Chương I: Một số dạng toán thi học sinh giỏi “giải toán trên máy tính điện tử casio”

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
“GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”
	Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính điện tử Casio”. Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở mỗi tỉnh gồm 5 thí sinh. Những thí sinh đạt giải được cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được bảo lưu kết quả trong suốt cấp học. Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài 5 điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm trong 150 phút.
	Quy định: Thí sinh tham dự chỉ được dùng một trong bốn loại máy tính (đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép sử dụng trong trường phổ thông) là Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS.
	@ Yêu cầu các em trong đội tuyển của trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên chỉ sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS. 
	@ Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các ví dụ và bài tập của tài liệu phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính. 
	@ Các dạng toán sau đây có sử dụng tài liệu của TS.Tạ Duy Phượng – Viện toán học và một số bài tập được trích từ các đề thi (đề thi khu vực, đề thi các tỉnh, các huyện trong tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ 2.
A. SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
I. Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH 
	Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian. Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ của máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ.
Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: 
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e.Tìm x biết: 
	f. Tìm y biết: 
Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a. 
b. 
Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị)
a. Tìm 12% của biết: 
b. Tính 2,5% của 
c. Tính 7,5% của 
d. Tìm x, nếu: 
Thực hiện các phép tính:
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
k. 
Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính:
a. 
b. 
Bài 5: (Thi khu vực 2001)
a. Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: 
b. Tính giá trị của biểu thức sau: 
c. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Nhận xét: @ Dạng bài kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này. Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện. Để tránh vấn đề này yêu cầu trước khi dùng máy tính để tính cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ.
	Ví dụ: Tính T = 
Dùng máy tính trực tiếp cho kết quả là: 9,999999971 x 1026
Biến đổi: T=, 
	Dùng máy tính tính =999 999 999
	Vậy 
	Như vậy thay vì kết qủa nhận được là một số nguyên thì thế trực tiếp vào máy tính ta nhận được kết quả là số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số của a).
	@ Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, trong các kỳ thi cấp khu vực dạng này chiếm khoảng 20% - 40%.
	@ Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862;  thí sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó.
II. Dạng 2: ĐA THỨC
Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức 
	Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
	Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
	Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
	Giải trên máy: 	- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: 	@ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
	Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
	@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
	Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= 
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6.
- Giải - 
Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
	Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
	Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. 
Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét: 	@ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, .
	@ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. 
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9) 
a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
a. Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13). 
Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm  ...  10 : Tìm nghiệm của phương trình :x - 
Bài 11 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình : 8x3 + 32x – 17 = 0
Bài 12 : Cho 0 < x < . Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình cosx – tgx = 0.
Đề 24:
(Sở GD - ĐT Đồng Nai - 1998)
Bài 1 : Giải phương trình (ghi kết quả đủ 9 số lẻ thập phân) : 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0
 1,372x – 4,915y = 3,123
 8,368x + 5,214y = 7,318 
Bài 2 : Giải hệ phương trình (ghi kết quả đủ 9 số lẻ thập phân) : 
Bài 3 : Tìm số dư trong phép chia : 
Bài 4 : Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp qua 5 đỉnh ).
Bài 5 : Cho là góc nhọn có sin = 0,813. Tìm cos 5.
x2 - y2 = 1,654
Bài 6: Tìm thời gian để một động tử di chuyển hết đoạn đường ABC dài 127,3 Km biết AB = 75,5km và được di chuyển với vận tốc 26,3km/giờ và đoạn BC được di chuyển bằng vận tốc 19,8km/giờ.
Bài 7 : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình
Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 15, BC = 26(cm). Kẻ đường phân giác trong BI ( I nằm trên AC) . TÍnh IC.
Bài 9 : Tính (Kết quả được ghi bằng phân số vàsố thập phân) : A = 
Bài 10 : Cho số liệu : 
Số liệu
173
52
81
37
Tần số
3
7
4
5
	Tìm số trung bình , phương sai ( Kết quả lấy 6 số lẻ)
Câu 11 : Tính B = 
Câu 12 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x3 + 5x – 2 = 0
Câu 13: Tính C = 
Câu 14 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x + 
Câu 15 : Cho hình thang cân có hai đường cheo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm. Tìm độ dài đáy lớn.
Đề 25
(Vòng chung kết Sở GD – ĐT Đồng Nai - 1998)
Bài 1 : Giải phương trình (ghi kết quả đủ 9 số lẻ thập phân) : 2,354x2 - 1,542x - 3,141 = 0
Bài 2 : Giải hệ phương trình (ghi kết quả đủ 9 số lẻ thập phân) : 
Bài 3 : Tìm số dư trong phép chia : 
Bài 4 : Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp qua 5 đỉnh ).
Bài 5 : Cho là góc nhọn có sin = 0,813. Tìm cos 5.
Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 8,32 ; b = 7,61; c = 6,95 (cm). Tính góc A bằng độ, phút, giây:
Bài 7 : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình
Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 15, BC = 26(cm). Kẻ đường phân giác trong BI ( I nằm trên AC) . Tính IC.
Bài 9 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình : x9 + x – 7 = 0
Bài 10. Cho số liệu : 
Số liệu
173
52
81
37
Tần số
3
7
4
5
	Tìm số trung bình , phương sai ( Kết quả lấy 6 số lẻ)
Câu 11 : Tính B = 
Câu 12 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x3 + 5x – 2 = 0
Câu 13 : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 15,637 ; b = 13,154; c = 12,981 (cm). Ba đường phân giác trong cắt ba cạnh tại A1, A2, A3 Tính diện tích của tam giác A1A2A3
Câu 14 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x + 
Câu 15 : Cho hình thang cân cóa hai đường cheo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm. Tìm độ dài đáy lớn.
Đề 26
(Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh - 1998)
Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia : (Kết quả lấy 3 số lẻ ) :
Bài 2 : Giải Phương trình (ghi kết quả 7 số lẻ): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0518 = 0
Bài 3 :
	Bài 3.1 : Cho tam giác ABC có 3 cạnh a = 12,357; b= 11,698; c = 9,543 (cm). Tính độ dài đường trung tuyến AM.
	Bài 3.2 : Tính sinC 
Bài 4 : Cho cosx = 0,8157. Tính sin3x (00 < x < 900)
Bài 5 : Cho 00 < x < 900 vàsinx = 0,6132. Tính tgx.
Bài 6 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình : 3x - .
Bài 7 : Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1,678, công bội q = . Tính tổng Sn của 17 số hạng đầu tiên (kết qủa lấy 4 số lẻ).
Bài 8 : Qua kỳ thi, 2105 học sinh xếp theo điểm số như sau. Hãy tính tỷ lệ phần trăm (lấy một số lẻ) học sinh theo từng loại điểm. Phải ấn ít nhất mấy lần phím chia để điền xong bảng này với máy tính Casio có hiện K.
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số h/s
27
48
71
293
308
482
326
284
179
52
35
Tỉ lệ
x2 - y2 = 1,654
Bài 9 : Cho hình thang cân có hai đường cheo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài 13,72. Cạnh bên dài 21,867cm. Tính diên tích S (S lấy 4 số lẻ).
Bài 10 : Cho x,y là hai số dương, giải hệ phương trình : 
Bài 11 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là 3,9017 và 1,8225 (cm). Tìm khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn này.
Bài 12 : Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7,615; b = 5,837; c = 6,329 (cm) Tính đường cao AH.
 Đề 27
(Vòng chung kết Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh - 1998)
Bài 1 : Giải phương trình (ghi kết quả đủ 9 số lẻ thập phân) 
Bài 2: Giải hệ phương trình (ghi kết qủa đủ 9 số lẻ thập phân):
Bài 3: Giải phương trình (tìm nghiệmgần đúng) : x3 + 2x2 – 9x + 3 = 0
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , biết trung đoạn d = 3,415(cm). Góc giữa hai cạnh bên và đáy bằng 42017’. Tính thể tích.
Bài 5 :
Bài 5.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,758; b = 11,932; c = 9,657(cm). Tính độ dài đường phân giác trong AD.
Bài 5.2 : Vẽ các đường phân giác trong CE, CF. Tính diện tích S1 của tam giác DEF.
Bài 6 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x3 – 2xsin(3x-1) + 2 = 0.
Bài 7 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn bán kính R với cạnh a = 3,657; b= 4,155; c = 5,651; d = 2,765(cm). Tính R.
Bài 8 : Tìm nghiệm âm gần đúng của phương trình :x10 – 5x3 + 2x – 3 = 0
Bài 9 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình :
Bài 10 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 7,268 (cm) các góc B = 48030’; C = 63042’. Tính diện tích tam gác ABC.
Bài 11 : Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh là 18, 34, 56, 27 (cm) và = 2100. Tính diện tích tứ giác.
Đề 28
(Thành đoàn thanh niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996)
Bài 1 : Tính x = 
Bài 2 : Giải phương trình : 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
Bài 3 : Tính A = Khi x = 1,8156
Bài 4 : Cho số liệu : 
Biến lượng
135
642
498
576
637
Tần số
7
12
23
14
11
	Tính tổng số liệu, số trung bình và phương sai ( lấy 4 số lẻ).
Bài 5 : Hai lực F1 = 12,5N và F2 = 8N có hợp lực bằng trung bình cộng của chúng. Tìm góc hợp bởi hai lực ấy (Tính bằng độ phút)
Bài 6: Một viên đạn được bắn từ nòng súng theo góc 40017’ đối với phương nằm ngang với vận tốc 41,7m/s. Cho g = 9,81m/s2, hãy tính khoảng cách từ nơi bắn đến chỗ đạn rơi.
Bài 7 : Tính độ cao của viên đạn đạt được ở câu 6
Bài 8 : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 ( ba góc đều nhọn). Tính sin(A+ B-C).
Bài 9 : Tìm n để n! 5,5.1028 (n+1)!
Bài 10 : Một số tiền là 580000đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền lãi được cộng thành vốn) sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155đ. Tính lãi suất /tháng (tiền lãi của 100đ trong một tháng).
Bài 11 : 
Bài 11.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m. Tính đường cao AH bà bán kính r của đường tròn nội tiếp.
Bài 11.2 : Tính đường phân giác trong AD của tam giác ABC.
Bài 12 : Tìm một nghiệmgần đúng của phương trình : x2 + sinx – 1 = 0
Bài 13 : Tìm một nghiệmgần đúng của phương trình : 2x3 + 2cosx + 1 = 0
Bài 14 : Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong đường tròn bán kính R = 5,712.
Bài 15 : Cho tam giác ABC có ; . Cạnh BC = 18,53 cm. Tính diện tích.
Bài 16 : Một viên đạn được buộc chặt vào một sợi dây dài 0,87m. Một người cầm đầu dây kia của dây phải quay bao nhiêu vòng trong một phút nếu sợi dây vẽ nên hình nón có đường sinh tạo với phương thẳng đứng 1 góc là 52017’. Biết g = 9,81m/s2.
Đề 29
(Thành đoàn thanh niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996. Vòng chung kết)
Bài 1 : Giải phương trình tìm nghiệm gần đúng : x3 – 7x + 4 = 0
Bài 2 : Cho tam giác ABC có chu vi là 58cm, ; . Tính độ dài các cạnh AB, BC, AC.
Bài 3 : Một hình vuông được chia thành 16 ô (mỗi cạnh 4 ô). Ô thứ nhất được đặt một hạt thóc, ô thứ hai được đặt 2 hạt , ô thứ ba được đặt 4 hạt, . . . .và đặt liên tiếp như vậy đến ô cuối cùng(Ô tiếp theo gấp đôi ô trước). Tính tổng hạt thóc được đặt vào 16 ô hình vuông.
Bài 4 : Một vật trượt có ma sát trên mặt phẳng nghiêng góc 43025’ so với mặt nằm ngang với gia tốc 3,248m/s2. cho g= 9,81m/s2. Tính hệ số ma sát.
Bài 5 : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ông đắp 5m/người, nhóm đàn bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người. Tính số người của mỗi nhóm.
Bài 6 : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính :	sin3x và cos7x
Bài 7 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình x2 – tgx – 1 = 0 ( lấy 3 số lẻ)()
Bài 8 : Tính gia tốc rơi tự do ở độ cao 25km biết bán kính trái đất R = 64000km và gia tốc g = 9,81m/s2.
Bài 9 : Cho –1 < x < 0. Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : cosx + tg3x = 0.
Bài 10 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : 2cos3x – 4x – 1 = 0.
Bài 11 : Cho tgx = 2,324. Tính A = 
Bài 12 : Tìm một nghiệm của phương trình : 
Bài 13 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình x6 - 15x – 25 = 0
Bài 14 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình x2 - x2 +7x + 2 = 0
Bài 12 : Tính bằng ( độ và phút) góc hợp bởi hai đường cheo của tứ giác lồi nội tiếp được trong đường tròn và có các cạnh là : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68. 
Bài 14 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình x2 - - 1 = 0
Đề 30
(Thành đoàn thanh niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996. Vòng chung kết)
Bài 1 : Tính thể tích V của hình cầu bán kính R = 3,173.
Bài 2 :
	Bài 2.1 : Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 3,74, AC = 4,51. Tính đường cao AH.
	Bài 2.2 : Tính góc B của tam giác ABC bằng độ và phút.
Bài 2.3 : Kẻ đường phân giác của góc A của tam giác ABC cắt BC tại I. Tính AI.
Bài 3 : Cho số liệu : 
Số liệu
7
4
15
17
63
Tần số
2
1
5
9
14
	Tìm số trung bình , phương sai 
Bài 4 : Cho hàm số y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1. Tính y khi x = 1,35627
Bài 5 : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6. Tình tọa độ (xo ; yo) của đỉnh S của Parabol.
Bài 6 : Tìm giao điểm của Parabol (P) với trục hoành.
Bài 7 : Tính bán kính hình cầu có thể tích V= 137,45dm3
Bài 8 : Cho sinx = 0,32167 (0o < x < 900 ). Tính A = cos2x – 2sinx- sin3x
Bài 9 : Tính B = 
Câu 10 : Tính diện tích hình tròn nội tiếp trong tam giác đều có cạnh dài a= 12,46.
Bài 11 : Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x - = 1