Chương trình Luyện thi Đại học năm 2008 - 2009 - Chủ đề V: Phương pháp tọa độ trong không gian

 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
1 
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
. TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
I. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ: 
1. Hệ tọa độ : 
 Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau 
từng đôi một và có chung điểm gốc O gọi là hệ trục 
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz ( hay hệ tọa độ Oxyz ). 
@ 
  
, ,i j k là các vectơ đơn vị tương ứng trên 
các trục Ox, Oy, Oz. 
@ 
  
2 2 2
1i j k . 
@ 
     
. . . 0i j i k j k . 
@ Ox : trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao. 
@ O : gốc tọa độ. 
 2. Tọa độ của điểm: 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đã chọn, cho điểm M bất kỳ. Tọa độ của 
điểm M được ký hiệu là ( ; ; )M x y z . Ta có : 
( ; ; )M x y z OM xi y j zk
   
3. Tọa độ của vectơ: 
 Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ a

 tùy ý, có duy nhất một bộ ba số (a1, a2, a3) sao 
cho 
   
1 2 3
a a i a j a k , bộ ba số (a1, a2, a3) gọi là tọa độ của vectơ a . 
Ký hiệu: ( , , )a x y z

. Vậy: 
    
1 2 3 1 2 3
( , , )a a a a a a i a j a k 
Nhận xét: Nếu 

( ; ; )OM x y z thì tọa độ của điểm ( ; ; )M x y z 
( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; )M x Ox N y Oy K z Oz 
( ; ;0) ; (0; ; ) ; ( ;0; )M x y Oxy N y z Oyz K x z Oxz 
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ: 
 Trong không gian Oxyz, cho 

1 2 3
( , , )a a a a , 

1 2 3
( , , )b b b b 
a) 
 
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b . 
b) 

1 2 3
. ( ; ; ),k a ka ka ka k R . 
c) 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
 
d) Với vectơ 0b

thì hai vectơ a

và b

cùng phương khi và chỉ khi có một 
số k sao cho a1=kb1, a2 =kb2, a3=kb3 
e) Nếu BBBAAA zyxBzyxA ;;,;; thì 

; ;
B A B A B A
AB x x y y z z 
M là trung điểm của AB và ; ;
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x y z 
f) Tọa độ trọng tâm: 
CHỦ ĐỀ V 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
2 
* NÕu G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC th×: 
, ,
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z . 
* NÕu G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD th×: GA GB GC GD 0
    
, ,
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z . 
Ví dụ 1: Cho )1;1;2(,)2;0;1( BA . Tìm tọa độ điểm C sao cho 
 
3AC BC . 
Giải: 
Gọi tọa độ điểm C là: );;( zyxC , ta có: 
1; 0; 2 , 2; 1; 1AC x y z BC x y z
 
. Do đó: 
5
21 3( 2)
3
3 0 3( 1)
2
2 3( 1)
1
2
x
x x
AC BC y y y
z z
z
 
 Vậy 
2
1
;
2
3
;
2
5
C 
Ví dụ2: Xác định tọa độ của vectơ a

 biết : 
   
3 4 5a i j k 
Giải: 
Ta có: 
    
3 4 5 (3; 4;5)a i j k a . 
Ví dụ3: Cho 
 
(2; 5;3), (0;2; 1)a b , )2;7;1(c . 
Hãy xác định tọa độ của vectơ 

d , biết 
   
1
4 3
3
d a b c . 
Giải: 
Gọi tọa độ của vectơ 

( ; ; )d x y z . Ta có 
3
55
3
1
11
2.3)1(
3
1
3.4
7.32.
3
1
)5.(4
1.30.
3
1
2.4
z
y
x
z
y
x
 Vậy: 

1 55
11; ;
3 3
d 
III.TÍCH VÔ HƯỚNG: 
1.Biểu thức toạ độï của tích vô hướng: 
 Trong không gian Oxyz, cho 

1 2 3
( , , )a a a a , 

1 2 3
( , , )b b b b 
 
1 1 2 2 3 3
.ab ab a b a b 
2.Ứng dụng: 
@ Độ dài của một véctơ : 

2 2 2
1 2 3
a a aa 
@ 
 
1 1 2 2 3 3
0a b ab a b a b . 
@ Khoảng cách giữa hai điểm AAA zyxA ;; và BBB zyxB ;; là: 
222
ABABAB zzyyxxAB 
@ Góc giữa hai vectơ: 
Nếu là góc giữa hai vectơ 

1 2 3
( , , )a a a a , 

1 2 3
( , , )b b b b và , 0a b
  
 thì 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
3 
 
  1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos
. .
ab a b a ba b
a b a a a b b b
Ví dụ: Cho 

(4;3;1)a , 

( 1;2;3)b . 
Tính 
 
a b và góc giữa hai vectơ 
 
;a b 
Giải: 
Ta có: 
 
3;5;4a b 
 
2 2 2
3 4 5 5 2a b và 
182
915
321.134
3.12.3)1(4
cos
222222
 Vậy 
 
;a b với 
182
915
cos . 
IV. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, ỨNG DỤNG: 
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) và hai vectơ không cùng phương 

1 2 3
( , , )a a a a ,

1 2 3
( , , )b b b b có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (α). Khi đó mặt 
phẳng (α) có véctơ pháp tuyến là: 
  
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
, ; ; ; ;
b b b b b b
n a b a b a b a b a b a b a b 
Vectơ 

n xác định như trên gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ 

a 
và 

b , kí hiệu là
  
,n a b hoặc 
  
n a b 
2) Tính chất: 
@ 
 
;a b cùng phương 
  
, 0a b . 
@ 
     
, , ,a b a a b b . 
@ , . sin( , )a b a b a b
     
. 
3) Aùp dụng: 
 Diện tích tam giác: 
Trong hệ tọa độ Oxyz, diện tích ABClà: 
 
1
.
2
ABC
S AB AC 
Hoặc SABC = 
2
1 2 2AB AC (AB.AC)
2
 Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng: 
 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ 
  
, ,a b c đồng phẳng là: 
  
, . 0a b c . 
Thể tích khối hộp: 
 Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 
  
. . 'V AB AD AA 
 Thể tích tứ diện: 
 Thể tích của tứ diện ABCD bằng : 
6
1
ABCDV , .AB AC AD
  
Ví dụ1: Trong không gian cho 4 điểm 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
4 
0;3;00;0;35;1;13;0;0 DCBA , , , 
a) Tính diện tích tam giác ADC. 
b) CMR : 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. 
Giải : 
a) Ta có 3;0; 3 , 0; 3; 3AC AD
 
 ; 9; 9;9AC AD
 
Do đó : 
1 9 3
 ; 
2 2
ADCS AC AD
 
b) Ta có 1;1;2AB

 ; . ( 9).1 ( 9).1 9.2 0AC AD AB
  
 các vectơ ; ;AC AD AB
 
 đồng phẳng 
Do đó 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. 
Ví dụ2: Trong không gian Oxyz, cho 2;1;2,0;1;1,2;1;1,1;0;1 DCBA 
a) CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện 
b) Tính đường cao DK của tam giác BCD. 
c) Tính góc CBD và góc (AB,CD). 
d) Tính thể tích tứ diện ABCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện ABCD qua 
đỉnh A. 
Giải: 
a) 
  
2;1;1 , 2;1; 1 , 1; 1; 3AB AC AD 
1 1 1 2 2 1
, ; ; 2; 4;0 , . 2.1 4( 1) 0.( 3) 2 0
1 1 1 2 2 1
AB AC AB AC AD
    
 Suy ra ba vectơ 
  
; ;AB AC AD không đồng phẳng. Do đó A, B, C, D là bốn đỉnh 
của một tứ diện. 
b) Ta có: 
BC
S
DKBCDKS BCDBCD
2
.
2
1
, 
 
(0;0; 2), (3; 2; 4)BC BD 
2 2 2
0 2 2 0 0 01 1
; 13
2 4 4 3 3 22 2
BCDS BC BD
 
, 
2)2(00 222BC 
Do đó: 13
2
132
DK . 
c) 
.
cos cos ;
.
BC BD
CBD BC BD
BC BD
 
 
29
294
)4()2(3.2
)4).(2()2.(03.0
222
Vậy: 

CBD = với 
29
294
cos . 
 Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD 
00 900 . Khi đó bằng hoặc bù 
với 
 
;AB CD , ta có : 
 
  .
5 102
cos cos ;
. 51
AB CD
AB CD
AB CD
. 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
5 
d) Thể tích của tứ diện ABCD bằng một phần sáu thể tích của hình hộp có ba cạnh xuất 
phát từ A: AB, AC, AD. 
6
1
ABCDV
  
1 1
, . .2
6 3
AB AC AD . Gọi AH là đường cao của tứ diện kẻ từ A. 
Ta có: AHSV BCDABCD .
3
1
3
13.3
BCD
ABCD
S
V
AH . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 
Bµi 1 Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4), 
D(1;-2;6). 
a) Chøng minh A, B, C, D lµ c¸c ®Ønh cđa mét tø diƯn. 
b) TÝnh ®-êng cao cđa tam gi¸c BCD h¹ tõ D. 
c) TÝnh gãc CBD vµ gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng AB, CD. 
d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ ®-êng cao AH cđa tø diƯn. 
Bµi 2 Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). 
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. 
b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch tam gi¸c ABC. 
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. 
d) TÝnh ®é dµi ®-êng cao cđa tam gi¸c ABC h¹ tõ ®Ønh A. 
e) TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC. 
V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
. TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
Phương trình mặt cầu : 
Dạng 1: Trong không gian Oxyz. Mặt cầu S tâm , ,I a b c , bán kính R có phương trình: 
2 2 2
2
x a y b z c R 
* Nếu 0;0;0OI thì PT mặt cầu S là : 
2 2 2 2
x y z R 
Dạng 2: Trong không gian Oxyz, phương trình: 
2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D với 
2 2 2 0A B C D 
là phương trình mặt cầu tâm , ,I A B C và bán kính 2 2 2R A B C D 
 Chú ý : các hệ số của x
2
, y
2
, z
2
 đều bằng 1. 
Bài tốn 1: Cho mặt cầu cĩ phƣơng trình: 
x
2
 + y
2
+ z
2
+ A1x+ B1y + C1z + D1 = 0 
Tìm tâm và bán kính mặt cầu. 
Phương pháp: 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
6 
Ta có : 
1
1
1
1
1
1
A
A
22A A
B
2B B B
2
2C C
C
C
2
 tâm , ,I A B C và bán kính 2 2 2R A B C D . 
Ví dụ1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình : 
2 2 2
4 2 6 5 0x y z x y z 
Giải : 
Ta có:
2 4 2
2 2 1 
2 6 3
A A
B B
C C
, bán kính 35)3(1)2( 222R , tâm I(2; 1; 3) 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: 
1) 2 2 2 4 6 5 0x y z x y . ĐS: T©m I(2 ;-3 ; 0) vµ R=3 2 
2)
2 2 2 8 2 1 0x y z x z . ĐS: T©m I (4;0;-1) vµ R=4. 
Bài tốn 2: Viết phƣơng trình mặt cầu 
Phương pháp: 
Để viết phương trình mặt cầu, ta cần tìm tâm và bán kính 
 Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) đi qua M1(x1;y1;z1) có bán kính là: 
R = IM1 = 
2 2 2(x a) (y b) (z c)1 1 1 
 Mặt cầu (S) có đường kính AB thì tâm I là trung điểm của AB 
+ I(
x xBA
2
;
y yBA
2
;
z zBA
2
) và 
+ Bán kính R = IA. 
 Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. 
+ Viết phương trình dạng tổng quát mặt cầu (S): 
x
2
 + y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1) 
+ Lần lượt thay toạ độ của 4 điểm A, B, C, D vào (1) rồi giải hệ 
phương trình để tìm các hệ số A; B; C; D trong phương trình (1) 
 Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) thì bán kính 
mặt cầu là R = d(I; ( )). 
VÝ dụ 2: LËp ph-¬ng tr×nh mỈt cÇu: 
1) T©m I(2; 2; -3) vµ R = 3 
2) Qua A(3; 1; 0); B(5; 5; 0) vµ t©m I thuéc Ox 
3) Qua 4 ®iĨm A(1; 4; 0);B(-4; 0; 0); C(-2; -2; 0) vµ D(1; 1; 6) 
4) §-êng kÝnh AB víi A(1; -3; 5); B(-3; 4; -3) 
Gi¶i: 
1) Ta cã ph-¬ng tr×nh mỈt cÇu lµ      2 2 22 2 3 9x y z      
2) Ta cã t©m I(a; 0; 0) Do Mc (S) ®i qua A vµ B nªn ta cã IA = IB = R =>IA2 = IB2 
     2 23 1 5 25 10 10;0;0 5 2a a a I R           
 Vậy  2 2 2( ) : 10 50S x y z    . 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
7 
 3) Gi¶ sư ph-¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) lµ x2+ y2+ ... ïc ta (*) vào thay 1,- 4 Chọn
04
02622
02577 zyx 
b) PTTQ của mp có dạng (*) 
 Vì mp //Oy nên hệ số của y trong (*) bằng 0, tức là: 03 
: được ta (*) vào tahy 1,3 Chọn 
0527 zx 
c) PTTQ của mp có dạng (*) 
VTPT của ;3;2: 1n 
VTPT của 3;2;2: 23 n 
Ta có: 0. 213 nn 
:được ta (*) vào thay ,1 Chọn 3
03
03322.2
07285 zyx 
Ví dụ2: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và ' lần lượt có phương trình: 
 : 
x 1 t
x 2z 2 0
' : y 2 t
y 1 0
z 2t
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua và vuông góc với ’. 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
21 
Giải 
mp (P) thuộc chùm mặt phẳng chứa ( ) nên phương trình có dạng: 
 m(x + 2z + 2) + n(y + 1) = 0 mx + ny + 2mz + 2m + n = 0 (m
2
 + n
2
 0) 
Vì ( ') (P) nên vectơ chỉ phương b

 = (1; –1; 2) của ( ') cùng phương với vectơ 
pháp tuyến là n

 = (m; n; 2m) của (P). 
Tức là: 
m n 2m
1 1 2
Chọn m = 1; n = –1 ta được phương trình của (P): 
(P): x – y + 2z + 1 = 0. 
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng ( ) lần lượt có phương trình : 
c
zz
b
yy
a
xx 000: 
( ) : Ax + By + Cz + D = 0 
 cắt ( ) a.n 0
 
 Aa + Bb + Cc 0. 
 // ( ) 
a.n 0
M ( )
 
0
0
000 DCzByAx
CcBbAa
 ( ) 
a.n 0
M ( )
 
0
0
000 DCzByAx
CcBbAa
 ( ) a : b : c = A : B : C. 
Ví dụ: 
Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( ), tìm giao điểm của chúng nếu cắt nhau. 
 :)( ; 
010
25
21
2
: z-yx
tz
ty
tx
Giải : 
Đường thẳng có VTCP 2;2;2a

Mặt phẳng ( ) có VTPT 1;1;1n

Ta có 2 : 2 : 2 = 1 : 1 : 1 ( ) 
Tham số t ứng với giao điểm M của và ( ) là nghiệm của phương trình: 
3
2
01025212 tttt 
Thay 
3
2
t vào phương trình của , ta được : 
3
19
3
7
3
4
zyx , , 
Vậy : 
3
19
;
3
7
;
3
4
M 
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 
Trong không gian Oxyz. Cho đường thẳng đi qua 0M có vectơ chỉ phương a

 và 
một điểm 1M . Khoảng cách từ điểm 1M đến đường thẳng được xác định bởi : 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
22 
0 1
1
 ; 
;
a M M
d M
a
 
 
Ví dụ 2: 
Tính khoảng cách từ điểm 1;3;21M đến đường thẳng :
2
1
2
1
1
2 zyx
. 
Giải : 
Đường thẳng qua 2;1;20M và có vectơ chỉ phương 1;2; 2a

0 1 4;2;2M M

Ta có: 0 1; 8;10;6M M a
 
2 2 2
0 1
1
2 2 2
 ; ( 8) 10 6 10 2
;
3 1 2 ( 2)
a M M
d M
a
 
 . 
V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG TTHẲNG CHÉO NHAU: 
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1, 2 chéo nhau. Đường thẳng 1 
đi qua 1M có vectơ chỉ phương 1a

, đường thẳng 2 đi qua 2M và có vectơ chỉ phương 
2a

. Khoảng cách giữa 1 và 2 là: 
1 2 1 2
1 2
1 2
 ; . 
;
 ; 
a a M M
d
a a
  
  
Ví dụ 3 : 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 : 
 ; 
tz
ty
tx
z
ty
tx
3
32
32
:
1
1
1
: 21 . 
Giải : 
1 đi qua 1 1; 1;1M và có vectơ chỉ phương 1 1; 1;0a

2 đi qua 2 2; 2;0M và có vectơ chỉ phương 2 3;3;3a

Ta có 
1 2 1; 1; 1M M

 và 1 2; 3; 3;0a a
 
 1 2 1 2; .a a M M
  
= 0 
Vậy : 
1 2 1 2
1 2
1 2
 ; . 
;
 ; 
a a M M
d
a a
  
  = 0. 
VI. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: 
Cho hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có phương trình: 
1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
: ; :
x x y y z z x x y y z z
a b c a b c
Gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2, ta có : 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
23 
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos os( , )
. .
a a a a b b c c
c a a
a a a b c a b c
 
 
  
* 1 2 212121 ccbbaa = 0 
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng: 
 , 
tz
ty
tx
tz
ty
tx
24
31
2
:
43
1
21
: 21 
Giải: 
Vectơ chỉ phương của 1 : 1 2;1;4a

Vectơ chỉ phương của 2 : 2 1;3;2a

. Do đó góc giữa 1 và 2 là: 
294
9
23)1(.412
2.43.1)1.(2
cos
222222
. 
VII. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : 
Cho đường thẳng và mặt phẳng ( ) lần lượt có phương trình : 
0:)(
: 000
DCzByAx
c
zz
b
yy
a
xx
Gọi là góc giữa đt và mp( ), ta có : 
2 2 2 2 2 2
sin os( , )
.
Aa Bb Cc
c a n
A B C a b c
 
* // ( ) hoặc ( ) Aa + Bb + Cc = 0 
Ví du 1ï: Tính góc giữa đường thẳng và mp( ): 
07-z )
 , , 
2:(
2425:
yx
tztytx
Giải: 
Vectơ chỉ phương của : 1;1; 2a

Vectơ pháp tuyến của ( ) : 1; 1; 2n

. 
Do đó góc giữa và( ) là : 
2
1
2)1(1.211
2.2)1.(11.1
sin
2
22
2
22
 = 30
0
Ví du 2ï : 
 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;2;6), B(3; -1, 0), C(0,-7,0), D(-2,1; -1) 
 a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
 b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, D và mp(ABC) 
GIẢI 
a/ Viết phương trình mp (ABC) 
(0;3;6); ( 3; 6;3)
1
, ( ) : , (5, 2,1)
9
BA BC
Vtpt mp ABC n BA BC
 
   
Vậy Phương trình mp(ABC) : 5(x-3)-2(y-2) +(z-6) = 0 5x –2y +z –17 = 0. 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
24 
b/ Ta có ( 5; 1; 7)a AD
 
 là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD 
 Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC), 
0 00 90 thì : 
sin 
. 25 2 7 10
575 30
a n
a n
 
  
VIII. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG : 
Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ) có phương trình : 
0'''':)(
0:)(
DzCyBxA
DCzByAx
Gọi là góc giữa ( ) và ( ), ta có : 
222222 '''.
'''
cos
CBACBA
CCBBAA
Ví dụ: Tính góc giữa hai mp( ) và mp( ) : 
032:)(2:( zyxyx 0;4z ) 
Giải: 
Vectơ pháp tuyến của ( ) : 
1 1;2;1n

Vectơ pháp tuyến của ( ) : 
2 1; 1; 2n

Do đó góc giữa ( ) và ( ) là : 
2
1
)2()1(1.121
)2.(1)1.(21.1
cos
222222
 = 60
0 
IX. GIAO CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU: 
Trong không gian Oxyz cho mp( ) và mặt cầu S lần lượt có phương trình: 
2222:)(
0:)(
RczbyaxS
DCzByAx
Gọi H là hình chiếu của I lên ( ), ta có: 
;IdIH 
 )()()(: CSRIH (mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến 
là đường trịn ( )C ) 
22,)( IHRrHC kính bán tâm đ.tròn : 
Phương trình đường tròn ( )C là: 
2 2 2
2
2 2 2
0 
 với 
Ax By Cz D Aa Bb Cc D
R
x a y b z c R A B C
 HSRIH )()(: (mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau) 
( ) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H 
 )()(: SRIH (mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) khơng cĩ điểm chung) 
 ( ) không có điểm chung với (S) 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
25 
Bài tốn 1: Cho mặt cầu (S) và điểm H (S) 
Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm H: 
+) Xác định tâm của mặt cầu (S) 
+) Tính IH 
+) Mặt phẳng tiếp diện ( ) qua H nhận IH làm VTPT. 
Bài tốn 2: Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S), biết ( ) (S) (C) 
Xác định tâm H và bán kính r của đƣờng trịn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt 
phẳng( ). 
+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) 
+) Bán kính r = 
2 2R [ ; )]d(I 
+) Xác định H: 
 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I nhận n làm VTCP 
(d) 
x a At
y b Bt
z c Ct
 (1) 
 Thay x, y, z từ (1) vào phương trình mp( ) tìm t; 
 Thay t vào (1) tìm được toạ độ điểm H. 
Bài tốn 3: Xác định vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng: 
( ) : A x + B y + Cz +D = 0 ; 
và mặt cầu: (S): (x a)2 + (y b)2 +(z c)2 = R2 
Phƣơng pháp: 
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) 
+) Tính d(I; ( )) = 
 Nếu d(I; ) > R thì ( ) và (S) không có điểm chung ( rời nhau) 
 Nếu d(I; ) = R thì ( ) tiếp xúc với (S) tại H 
(Khi đó, ta viết được phương trình tiếp diện theo bài toán 1) 
 Nếu d(I; ) < R thì ( ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) 
tâm H; bán kính r. Phương trình đường tròn (C) là: 
0
( ) ( ) ( )2 2 2 2
Ax By Cz D
x a y b z c R
(Khi đó, ta tìm được tâm H và bán kính r của (C) theo bài toán 2) 
Ví dụ1: Xét vị trí tương đối của (S) và ( ): 
012:)(
05426:)( 222
zyx
zyxzyxS
Giải : 
Ta có: 3
2
1
3
42
22
62
R
c
b
a
c
b
a
và 
Do đó: 
3
6
121
5)2.(11.23.1
)(;
222
Id . 
Vì (C)(S))( nên 3
3
6
)(; RId 
Phương trình đường tròn (C) là: 
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
26 
012
05426222
zyx
zyxzyx
Ví dụ2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường tròn (C) có phương trình: 
2 2 2
(x 2) (y 3) (z 3) 5
x 2y 2z 1 0
Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C). 
Giải: 
1. Tìm tâm và bán kính của (C) 
Gọi (S) là mặt cầu: 
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 5 
(S) có tâm I(2, –2, –3); bán kính R = 5 . 
Gọi (P) là mặt phẳng: x – 2y + 2z + 1 = 0. (P) có pháp vectơ là n

 = (1, –2, 2). 
Khi đó (C) = (S) (P) nên tâm J của (C) chính là hình chiếu vuông góc của I lên 
(P). 
Đường thẳng (d) qua I vuông góc với (P) nhận n

 là vectơ chỉ phương và có 
phương trình tham số là: 
x 2 t
y 3 2t (t R)
x 3 2t
Lúc đó J = (d) (P). Thay phương trình của (d) vào (P) ta được: 
(2 + t) – 2(–3 –2t) + 2(–3 + 2t) + 1 = 0 t = 1
3
Suy ra: J
5 7 11
; ;
3 3 3
2. Bán kính r của (C) được xác định bởi: 
r = 
2 2
R IJ 5 1 2 
Kết luận: * Tâm của (C) là J
5 7 11
; ;
3 3 3
 * Bán kính của (C) là r = 2. 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho đường tròn (C) xác định 
bởi hệ phương trình: 
2 2 2
x y z 4x 6y 6z 17 0
x 2y 2z 1 0
1. Tìm tọa độ của tâm đường tròn (C) và tính bán kính của đường tròn đó. 
2. Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng : 
x + y + z + 3 = 0 
Giải: 
 (C) : 
2 2 2
x y z 4x 6y 6z 17 0 (1)
x 2y 2z 1 0 (2)
 Chương trình luyện thi năm học 2008 – 2009 
 
 
27 
1. (1) xác định mặt cầu tâm I(2, –3, –3), bán kính R = 5 (đvđd). Tâm J của (C) 
chính là hình chiếu vuông góc của I trên mp(P) : x – 2y + 2z + 1 = 0 xác định bởi (2) với 
pháp vectơ là n

 = (1, –2, 2). Ta có: 
J
J J J
J
J J y
J
5
x
3
x 2 y 3 z 3
7IJ n
y1 2 2
3J (P)
x 2y 2z 1 0
11
z
3
 
Do đó: J
5 7 11
; ;
3 3 3
Bán kính r của (C) được cho bởi: 
 r = 
2 2
R IJ = 2 (đvđd) 
2. Gọi (S) là mặt cầu lập phương trình. (S) chứa (C) nên có phương trình dạng: 
(S) : x
2
 + y
2
 + z
2
 – 4x + 6y + 17 + a(x – 2y + 2z + 1) = 0 (Với số thực a nào đó). 
 (S) : x
2
 + y
2
 + z
2
 – 2
a
2
2
x – 2(a – 3)y – 2(–3 – a)z + (17 + a) = 0 
Tâm của (S) là K
a
2 , a 3, 3 a
2
. Do K thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0 nên: 
 2 – 
a
a 3 3 a 3 0 a 2
2
Vậy (S) : x
2
 + y
2
 + z
2
 – 6x + 10y + 2z + 15 = 0.