Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

Chủ đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
1. Các bài toán tính toán.
Loại 1. Tính các khoảng cách (giữa hai điểm, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, từ 1 điểm đến 1 đường
 thẳng, giữa hai đường thẳng). Tính (độ dài các cạnh, chu vi, diện tích, đường cao, bán kính 
 đường tròn ngoại tiếp tam giác,....). 
Loại 2. Tính thể tích các khối (tứ diện, chóp, hộp,...) và tính chiều cao của các khối đó.
Loại 3. Tính góc giữa ( 2 vectơ, 2 đường thẳng, 2 mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng).
Phương pháp: Aùp dụng công thức (xem bảng tóm tắt các công thức)
2. Các bài toán chứng minh.
Dùng vectơ (cùng phương, tích vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp) chứng minh (một hệ thức vectơ, 3 điểm A, B, C thẳng hàng, 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện, tính song song, tính vuông góc).
Phương pháp: Aùp dụng các mệnh đề (xem bảng tóm tắt các công thức)
3. Các bài toán về mặt phẳng 
Bài toán 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi biết: 
Loại 1a. ( 16 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến º đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng º đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng º mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng º đi qua 3 điểm không thẳng hàng º đi qua 2 điểm phân biệt và vuông góc với 1 mặt phẳng º mặt phẳng theo đoạn chắn º đi qua 1 điểm, song song với 1 đường thẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng º đi qua 1 điểm và qua giao tuyến của 2 mặt phẳng (qua 1 điểm và 1 đường thẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và song song với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và song song với 1 đường thẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng (qua 1 đường thẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và song song với 1 mặt phẳng (qua 1 đường thẳng và song song với 1 mặt phẳng) º mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt phẳng º mặt phẳng phân giác của góc chứa 1 điểm cho trước nằm trong miền của góc tạo bởi 2 mặt phẳng º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm (tiếp diện) º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và song song với 1 mặt phẳng. 
Loại 1b. ( 11 dạng bổ sung) º chứa 2 đường thẳng song song º chứa 2 đường thẳng cắt nhau º qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng chéo nhau º song song với 1 mặt phẳng và cách 1 điểm một khoảng d º song song với 1 mặt phẳng và chúng cách nhau 1 khoảng d cho trước º song song với 2 đường thẳng chéo nhau và cách đều hai đường thẳng đó º qua 2 điểm phân biệt và song song với 1 đường thẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng cắt nhau º tiếp xúc với mặt cầu và song song với 2 đường thẳng chéo nhau º chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với 1 mặt cầu º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và vuông góc với 1 đường thẳng)
❒ Phương pháp chung: 
Phương pháp 1 (dùng vectơ pháp tuyến )
Phương pháp 2 (dùng chùm mặt phẳng)
Cách 1. ( tìm được điểm M0 thuộc (P) )
b1. Tìm 1 VTPT của (P): 
b2. Tìm 1 điểm M0(x0; y0; z0)(P)
b3. ADCT (P): A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0) = 0
(thu gọn về dạng Ax+By+Cz+D = 0)
Cách 2. ( không tìm được điểm M0 thuộc (P) )
b1. Tìm 1 VTPT của (P): 
 (P): Ax+By+Cz+D = 0 (1)
b2. Tính D : tìm 1 yếu tố khác
b3. Kết luận (thay D = ? vào (1))
Cho (d): 
Với: f(x;y;z) = Ax+By+Cz+D 
 g(x;y;z) = A’x+B’y+C’z+D’
Mặt phẳng (P) chứa (d) hoặc (P) đi qua giao tuyến (d) của 2 mặt phẳng (α) và (β) 
b1. Mặt phẳng (P) có dạng
(P): m.f(x;y;z)+n.g(x;y;z) = 0 (m2+n2 ≠ 0)
b2. Tìm m và n (tùy theo đề bài)
b3. Kết luận 
Bài toán 2. Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 và (Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 
❒ Phương pháp: 
b1. Tìm: là VTPT của (P) và là VTPT của (Q)
b2. Xét sự cùng phương của 2 vectơ và . Tính: 
 ( )
 ( )
Kết luận: (P) và (Q) cắt nhau
i). Tính tỉ số: và so sánh với 
ii). Kết luận: + : (P) // (Q)
 + : (P) (Q) 
Notes: Ta có
º (P) cắt (Q) không cùng phương 
º (P) (Q) 
º (P) // (Q) 
Bài toán 3. Viết phương trình các mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng 
(P1): A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và (P2): A2x+B2y+C2z+D2 = 0
❒ Phương pháp: Aùp dụng công thức phương trình các mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt phẳng (P1) và (P2) 
Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M1(xM; yM; zM)
 tạo bởi 2 mặt phẳng (P1): A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và (P2): A2x+B2y+C2z+D2 = 0 
❒ Phương pháp:
Bổ đề 1. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A2+B2+C2 ≠ 0 )
 Ta có: f(M) = AxM + ByM + CzM + D và f(N) = AxN + ByN + CzN + D
 i). f(M).f(N) < 0 M, N khác phía đối với mặt phẳng (P)
 ii). f(M).f(N) > 0 M, N cùng 1 phía đối với mặt phẳng (P)
Cách 1. ( áp dụng bổ đề 1 )
b1. Đặt f(x;y;z) = A1x+B1y+C1z+D1 và g(x;y;z) = A2x+B2y+C2z+D2 
 , với (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Ta có:
b2. Kết luận: (tùy theo dấu của f(M).f(M1) và g(M).g(M1) mà chọn ra mặt phẳng cần tìm)
Bổ đề 2. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A2+B2+C2 ≠ 0 )
 Ta có: f(M) = AxM + ByM + CzM + D 
 i). f(M) > 0 Ax+By+Cz+D > 0
 ii). f(M) < 0 Ax+By+Cz+D < 0
Cách 2. ( áp dụng bổ đề 2 )
b1. Tính: 
 º Từ (P1) suy ra f(M) = A1xM + B1yM + C1zM + D1 
 º Từ (P2) suy ra g(M) = A2xM + B2yM + C2zM + D2 
b2. Kết luận: ( tùy theo dấu của f(M).g(M) mà chỉ ra mặt phẳng cần tìm theo bảng sau đây)
f(M).g(M) > 0
f(M).g(M) < 0
Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 
Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 
Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 
Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là 
Bài toán 5. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 (A2+B2+C2 ≠ 0)
❒ Phương pháp: H là hình chiếu của M lên (P) MH (P) tại H
b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P).
b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ: 
b3. Kết luận 
Bài toán 6. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A2+B2+C2 ≠ 0 )
❒ Phương pháp: M’ đối xứng với M qua (P) 
b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P).
b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ: 
b3. Tọa độ M’ : xM’ = 2xH –xM ; yM’ = 2yH –yM ; zM’ = 2.zH –zM
b3. Kết luận 
Bài toán 7. Cho hai điểm phân biệt A, B và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A2+B2+C2 0 )
 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất 
❒ Phương pháp 
b1. Xét vị trí của A, B với mặt phẳng (P)
 Tính: f(A).f(B) = ( AxA+ByA+CzA+D ).( AxB+ByB+CzB+D )
b2. Ta có: 
f(A).f(B) < 0 A, B khác phía đối với (P)
f(A).f(B) > 0 A, B cùng phía đối với (P) 
+ Ta có: AM+BM ≥ AB 
 AM+BM nhỏ nhất 
+ Viết phương trình (AB)
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ: 
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P). 
 Ta có: AM+BM = A’M+BM ≥ AB
 AM+BM nhỏ nhất A’M+BM nhỏ nhất 
+ Viết phương trình (A’B)
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ: 
b3. Kết luận tọa độ M
4. Các bài toán về đường thẳng (trong không gian)
Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng (d) khi biết:
Loại 1a. ( 14 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương º qua 2 điểm phân biệt º qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng º là giao tuyến của 2 mặt phẳng (bắt buộc) º là hình chiếu của 1 đường thẳng lên 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng º song song với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng khác º qua 1 điểm và cắt cả hai đường thẳng º nằm trong 1 mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng º là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau º vuông góc với 1 mặt phẳng và cắt cả 2 đường thẳng º đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai º qua giao điểm của 1 đường thẳng và mặt phẳng, nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đó (12/107sgk).
Loại 1b. ( 12 dạng bổ sung ) º là đường cao của tam giác º là đường trung trực của tam giác º là đường trung tuyến của tam giác º là các đường phân giác của tam giác º là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó) º qua trực tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó º đi qua 1 điểm, vuông góc và cắt 1 đường thẳng cho trước º đi qua 1 điểm, cắt 1 đường thẳng và song song với 1 mặt phẳng cho trước º đi qua 1 điểm và cùng song song với 2 mặt phẳng cho trước º là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cho trước º vuông góc với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng cho trước º đi qua 1 điểm, song song với 1 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
❒ Phương pháp chung:
phương pháp 1 ( vectơ chỉ phương )
phương pháp 2 ( giao tuyến )
Cách 1:
b1. Tìm 1 VTCP của (d): 
b2. Tìm 1 điểm M0(x0; y0; z0)(d)
b3. Kết luận (áp dụng công thức)
º PT tham số (d): 
º PT chính tắc (d): 
Cách 2: 
b1. Tìm hai điểm phân biệt A, B (d)
b2. Kết luận (áp dụng công thức)
(d): 
b1. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d)
(P): Ax+By+Cz+D = 0
b2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d)
(Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0
b3. Kết luận 
(d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
 (d): 
Bài toán 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d): 
 và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0
❒ Phương pháp 
phương pháp 1
phương pháp 2
b1. Tìm: º điểm M0d và 1 VTCP của d là 
 º 1 VTPT của (P) là 
b2. Tính: = ?
d cắt (P)
º Thay tọa độ M0 vào (P) 
i). M0 (P): d // (P)
ii). M0 (P): d (P)
b3. Kết luận 
b1. Viết phương trình tham số của (d)
b2. Thay phương trình tham số của (d) và (P). 
 Ta được: phương trình f(t) = 0 (1)
b3. Kết luận 
 º (1) vô nghiệm d // (P)
 º (1) vô số nghiệm d (P)
 º (1) có nghiệm t = t0 d cắt (P) 
Notes: Thay t = t0 vào phương trình tham số của (d) ta được tọa độ giao điểm của (d) và (P)
Notes: º M0d và là 1 VTCP của d º là 1 VTPT của (P). Ta có: 
º d cắt (P) và không vuông góc 
º d // (P) và điểm M0 (P) 
º d (P) và điểm M0 (P) 
º Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ phương trình :
Bài toán 3. Xét vị trí tương đối của giữa hai đường thẳng 
(d1): và (d2): 
❒ Phương pháp 
phương pháp 1
phương pháp 2
b1. Tìm: º điểm M1d1 và 1 VTCP của d1 là 
 º điểm M2d2 và 1 VTCP của d2 là 
b2. Tìm tọa độ: và 
và cùng phương 
( )
không cùng phương 
( )
Tính: 
: d1 d2 : d1 // d2 
Tính: D = D = 0 : d1 cắt d2 
D ≠ 0: d1,d2 chéo nhau
b3. Kết luận 
b1. Tìm phương trình tham số của (d1) 
 và tìm phương trình tổng quát của (d2)
b2. Thay PTTS của (d1) vào PTTQ của (d2). 
 Ta được hệ phương trình theo t có dạng
 (1)
b3. Kết luận 
º (1) vô số nghiệm d1 d2 
º (1) có nghiệm t = t0 d1 cắt d2 
[thế t = t0 vào PTTS (d1) tìm tọa độ giao điểm]
º (1) vô nghiệm d1 // d2 hoặc d1 chéo d2 
 i). , cùng phương: d1 // d2 
 ii). , không cùng phương: d1 chéo d2
Notes: º M1d1 và là 1 VTCP của d1 º M2d2 và là 1 VTCP của d2 . Ta có:
i). d1, d2 đồng phẳng 
º d1 cắt d2 
º d1 // d2 
º d1 d2 
º Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:
ii). d1, d2 không đồng phẳng: 
 º d1, d2 chéo nhau 
Bài toán 4. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d): 
❒ Phương pháp: H là hình chiếu của M lên (d) MH (d) tại H 
Cách 1:
b1. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (d)
b2. Tọa độ H ( ) là nghiệm của hệ: 
b3. Kết luận 
Cách 2:
b1. Đổi phương trình (d) ra dạng phương trình tham số. Ta có (d): 
b2. Lấy điểm H thuộc (d), ta được H(x0+a.t ; y0+b.t ; z0+c.t ). Tính tọa độ 
b3. Tìm t: dùng tính chất 
b4. Kết luận ( thay t = t0 vào điểm H ) 
Bài toán 5. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d): 
❒ Phương pháp: M’đối xứng với M qua (d) 
b1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d)
b2. Tọa độ H ( ) là nghiệm của hệ: 
b3. M’ đối xứng với M qua (d) H là trung điểm MM’ 
b3. Kết luận 
Bài toán 6. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Biết:
(d): và (P): Ax+By+Cz+D = 0
❒ Phương pháp: 
b1. Ta có: (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) 
 , với (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P)
b2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P)
b3. Kết luận (d’): 
Notes: bước 1. có thể nêu ngắn gọn bằng ký hiệu như sau:
 , với: 
Bài toán 7. Tìm điểm M(xM; yM; zM) trên đường thẳng (d) sao cho biểu thức A = 
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
❒ Phương pháp 
b1. Tìm phương trình tham số của (d): và M(d) M(x0+at; y0+bt; z0+ct) 
b2. Tính giá trị biểu thức A theo t: A = = f(t) 
b3. Tìm GTNN của f(t)
b4. Kết luận 
Bài toán 8. Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau 
(d1): và (d2): 
❒ Phương pháp: (d) là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) 
phương pháp 1 ( vectơ chỉ phương )
phương pháp 2 ( giao tuyến )
b1. Tìm PTTS của (d1) và (d2).
+ 
 A(x1+a1t1; y1+b1t1; z1+c1t1) (1)
+ 
 B(x2+a2t2; y2+b2t2; z2+c2t2) (2)
+ Tìm tọa độ = ? (3)
b2. Tìm các tham số t1, t2
+ Ta có: 
+ Thay t1 = u , t2 = v vào (1) và (2) tìm tọa độ A, B.
b3. Kết luận phương trình đường vuông góc chung là 
(AB): 
b1. Tìm VTCP của (d)
+ Tìm: và 
+ VTCP của (d) là 
b2. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và (d1)
+ VTPT của (P) là 
+ M1 (d1) và (d1) (P) M1 (P)
( có thể dùng chùm mặt phẳng tìm phương trình (P) )
b3. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và (d2)
+ VTPT của (Q) là 
+ M2 (d2) và (d2) (Q) M2 (Q)
( có thể dùng chùm mặt phẳng tìm phương trình (Q) )
b4. Kết luận (d)= (P)(Q) (d): 
Notes: Nếu (d1), (d2) chéo nhau và vuông góc với nhau thì lập phương trình đường vuông góc chung như sau:
b1. Lập phương trình mặt phẳng (R1) chứa (d1) và vuông góc với (d2)
b2. Lập phương trình mặt phẳng (R2) chứa (d2) và vuông góc với (d1)
b3. Kết luận (d) = (R1)(R2) (d): 
Bài toán 9. Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
(d1): và (d2): 
❒ Phương pháp: 
Cách 1:
b1. Tìm giao điểm A của (d1) và (d2). Chọn 1 điểm B trên (d1) sao cho B A
b2. Tìm PTTS (d2) và lấy 1 điểm C trên (d2) sao cho AC = AB. Từ đó suy ra tọa độ C1 và C2 
b3. Viết phương trình các đường phân giác của 
+ phương trình đường phân giác thứ I ():
 ABC1 cân tại A tọa độ trung điểm K của BC1 (): 
+ phương trình đường phân giác thứ II ():
ABC2 cân tại A tọa độ trung điểm J của BC2 (): 
Cách 2:
b1. Tìm: + giao điểm A của (d1) và (d2).
 + là VTCP (d1) và lấy điểm B trên (d1) sao cho 
 + là VTCP (d2) và lấy điểm C trên (d2) sao cho 
b2. Chứng minh ABC cân tại A ( chứng minh AB = AC )
b3. Viết phương trình các đường phân giác của 
+ phương trình đường phân giác thứ I (): 
+ phương trình đường phân giác thứ II (): 
4. Các bài toán về mặt cầu 
Bài toán 1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0
❒ Phương pháp 
Cách 1
Cách 2
b1. Dùng phương pháp đồng nhất, từ phương trình mặt cầu (S) suy ra a =?, b = ?, c = ?, d = ?
b2. Chứng minh: M = a2+b2+c2–d > 0
b3. Kết luận: Tâm I(a; b; c) và bán kính R = 
b1. Dùng các hằng đẳng thức: 
 (A+B)2 = A2+2AB+B2 , (A–B)2 = A2–2AB+B2 
 biến đổi phương trình của (S) về dạng
(S): (x–a)2+(y–b)2+(z–c)2 = R2 
b2. Kết luận: Tâm I(a; b; c) và bán kính R
Bài toán 2. Viết phương trình mặt cầu (S) khi biết: 
Loại 1. º tâm I và bán kính R º hai đầu mút của đường kính º tâm nằm trên 1 đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng º tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng 
Loại 2. º qua 4 điểm không đồng phẳng ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ) º qua 3 điểm không thẳng hàng và có tâm nằm trên 1 mặt phẳng 
❒ Phương pháp 
Cách 1 (loại 1)
Cách 2 (loại 2)
b1. Phương trình mặt cầu (S) có dạng
(S): (x–a)2+(y–b)2+(z–c)2 = R2 
b2. Tìm: Tâm I(a; b; c) và bán kính R
b3. Kết luận 
b1. Phương trình mặt cầu (S) có dạng
(S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0
b2. Tìm: a, b, c và d
b3. Kết luận 
Bài toán 3. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0 
 và đường thẳng (d): 
❒ Phương pháp 
Cách 1
Cách 2
b1. Tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R 
b2. Tính khoảng cách d = d(I, (d))
b3. Kết luận (so sánh d và R)
º d > R (d) không cắt (S) ( )
º d = R (d) tiếp xúc với (S) tại điểm M0 
 ( và M0 là tiếp điểm)
º d < R(d) cắt (S) tai hai điểm phân biệt A, B 
 ( )
b1. Tìm phương trình tham số của (d). Thế PTTS của (d) vào phương trình của (S), ta được phương trình bậc hai theo t có dạng f(t) = 0 
b2. Giải phương trình bậc hai f(t) = 0 (1) 
b3. Kết luận 
º (1) vô nghiệm 
º (1) có nghiệm kép(d) tiếp xúc với (S) tại M0 
 ( và M0 là tiếp điểm)
º (1) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 
Notes: Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ (I)
º Để giải hệ (I), lấy phương trình tham số của (d) thế vào phương trình của (S). Ta được 
phương trình bậc hai theo t có dạng f(t) = 0 . 
º Giải phương trình f(t) = 0 tìm t1, t2 . Từ đó suy ra tọa độ A, B ( thay t1, t2 vào PTTS của (d) )
Bàitoán 4. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0 
 và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0
❒ Phương pháp 
b1. Tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R 
b2. Tính khoảng cách d = d(I, (P))
b3. Kết luận (so sánh d và R)
º d > R (P) không cắt (S) ( )
º d = R (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M0 ( và M0 là tiếp điểm)
º d < R (P) cắt (S) theo đường tròn (C) ( )
Bài toán 5. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ( đường tròn trong không gian )
(C): 
❒ Phương pháp 
 b1. Tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R của (S). Tính khoảng cách d = d(I, (P)) suy ra bán kính của đường tròn giao tuyến là 
b2. Viết phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Giải hệ tạo bới và (P)
b3. Kết luận: Tâm của đường tròn giao tuyến là giao điểm của và (P) và bán kính 
Bài toán 6. Viết phương trình tiếp diện ( mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ) của mặt cầu 
(S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0 tại tiếp điểm M0(x0; y0; z0)
❒ Phương pháp 
b1. Tiếp diện của (S) có dạng (P): A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0) = 0 (1) ( A2+B2+C2 ≠ 0)
b2. Từ phương trình của (S) tìm tọa độ tâm I(a; b; c). Suy ra VTPT của (P) là 
b3. Kết luận (thay A, B, C vào (1))
Bài toán 7. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0 , biết rằng tiếp diện (P) song song với mặt phẳng (Q): Ax+By+Cz+D = 0
❒ Phương pháp 
b1. Tiếp diện của (S) có dạng (P): Ax+By+Cz+D1 = 0 ( D1 ≠ D ) (1) ( do (P) // (Q) )
b2. Tìm D1: º Từ phương trình (S) suy ra tâm I và bán kính R. 
 º Tính khoảng cách d = d(I, (P)) theo D1 và dùng điều kiện tiếp xúc tìm D1
 (P) tiếp xúc với (S) d(I, (P)) = R 
b3. Kết luận (kiểm tra điều kiện D1 ≠ D và thay D1 vào (1), nếu thỏa)
Bài toán 8. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz+d = 0 , biết rằng tiếp diện (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2) cho trước.
❒ Phương pháp 
b1. Tìm: º VTCP của (d1): º VTCP của (d2): VTPT của (P): = (A; B; C)
 Tiếp diện của (S) có dạng (P): Ax+By+Cz+D = 0 (1)
b2. Tìm D: º Từ phương trình (S) suy ra tâm I và bán kính R. 
 º Tính khoảng cách d = d(I, (P)) theo D và dùng điều kiện tiếp xúc tìm D
 (P) tiếp xúc với (S) d(I, (P)) = R 
b3. Kết luận ( thay D vào (1) – có 2 đáp số )
Bài toán 9. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S): x2+ y2+ z2–2ax–2by–2cz +d = 0 , biết rằng tiếp diện (P) chứa đường thẳng (d): 
❒ Phương pháp 
b1. Tiếp diện của (S) có dạng (P): m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 , (m2+n2 > 0)
 Khai triển và thu gọn về dạng (P): (mA+nA’)x+(mB+nB’)y+(mC+nC’)z+mD+nD’ = 0 , (m2+n2 > 0)
b2. Tìm m, n: 
 º Từ phương trình (S) suy ra tâm I và bán kính R. 
 º Tính khoảng cách d = d(I, (P)) theo m, n và dùng điều kiện tiếp xúc tìm m, n 
 (P) tiếp xúc với (S) d(I, (P)) = R ( m2+n2 > 0 )
b3. Kết luận ( thay m, n vào (P) – có 2 đáp số )
Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp