Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 
20 m 4m 0
f(1) 0 1 2m 0
m 0 m 4
1m
2
⎧⎧Δ > − >⎪⎪ ⎪⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪≠ + ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
⎧ ⎪⎪⎪⇔ ⎨⎪ ≠ −⎪⎪⎩
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là 
m 0 m 4
1m
2
⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪ ≠ −⎪⎪⎩
Bài 6: Cho phương trình : 0)1(3)1(2 =−+−+ mxmmx (1) 
Với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
9
711
2
2
2
1
=+
xx
 10
Bài giải: 
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 
( ) ( )2
2
m 0a 0
0 m 1 12m m 1 0
m 0
11m 10m 1 0
m 0
1 m 1
11
≠⎧≠⎧ ⎪⎪ ⎪⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪Δ > − − − >⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
≠⎧⎪⎪⇔ ⎨⎪− + + >⎪⎪⎩
≠⎧⎪⎪⎪⇔ ⎨⎪− < <⎪⎪⎩
Theo định lý Viet ta cĩ: ( )
1 2
1 2
1 mx x
m
3 m 1x x
m
⎧ −⎪⎪ + =⎪⎪⎨⎪ −⎪ =⎪⎪⎪⎩
Khi đĩ: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
2 22 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2
x x 2x x1 1 7 7 1 m 2m 7
x x 9 9 9 m 1 3 m 1 9x x
 1 m 3 m 1 2m 7 m 1
 1 2m m 6m 6m 7m 14m 7
+ − −+ = ⇔ = ⇔ − =− −
⇔ − − − = −
⇔ − + − + = − +
2 12m 18m 6 0
m 1 (loai)
 1m
2
⇔ − + =
⎡ =⎢⎢⇔ ⎢ =⎢⎣
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu là 1m
2
= . 
 11
CÁC BÀI TỐN TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho phương trình: ( )( )2x 3 x 3x 6 m 0 (1)− + + − = 
Tìm m để phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt. 
 Kết quả: 
15m
4
m 24
⎧⎪⎪ >⎪⎨⎪⎪ ≠⎪⎩
Bài 2: Cho phương trình: ( ) ( )3 2x 2 m 1 x 7m 2 x 4 6m 0 (1)− + + − + − = 
Tìm m để phương trình (1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt. 
 Kết quả: 
2 m 1
3
m 2
⎡ ⎢⎣
Bài 3: Cho phương trình: ( )4 2x 2 m 1 x +2m+1 (1)− + 
Tìm m để phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt. 
 Kết quả: 
1m
2
m 0
⎧⎪⎪ > −⎪⎨⎪⎪ ≠⎪⎩
Bài 4: Cho phương trình: 
2x x m x 1 (1)
x m
− + + = −+ 
Tìm để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt. 
 Kết quả: 
m 6 4 2
m 6 4 2
⎡ − +⎣
Bài 5: Cho phương trình: ( )2 23x 4 m 1 x m 4m 1 0+ − + − + = (1) 
Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt 1 2x ;x thỏa mãn điều kiện ( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
+ = + 
 Kết quả: 
m 1
m 5
⎡ =⎢⎢ =⎢⎣
--------------------Hết--------------------