Chuyên đề 01 Khảo sát hàm số

Chuyên đề 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau
 có nghiệm 
( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M()
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0)
Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại:
a) Điểm M có hoành độ xM = 0 b) Giao điểm của ( C ) với trục hoành
Giải :a) xM = 0 yM = 2 y’ = f’(x) = 3x2 – 3 f’(0) = – 3 
Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 ) y = – 3x + 2
b) Phương trình trục Ox : y = 0 . Ta có x3 – 3x + 2 = 0
x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1) 
x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2) 
Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp 
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k
 . Giải phương trình tìm x0 
Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
 có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
(d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a
(d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = hay a.k = – 1 
 Ví dụ 
 Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2. lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết 
1) Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 2) Tiếp tuyến vuông góc với (d)
GIẢI
1) Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1 
x0 = 1 y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
x0 = – 1 y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2) Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )
 có nghiệm
. Từ (2) với x = .
 Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2 
Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A()
Phương pháp 
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1).
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . Ta có 
(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)
 có nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) 
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 )
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm . Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và
f’(x0) = 3x02 – 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 
y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) (1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2)– 4) nên – 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2 
x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
x0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C) 
 có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4 
x = 0 . Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
x = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường
Phương pháp : Ap dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau
 có nghiệm. Từ đó suy ra giá trị tham số
Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x4 – x2 + 1 và (D) : y = g(x) = x2 + m
Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau
GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau
 có nghiệm 
x = 0 từ (2) ta có m = 1
x = từ (2) ta có m = 0
 ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN Cho ñöôøng cong (Cm) : y = f(x;m)
1 /- Tìm nhöõng ñieåm coá ñònh maø (Cm) luoân ñi qua 
Phöông phaùp 
Goïi M(x0;y0) laø ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) 
Bieán ñoåi thaønh phöông trình aån soá m 
Aùp duïng : phöông trình coù nghieäm vôùi moïi m khi taát caû caùc heä soá ñeàu baèng 0 ta ñöôïc heä phöông trình aån soá x0 ; y0 . Giaûi heä tìm nghieäm x0 thuoäc taäp xaùc ñònh D . 
Heä phöông trình coù bao nhieâu nghieäm thì coù baáy nhieâu ñieåm coá ñònh
2 /- Tìm nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng ñi qua
Phöông phaùp Goïi M(x0 ; y0) laø ñieåm maø (Cm) khoâng ñi qua 
phöông trình y0 = f(x0) khoâng coù nghieäm m. Töø ñieàu kieän naøy suy ra M
Löu yù : Phöông trình voâ nghieäm khi : x0hoaëc phöông trình 
Am + B = 0 voâ nghieäm 
Am2 + Bm + C = 0 voâ nghieäm 
Ví duï Cho (Cm) : y = ( m laø tham soá )
1) Tìm nhöõng ñieåm maø (Cm) luoân ñi qua khi m thay ñoåi
2) Tìm nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng ñi qua vôùi moïi m
GIAÛI 
1) Taäp xaùc ñònh D = \ Goïi M(x0 ; y0) laø ñieåm coá ñònh cuûa (Cm)
Vaäy (Cm) luoân ñi qua M( 0 ; )
2) Goïi N(x1)y1) laø ñieåm maø (Cm) khoâng ñi qua 
voâ nghieäm m 
(1) ( vì x1 )
Vaäy (Cm) khoâng ñi qua N(0;) ; N1(2)y) 
Vaán ñeà 2 Söï töông giao cuûa hai ñöôøng
Phöông phaùp: Cho 2 ñöôøng ( C ) : y = f(x) vaø ( D ) : y = g(x)
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø nghieäm cuûa phöông trình f(x)= g(x) (1 ) 
Phöông trình ( 1 ) coù bao nhieâu nghieäm thì ( C ) vaø ( D ) coù baáy nhieâu ñieåm chung. Muoán tìm giao ñieåm ta thay nghieäm cuûa ( 1 ) vaøo y = f(x) hay y =g(x)
Löu yù
Phöông trình 
a) Phöông trình voâ nghieäm 
b) Pt coù 1 nghieäm keùp c) Pt coù 2 nghieäm phaân bieät 
Định lí Viet : Phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù 2 nghieäm x1) x2 ta coù 
2. Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x0
Phương pháp ( Chia 2 vế của phương trình cho x – x0 )
Ta coù ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( x – x0 )( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)
 Soá nghieäm cuûa (1) = Soá nghieäm cuûa (2) + 1
Ñaët g(x) = Ax2 + Bx + C .Tính : = B2 – 4AC vaø g(x0) = Ax02 + Bx0 +C
Pt coù 1 nghieäm ° Pt coù 2 nghieäm 
Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät 
Cách tìm x0
a + b + c + d = 0 Phöông trình coù nghieäm x0 = 1
a – b + c – d = 0 Phöông trình coù nghieäm x0 = –1 
x0 laø nghieäm nguyeân cuûa phöông trình thì x0 laø öôùc soá cuûa d 
Khi không biết nghiệm 
Caùch 1 Bieän luaän phöông trình baèng ñoà thò
Caùch 2 Xeùt haøm soá y = ax3 + bx2 + cx + d
a) Neáu haøm soá khoâng coù cöïc trò thì phöông trình chæ coù 1 nghieäm 
b) Neáu haøm soá coù cöïc trò tính yCÑ .yCT
yCÑ.yCT > 0 : Phöông trình coù 1 nghieäm 
yCÑ.yCT = 0 : Phöông trình coù 2 nghieäm 
yCÑ.yCT < 0 : Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät
Ví duï Cho (C) : y = f(x) = 4x3 – 3x + 1 vaø (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2
Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (d)
Giaỉ : Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø nghieäm cuûa phöông trình
4x3 – 3x + 1 = m(x – 1) + 2 (x – 1)(4x2 + 4x + 1 – m) = 0 (1)
Ñaët h(x) = 4x2 + 4x + 1 – m . Tính = 4 – 4(1 – m) = 4m vaø h(1) = 9 – m 
x
 0 9 
 – 0 + + 
Soá ñieåm chung
 1 3 3 
Vaán ñeà 3 Bieän luaän phöông trình baèng ñoà thò 
Phöông phaùp: Cho (C) : y = f(x) , döïa vaøo ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình F(x; m) = 0
GIAÛI : Bieán ñoåi F(x;m) = 0 f(x) = g(x;m)
Tröôøng hôïp 1 : f(x) = m
Soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø soá giao ñieåm cuûa
( y = m laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi Ox caét Oy taïi ñieåm coù tung ñoä m )
Döïa vaøo ñoà thò ñeå keát luaän. chuù yù so saùnh m vôùi caùc giaù trò cöïc trò , neáu ñoà thò coù tieäm caän ngang thì so saùnh vôùi giaù trò tieäm caän ngang 
Tröôøng hôïp 2 : f(x) = am + b töông töï nhö tröôøng hôïp 1 ôû ñaây giao ñieåm cuûa (d) vôùi truïc Oy coù tung ñoä laø am + b
Ví duï Cho (C) : y = x3 – 3x2 + 2.
1) Khaûo saùt haøm soá 
2) Döïa vaøo (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa : 
x3 – 3x2 – m = 0 (1) 
 GIAÛI : 1) 
 2) (1) x3 – 3x2 + 2 = m + 2
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) laø soá giao ñieåm cuûa 
Döïa vaøo ñoà thò ta coù : 
 Phöông trình coù 1 nghieäm 
 Phöông trình coù 2 nghieäm 
 Phöông trình coù 3 nghieäm 
Vaán ñeà 4 Ñoà thò haøm soá chöùa giaù trò tuyeät ñoái
Phöông phaùp Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C), töø ñoà thò (C) suy ra :
1) (C1) : y = f = neân ta coù (C1) :
Giöõû phaàn ñoà thò (C) vôùi x > 0
Boûõû phaàn ñoà thò (C) vôùi x < 0
Laáy ñoái xöùng qua truïc Oy phaàn ñoà thò (C) vôùi x > 0
2) (C2) : y = = neân ta coù (C2) :
Giöõû phaàn ñoà thò (C) vôùi f(x) 0
Laáy ñoái xöùng qua truïc Ox phaàn ñoà thò (C) vôùi f(x) < 0 
Boûõû phaàn ñoà thò (C) vôùi f(x) < 0
3) (C3) : y = f(x) = = neân ta coù (C3):
Giöõû phaàn ñoà thò (C) vôùi Q(x) > 0
Laáy ñoái xöùng qua truïc Ox phaàn ñoà thò (C) vôùi Q(x) < 0 
Boûõû phaàn ñoà thò (C) vôùi Q(x) < 0
4; (C4) : y = f(x) = hay y = f(x) = 
Vì y = neân ta coù (C4) :
Giöõû phaàn ñoà thò (C) vôùi P(x) 0
Laáy ñoái xöùng qua truïc Ox phaàn ñoà thò (C) vôùi P(x) < 0
Boûõû phaàn ñoà thò (C) vôùi P(x) < 0
Vaán ñeà 5 : Quó tích cuûa moät ñieåm
Phöông phaùp chung: Töø ñieàu kieän ñaõ cho tìm toïa ñoä ñieåm M(x ; y)
Khöû m ta ñöôïc heä thöùc lieân heä giöõa x vaø y laø phöông trình quó tích . Töø ñieàu kieän cuûa m suy ra ñieàu kieän cuûa x hay y laø giôùi haïn cuûa quó tích . Ñaëc bieät neáu M laø trung ñieåm cuûa AB laø giao ñieåm cuûa (C) : y = f(x) vaø ñöôøng thaúng (d) : y = ax + b ta coù :
 trong ñoù x1 ; x2 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = ax + b
Ví duï 
1/- Cho (C) : y = 
a) Tìm quó tích ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C) b) Tìm quó tích taâm ñoáùi xöùng cuûa (C)
Giaûi:
a) Taäp xaùc ñònh : D = \ 
Haøm soá coù 2 cöïc trò y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
 x2 + 2x + m – 1 = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1 
Khi ñoù haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi M(x ; y) vôùi y = 2x + 2m 
Neân laø phöông trình quó tích ñieåm cöïc ñaïi
b) Ta coù x = –1 vaø y = x + 2m – 1 laø phöông trình caùc ñöôøng tieäm caän ( m 
Neân taâm ñoái xöùng I(x ; y) : 
laø phöông trình quó tích cuûa taâm ñoái xöùng
2/- Cho (C) : y = x3 – 3x2 + 2 vaø ñöôøng thaúng (d) ñi qua A(0 ; 2) coù heä soá goùc k . Khi (C) caét (d) taïi 3 ñieåm phaân bieät A, B , C tìm quó tích trung ñieåm I cuûa ñoaïn BC khi k thay ñoåi
Giaûi 
Ta coù (d) : y = kx + 2. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) :
x3 – 3x2 + 2 = kx + 2 
caét (d) taïi 3 ñieåm phaân bieät phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät 
 phöông trình (2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 
Goïi I(x ; y) laø trung ñieåm cuûa BC vôùi xB ; xC laø nghieäm cuûa phöông trình (2) ta coù : 
 laø pt quyõ tích cuûa I
CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Các bài toán liên quanỨng dụng của tích phân.
* Hàm bậc ba:
Bài 1: Cho hàm số:, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
HD Bài 1:
1/ Cực đại , cực tiểu 
2/ PTTT tại là: 
3/ Diện tích hình phẳng: 
Bài 2: Cho hàm số:, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo số nghiệm của phương trình: .
HD Bài 2:
2/ PTTT là: 
3/ Xét phương trình: .
PT (1) 
: PT có 1 nghiệm duy nhất
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
:Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
: PT có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hàm số:, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ 
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d:
HD Bài 3:
1/ Cực đại , cực tiểu 
2/ PTTT là: 
3/ Tính diện tích hình phẳng: PTHĐGĐ của (C) và d:
Bài 4 : Cho hàm số:, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Tìm điều kiện của để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: .
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ nhất.
HD Bài 4:
2./ Tìm điều kiện của : Xét PT:, kết quả: 
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C): Giả sử Hệ số góc của tiếp tuyến tại là:
, hệ số góc của tiếp tuyến đạt GTNN bằng ứng với TT với (C) tại điểm có hoành độ tương ứng . Vậy điểm cần tìm là 
Bài 5: Cho hàm số:, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k = 1.
a/ Viết phương trình đường thẳng d.
b/ Tìm toạ độ giao điểm của d và đồ thị (C).
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d.
HD Bài 5:
1/ Cực đại , cực tiểu 
2/ 
a/ Phương trình đường thẳng d: .
b/ Toạ độ giao điểm của d và (C): 
c/ 
Bài 6: Cho hàm số 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng: 
3/ Xác định m để HS có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị, viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó.
HD Bài 6:
1/ , ta có hàm số: 
 do đó hàm số luôn luôn tăng và không có cực trị
2/ 
3/ , .Hàm số có cực đại và cực tiểu khi , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm CĐ và CT: 
Bài 7: Cho hàm số , là tham số.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
3/ Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
HD Bài 7:
1/ , ta có hàm số: 
Điểm cực đại: Điểm cực tiểu:
2/ PTTT là: .
3./ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Bài 8: Cho hàm số : , đồ thị ( C ) 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
2/ Viết phương trình tíếp tuyến với (C ) tại điểm A( 0 , - 2) 
3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt .
HD Bài 8:
3/ Phương trình đường thẳng d: .
PTHĐGĐ của d và (C ):
d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt p. trình (1) có 3 nghiệm pb có hai nghiệm phân biệt khác 1 
1/ Điểm cực đại: Điểm cực tiểu:
2/ PTTT với (C) tại điểm .
Bài 9: Cho hàm số: , đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: 
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo số nghiệm của phương trình: 
4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình: .
HD Bài 9:
1/. KSHS
 TXĐ: , 
 Giới hạn : , 
 BBT
 ĐĐB: ( –1; –6); (2; 3)
Đồ thị:
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: PTHĐGĐ: .
 Thay vào PT đt (d) ta có toạ độ giao điểm.
3/ Biện luận theo m số nghiệm PT: 
Đặt: , đồ thị (C) vừa vẽ và : đồ thị là đường thẳng(d) cùng phương Ox .
Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d) Biện luận 5 trường hợp.
4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình: .
PTHĐGĐ: 
Số giao điểm (d1) và (C) = số nghiệm của PT(1)
Xét PT(2): 
TH1: g(0) = 0, PT(2) có hai nghiệm: PT(1) có hai nghiệmcó hai giao điểm
TH2: g(0) 0: 
+ < 0: PT(2) vô nghiệm PT(1) có 1 nghiệm có một giao điểm.
+ = 0 PT(2) có một nghiệm kép PT(1) có 2 nghiệm có hai giao điểm.
+ > 0 và PT(2) có hai nghiệm pb PT(1) có 3 nghiệmcó 3 giao điểm.
Bài 10: Cho hàm số:
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C ) của hàm số . 
2/ Chứng minh rằng đường thẳng cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt A, M, B trong đó M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB.
HD Bài 10:
2/ Lập phương trình hoành độ giao điểm, giải được 3 nghiệm ; ; ; 
 từ kết quả trên M là trung điểm của đoạn AB. 
Diện tích tam giác OAB: (đvdt) 
* Hàm nhất biến
Bài 11: Cho hàm số có đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2/ Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): tại 2 điểm phân biệt A,B nhận 
I(-1;3) làm trung điểm AB.
HD Bài 11:
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
Tập xác định: 
, hàm số giảm trên từng khoảng xác định.
 đồ thị có tiệm cận ngang là 
 đồ thị có tiệm cận đứng là 
2
2
 BBT
Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3;)
 Đồ thị:
2/ Ta thấy I(-1;3) nằm trên (d). Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình
 ( (*) không có nghiệm x = 1) 
để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I làm trung điểm AB (*) có 2 nghiêm phân biệt x1, x2 thoả mãn : 
Bài 12: Cho hàm số (C ).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) và trục tung.
3/ Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ nguyên.
HD Bài 12:
3/ Có 6 điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên là: (1; -6); (3; 12); (-1; 0); (5; 6); (-7; 2) và (11; 4)
Bài 13: Cho hàm số : 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của , đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
HD Bài 13:
2/ PT HĐGĐ của (C) và đường thẳng : (*)
 không là nghiệm của pt (*) và . Do đó, pt (*) luôn có hai nghiệm khác 2. Vậy đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 14: Cho hàm số 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox.
3/ Tìm m để đường thẳng d : cắt (C) tại hai điểm phân biệt .
HD Bài 14:
Hàm số được viết lại: 
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
Tập xác định: , hàm số giảm trên từng khoảng xác định.
 đồ thị có tc ngang là , đồ thị có tc đứng là 
2
2
 BBT
Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3;)
 Đồ thị:
2.Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox: 
Thay vào hàm số ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm 
Phương trình tiếp tuyến có dạng: trong đó:
 vì PTTT: 
3.Tìm m để d : cắt (C) tại hai điểm pb.
PTHĐGĐ: (1) ()
YCBTPT(1) có hai nghiệm phân biệt 
Bài 15: Cho hàm số có đồ thị ( C ).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D):y = - 2x
HD Bài 15:
TXĐ : 
Chiều biến thiên y’=	, y’ < 0 với mọi x ≠ -1, hs nghịch biến trên các khoảng: (-∞;-1) và (-1;+∞) 
Tiệm cận : = + ∞ = - ∞ Nên x = - 1 là T C Đ
 = - 1 Nên y = -1 là T C N	
Bảng biến thiên. 
 Đồ thị: đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0;1)
2/ Nếu gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm thì từ giả thiết ta có =-2 suy ra x0=0 và x0 = - 2	 với x0 = 0 thì y0 = 1 ta có pttt tại M0 là y = -2x + 1 nên cắt Ox tại M(1/2;0)
Với x0 = - 2 thì y0 = - 3 ta có pttt tại M0 là y = - 2x - 7 nên cắt Ox tại M(-7/2;0)
Vậy có hai điểm thoả ycbt M(1/2;0) và M(-7/2;0)	 
Bài 16: Cho hàm số: , đồ thị (C).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại 
3/ Tìm sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
HD Bài 16:
Bài 17: Cho hàm số (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
2/ Tìm m để đường thẳng d: cắt cả hai nhánh của đồ thị (H). 
HD Bài 17:
2/ Phương trình hoành độ giao điểm: , . d cắt hai nhánh của (H) (*) có 2 nghiệm thoả mãn: . Tìm được 
Bài 18: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng kcách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Bài 19: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
3/ Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: và tiếp xúc với đồ thị (C)
HD Bài 19:
3/ Có hai tiếp tuyến thoả ycbt: , 
Bài 20: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
* Hàm trùng phương
Bài 21: Cho hàm số: 
1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Định để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt
HD Bài 21:
2/ Phương trình có bốn nghiệm phân biệt 
Bài 22: Cho hàm số: có đồ thị (C).
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ .
3/ Tìm điều kiện của để phương trình sau có 4 nghiệm : .
HD Bài 22:
1/ KSHS: 
 TXĐ: 
, 
 Giới hạn : , 
 BBT
 ĐĐB: A( –2; –5/2); B(2; –5/2)
2/ PTTT với (C) tại 
 PTTT: 
3/ Tìm m để pt sau có 4 nghiệm : .
Đặt: , đồ thị (C) vừa vẽ và : đồ thị là đường thẳng(d) cùng phương Ox .
Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d) YCBT 
Bài 23: Cho hàm số : 
1/ Tìm điều kiện của để hàm số có ba cực trị.
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .
HD Bài 23:
1/ Tìm điều kiện của để hàm số có ba cực trị.
TXĐ: , ; 
 Hàm số có ba cực trị có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu ba lần PT(2) có hai nghiệm phân biệt 
2/ ta có hàm số: :
 TXĐ: , , 
 Giới hạn : 
 BBT
 3/ PTTT là : .
Bài 24: Cho hàm số: 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 25: Cho hàm số : , đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: 
HD Bài 25:
1/ 
3/ Ta có: , khi . Vậy PTTT là: 
Bài 26: Cho hàm số đồ thị (C) 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
2/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 
HD Bài 26:
2/ Phương trình 
PT có 4 nghiệm pb khi đt: cắt (C) tại 4 điểm pb . 
Bài 27: Cho hàm số: có đồ thị (Cm), (m là tham số).
1/ Tìm biết đồ thị hàm số đi qua diểm 
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . 
3/ Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay (H) quanh trục hoành.
Bài 28: Cho hàm số: , có đồ thị (Cm), ( m là tham số)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A(;0).
3/ Xác định m để hàm số (Cm) có 3 cực trị.
Bài 29: Cho hàm số: là tham số.
1/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m vừa tìm được. 
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Bài 30: Cho hàm số:  (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của để phương trình:, có 4 nghiệm phân biệt.