Chủ đề : Về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
 Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )
Hàm số bậc ba :
 Hàm số bậc bốn :
Hàm số 
Tập xác định : D = R
Đạo hàm : y’= . . . . . 
y’= 0 x = ?
Bảng biến thiên : 
 Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu .
y’’= . . . . . 
y’’= 0 x = ?
Bảng xét dấu y’’:
Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn .
Vẽ đồ thị : 
Tập xác định : D = R\
Đạo hàm : y’= 
 ( hoặc y’<0 ) , 
 y’ không xác định 
Tiệm cận :
. Tiệm cận đứng : 
.Tiệm cận ngang : 
Bảng biến thiên : 
 Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) . Hàm số không có cực trị
Vẽ đồ thị : 
Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số :
 a/ y= b/ y= c/ y= d/ y= 
 e/ y= f/ y = g/ h/ 
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là:
 y – y0 = y’ (x0) . ( x – x0 ) 
 Trong phương trình trên có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) .Nếu biết một trong ba số đó
 ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y0 = f (x0) ; y’(x0)= f ’(x0) 
Chú ý : 
y’ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x0) = a
Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x0) = 
Bài tập :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại giao điểm của nó với trục hoành 
 3/ Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
 a/ Tại điểm có hoành độ x0 = 
 b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 
 4/ Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
 a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung .
 b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1	
Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
 Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) , 
 Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).
 Cách giải :
Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m) 
Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :
 ( . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn .
 . Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm .
 . Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).
Bài 1: Cho hàm số :y=x3-3x2+3mx+3m+4, có đồ thị (Cm).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C0), khi m=0.
Dựa vào đồ thị (C0), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x3-3x2+4-a=0.
Tìm m để (Cm) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt. Đs:
Viết phương trình tiếp tuyến của (C0) tại M, biết xM=3. Đs:y=9x-23
Viết phương trình tiếp của (C0), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a):y=9x+2.
 Đs: y=9x-23, y=9x+9
BTVN: : Cho hàm số :y= -x3+mx2+(m-3)x-4, có đồ thị (Cm).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C3), khi m=3.
Dựa vào đồ thị (C3), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x3-3x2+4-a=0.
Tìm m để (Cm) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt. Đs:m3 và m6
Viết phương trình tiếp tuyến của (C3) tại M, biết xM=3. Đs:y= -9x+23
Viết phương trình tiếp của (C3), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a):y=x+2.
 Đs: y= -9x+23, y= -9x-9
Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục 0x. Đs: m= -6, m= -5, m=3.
Một đường thẳng (d) đi qua N(-1;0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C3).
Bài 2 Cho hàm số y=x4-4x2+3, có đồ thị (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Tìm a để y= -2x2 +a tiếp xúc (C).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x.
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2-m2+3m+4=0
BTVN: Cho hàm số y= -x4+4x2-3, có đồ thị (C).
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Tìm a để y= -2x2 +a tiếp xúc (C).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x.
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2-m2+3m+4=0
Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x, đồ thị (C) quay quanh trục 0x.
Bài 3: Cho hàm số ,(C)
Khảo sát và vẽ (C).
Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2+4a2-4=0
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x và đồ thị (C) khi (H) quay quanh trục 0x.
Bài4:Cho hàm số y=
Khảo sát và vẽ (C0), khi m=0.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C0), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):2x-y+3=0
Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi (C0), x= (<0), x=0, trục 0x quay quanh trục 0x. Tìm để V0x=2.
Tìm m để (Cm) giảm trên từng khoảng xác định.
BTVN: Cho hàm số y=
Khảo sát và vẽ (C1), khi m=1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C1) được kẻ từ A(-3;0).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):x+3y+2005=0
Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C1) được kẻ từ M(-1;1).
Chứng minh đồ thị nhận điểm M làm tâm đối xứng.
Tìm m để (Cm) tăng trên từng khoảng xác định.
Tìm m để (Cm) tăng trên khoảng (-1;+).
Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
 Bài toán: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Khoảng (a ; b ) 
Đoạn [a;b ]
Tính y’ 
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
Kết luận : 
 hoặc 
Tính y’ 
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
 Chọn số lớn nhất M , kết luận :
 Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :
Bài tập
5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
 a/ trên b/ trên 
 c/ trên e/ trên 
 f/ trên tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] 
 h/ y = x + 2 trên m/ y= trên