Chủ đề ôn tập Hình học 12 - Mặt phẳng trong không gian

Chủ đề HH III.2	 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT (Điền vào chổ trống) :
1. Định nghĩa : 
· Vectơ ¹ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( a ). Kí hiệu : ^ ( a ).
· Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ ,¹ ,không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (a ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( a ).
¶ Nếu ( a ) có cặp vectơ chỉ phương ,thì (a ) có một vectơ pháp tuyến= [,].
 2.Phương trình mặt phẳng:
 Mp ( a ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ), vtpt = ( A; B; C ) với A2 + B2 + C2 ≠ 0 có phương trình : 
 	 (a): .................................................. Û (a): ................................................
 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
 Cho hai mặt phẳng (a): Ax + By + Cz +D = 0 và (a’): A’x + B’y + C’z + D’= 0
Khi đó hai mặt phẳng (a) và (a’) lần lượt có VTPT : = (A;B; C),=(A’;B’;C’) 
· (a) và (a’) cắt nhau Û A : B : C ¹ A’: B’: C’Û và không cùng phương 
· (a) // (a’) Û ;	· (a) º (a’) Û 
Ÿ Cặp vtcp = (a1 ; a2; a3) ; = (b1 ; b2; b3 ) Þ vtpt = 
Ÿ Oxy: ................., Oyz: ...................., Ozx:...........................
Ÿ Mặt phẳng (P) qua M ( a; b; c) và // các mặt phẳng toạ độ:
 Oxy // (P): ................., Oyz // (P): ...................., Ozx // (P):...........................
Ÿ (P) qua A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) với a.b.c ≠ 0 có pt là (P):....................................................
4. Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (a) Ax + By + Cz +D = 0 
 (a’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
¯ Định lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) đều có phương trình dạng: 
 l( Ax + By + Cz +D) +m ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , l2+m2 ¹ 0 (1).
 Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) 
¯ Định nghĩa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) gọi là chùm mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng. 
Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng
· Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của nó hay tìm cặp vectơ chỉ phương của nó.
· Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, chùm mặt phẳng.
B. BÀI TẬP
1/ Viết phương trình của mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong kg Oxyz cho 3 điểm A (5; 1; 3); B (1; 6; 2); C (5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
Đi qua A và vuông góc với BC
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB
Đi qua 3 điểm A, B, C
Đi qua A và chứa Ox
Đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ
1. qua A (5; 1; 3); VTPT (4; −6; 2)=2 (2; −3; 1)
Phương trình (α): 2(x − 5) − 2(y − 1) +1(z − 3) = 02x − 3y + z − 10 = 0
2. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I .qua I, VTPT (−4; 5; −1)
Phương trình (α):− 4(x − 3) + 5(y − 7/2) −1(z − 5/2) = 0− 4x + 5y − z − 3 = 0
3. (−4; 5;−1) và (0;−1; 1) là cặp VTCP của (ABC)
VTPT = = ( , , )= (4; 4; 4) =4(1; 1; 1) (ABC) qua A (5; 1; 3) ta có phương trình (ABC): x + y − z − 3 = 0
4. Phương trình có dạng By + Cz = 0. Ta có A(5;1;3) B + 3C = 0
Chọn B = 3 Þ C = −1. Vậy: phương trình: 3y − z = 0.
5. Gọi A1, A2, A3 theo thứ tự đó là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó A1(5;0;0), A2(0;1;0), A3(0;0;3). 
Phương trình : 3x + 15y + 5z − 15 = 0.
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;0;1), B(2;3;0) và 2 mặt phẳng (P): x − 2y − 3z + 1 = 0; (Q): 2x + y − z + 4 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
Đi qua A và song song với (P)
Đi qua A và song song với trục Oz
Đi qua A, B và vuông góc với (P)
Đi qua A, B và vuông góc với (P) và vuông góc với (Q)
1. (α) qua A (1;0;1) và song song (P) Þ VTPT .
Phương trình (α): x − 1 −2y − 3(z−1) = 0	x − 2y − 3z + 2 = 0.
2. (1; 3;−1) và =(0; 0; 1) là cặp VTCP của 
VTPT == ( , , )= (3;−1;0).
Phương trình : 3(x − 1) − y = 03x − y − 3 = 0.
3. (1; 3;−1) và là cặp VTCP của 
VTPT ==( , , =(−11;2;−5).
(α) qua A (1;0;1). Ta có (α): −11(x−1)+2y−5(z−1) = 0−11x + 2y − 5 + 16 = 0.
4. và là cặp VTCP của 
VTPT ==( , , =(5;−5;5)=5(1;−1;1).
(α) qua A(1;0;1) ta có phương trình (α): x −1 − y + z −1 = 0x − y + z − 2 = 0.
Bài tập tự giải
Trong Oxyz cho 3 điểm A(2;−1;3), B(4;0;1), C(−10;5;3); (P): 2x − y + z − 1 = 0.
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh O, A, B, C là 4 đỉnh tứ diện.
2/ Viết phương trình trong các trường hợp sau đây:
Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với AB
Đi qua A và song song với (P)
Đi qua A, B và vuông góc với (P)
Đi qua A, B và song song với Oy
Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với (P), vuông góc với (ABC)
Mặt phẳng trung trực đoạn BC
3/ Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) D(4;0;6)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và song song với CD
c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với AB.
d/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD.
2/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
1. : x+2y+3z+4=0	2. : x+y+z+5=0	3. : x+2y+3z+1=0
 : x+5y−z−9=0	 : 2x+2y+2z+6=0	 : 3x+6y+9z+3=0
1. VTPT của là (α) = (1; 2; 3). VTPT của là (β) = (1;5; −1)
Vì 1 : 2 : 3 ≠ 1 : 5 : −1 Þ (α) ≠ k.(β) . Vậy cắt .
2. VTPT của là (α) = (1; 1; 1). VTPT của là (β) = (2; 2; 2)
Ta có : 
3. VTPT của là (α) = (1; 2; 3). VTPT của là (β) = (3; 6; 9)
Ta có : .
Bài 2: Cho 2 mặt phẳng (α): 2x + my + 2mz − 9 = 0; (β): 6x − y − z − 10 = 0.
Xác định m để:	1. ;	2. //
VTPT của là (α) = (2; m; 2m). VTPT của là (β) = (6; −1;−1).
1. 12 − m − 2m = 0 m = 4.
2. // Hệ vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho 3 mặt phẳng 
: 2x − y + z + 1 = 0; : x + 3y − z + 2 = 0; : −2x + 2y + 3z + 3 = 0
1. Chứng minh (α)cắt (β) theo giao tuyến d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d và đi qua M (1; 2;1).
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua giao tuyến d và song song với Oy.
4. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua giao tuyến d và vuông góc với .
1. Vì cắt 
2. Phương trình (P) có dạng: m(2x − y + z + 1) + n(x + 3y − z + 2) = 0 
(2m +n)x + (−m + 3n)y + (m − n)z + m + 2n = 0, với (m2+n2 0) (*)
M(1; 2; 1)(P)m(2−2+1+1)+n(1+6−1+2)=02m + 8n = 0m + 4n = 0
Chọn m = 4 Þ n = −1. Phương trình (P): 4(2x − y + z + 1) − (x + 3y − z + 2) = 0
7x − 7y + 5z + 2 = 0.
3. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng (*), 
VTPT; VTCP của Oy là =(0; 1; 0) .
(Q)// Oy −m + 3n = 0. Chọn m = 3 Þ n=1.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q): 7x + 2z + 5 = 0.
4. Phương trình (R) có dạng (*). 
VTPT; VTPT của là 
(R) −4m − 2n − 2m + 6n +3m −3n = 03m − n = 0 Chọn m = 1 Þ n = 3. Phương trình mặt phẳng (R): 5x + 8y − 2z + 7 = 0.
3/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
Trong Oxyz cho M(x0;y0;z0); (P): Ax+By+Cz+D=0
	 d(M,(P))= .......................................
Chú ý:
trong đó M
trong đó M
Ví dụ 1: Cho 2 mặt phẳng : x+2y+2z+11=0; : x+2y+2z+2=0
1.Chứng minh //;	2. Tính 
Lời giải:
1. Vì 
2. M(−11,0,0) Þ 
Bài 2: Cho (P): 2x+3+z−17=0 và A(2;3;4). Tìm điểm MOz biết 
Lời giải: M(0;0;z0) Oz
z2−6z+9=0z=3. Vậy M(0;0;3)
Bài tập Nâng cao
1/Lập phuơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng 
a/ x V 2y = 0 và 3x V 2y + z V 3 = 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng x V 2y + z V 5 = 0.
b/ x + y V 2 = 0, 4y + z V 2 = 0 và song song với mặt phẳng x V 3y V z + 2 = 0.
c/ Oyz. Ozx và qua M(2;3;1)
d/ 4x V 3y + 3 = 0 , x V 3z V 9 = 0 và đi qua A(1;1;-2)
2/ Tìm m để hai mặt phẳng sau đây song song (P): 2z + my + 2z + 3 = 0, 	(Q): mx + 2y V 4z + 3 = 0.
3/ Tìm l,m để ba mặt phẳng sau đay cùng đi qua một đường thẳng:
5x + ly + 4z + m = 0, 3x V 7y + z V 3 = 0, x V 9y V 2z + 5 = 0.
4/ Tìm m để hai mặt phẳng x+2y+3zV6 = 0, (m+1)x+(m+2)y+(2m+3)zV4mV6 = 0
	a/ Trùng nhau	b/ Vuông góc.
5/ Cho A(1;-1;2), B(3;1;0) và mặt phẳng (P): x V 2y V 4z + 8 = 0.
Tìm điểm C trên (P) sao cho CA = CB, và mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P).
6/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( a ) trong các trườnghợp sau:
a/ (a) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .
b/ (a) là mặt trung trực của đoạn AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
c/ (a) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .
d/ (a) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
e/ (a) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
f/ (a) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và ^ (P): x + y – z = 0 .