Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

I. Kiến thức cơ bản
1. Toạ độ của điểm, toạ độ của véctơ: Hệ toạ độ Oxy gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại gốc O, với hai véctơ đơn vị tương ứng là :
 Toạ độ của điểm: 
 Toạ độ của véctơ: 
2. Biểu thức toạ độ của các phép toán véctơ:
Cho ; và A(xA; yA); B(xB; yB). Ta có:
 (tích vô hướng)
 (độ dài của véctơ)
3. Phương trình của đường thẳng
a) Phương trình tham số, phương trình chính tắc:
Đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) có véctơ chỉ phương ptts: 
Nếu thì có PT chính tắc là: .
b) Phương trình tổng quát, phương trình dạng đoạn chắn:
PTTQ của đt có dạng: trong đó là một VTPT, (A2 + B2 > 0)
Nếu cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0); B(0; b) thì có PT dạng: .
Nếu đi qua điểm M0(x0; y0) có véctơ PT thì có PT: .
c) Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2: , trong đó lần lượt là VTCP và VTPT của 1 và 2.
d) Đường thẳng có VTCP thì một VTPT là 
 VTPT thì một VTCP là .
Chú ý .
e) Hai đường thẳng song song thì VTPT của đt này là VTPT của đt kia; VTCP của đt này là VTCP của đt kia.
Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đt này là VTCP của đt kia.
f) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
4) Đường tròn
a) Phương trình của đường tròn:
Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là: (x – a)2 + (y - b)2 = R2.
Phương trình: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0. là phương trình đường tròn tâm I(-A; -B), bán kính R = .
b) Tiếp tuyến của đường tròn:
Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.
Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; y0) có PT: (a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = 0.
Đường thẳng : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (C) .
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (C) luôn kẻ được hai tiếp tuyến tới (C), gọi hai tiếp điểm là M, N ta có: M, N là 2 giao điểm của (C) và đường tròn đường kính AI; MN AI;
 AM2 = AN2 = AI2 + R2.
 Gọi d là khoảng cách từ I đến nếu d < R thì cắt (C) tại hai điểm MN; MN2 = 2(R2 + d2)
I
A
M
N
5) Elíp
a) Định nghĩa: Elíp (E) là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1, F2 luôn bằng hằng số 2a (2a > F1F2 = 2c tiêu cự).
Trong mặt phẳng Oxy phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm F1 ( - c; 0), F2(c; 0) và có độ dài trục lớn 2a là: ; với 
b) Các yếu tố:
 A1
A2
B1
B2
O
x
y
F1
F2
Bốn đỉnh:
 A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; -b).
Độ dài trục lớn A1A2 = 2a
Độ dài trục nhỏ B1B2 = 2b
Tiêu cự F1F2 = 2c
Tâm sai 
Hình chữ nhật cơ sở PQRS
Hai trục đối xứng Ox, Oy
Tâm đối xứng O.
II. Bài tập
Bài 1. Trong Oxy cho A(3; 1); B(-1; 2) và đường thẳng d: x – 2y +1 = 0. Tìm toạ độ điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC:
Cân với đáy là AB. 	ĐS: C(6/7; 13/14)
Vuông tại C.	ĐS: C1(3; 2), C2(-3/5; 1/5)
Bài 2. Trong Oxy cho A(1; -1), B(5; -3), C thuộc trục Oy. Tìm toạ độ diểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G thuộc trục Ox.
Bài 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết:
Toạ độ đỉnh B(-4; -5), hai đường cao của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 5x + 3y – 4 = 0; 3x + 8y + 13 = 0. 
 ĐS: 8x – 3y + 17 = 0; 3x – 5y – 13 = 0; 5x + 2y – 1 = 0.
Toạ độ đỉnh A(1; 3) và hai trung tuyến của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có PT là: x - 2y + 1 = 0; y - 1 = 0. ĐS: x +2y -7 = 0; x – 4y – 1 = 0; x - y + 2 = 0.
Toạ độ đỉnh C(4; -1) đường cao và trung tuyến của tam giác kẻ từ cùng một đỉnh lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 2x - 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0. 
 ĐS: 3x +7y -5 = 0; 3x +2y – 10 = 0; 9x +11 y + 5 = 0.
Toạ độ đỉnh A(-1; 3). Đường cao BH và phân giác trong CK của tam giác lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình là: x- y = 0; x + 3y + 2 = 0. ĐS: x +y -2 = 0; x – 7y –18 = 0; 3x - y + 6 = 0. 
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;4), cách đều hai điểm cho trước M(-1; 3) và N(5;1).
Bài 5. Cho tam giác ABC có diện tích S = 3/2. Toạ độ các đỉnh A(2; -3); B(3; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C. ĐS: C(- 2; -10); (1; -1). 
Bài 6. Viết phương trình của đường tròn (C) biết:
Có tâm I(5; 6) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: 3x – 4y – 6 = 0.
Đi qua ba điểm A(0; 6); B(4; 0); C(3; 0).
Đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ.
Tiếp xúc với d: x + y + 13 = 0 và tiếp xúc với d’: 7x – y – 5 = 0 tại M(1; 2).
Bài 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x +8y – 6 = 0
Chứng minh rằng đt d: x – y = 0 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tính AB.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
Tiếp điểm (1; 1).
Tiếp tuyến đi qua D(0; 2).
Chứng minh đường thẳng : x + (m-1)y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm m để MN nhỏ nhất.
Bài 8. CâuVI.a(Đề thi ĐH-KA-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) nằm trên đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết PT đường thẳng AB.	ĐS: y – 5 = 0; x – 4y + 19 = 0 
Bài 9. CâuVIb(Đề thi ĐH-KB-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18: 	ĐS: 
Bài 10. CâuVIb(Đề thi ĐH-KD-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 
(x-1)2 + y2=1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO=300. 	ĐS: 
Bài 11. Cho đường tròn (C): (x-1)2 + y2 = 1 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0.
Tìm điểm A thuộc d sao cho từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau một góc 600.
Bài 12.Viết pt đường tròn có tâm thuộc d: 2x + y = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình là: 4x - 3y + 10 = 0 ; 4x - 3y + 30 = 0.
Bài 13. Cho A(8;0) ; B(0;6). Viết pt các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác OAB.
Bài 14. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đường thẳng có phương trình lần lượt là: 4x - 3y – 65 = 0 ; 7x - 24y + 55 = 0 ; 3x + 4y – 5 = 0
HD: A(11;-7) ; B(23;9) ; C(-1;2) . AB = 20 ; BC =25 ; CA =15 => tam giác tại A. S =150 , p=30 r =5 I (10;0)
Bài 15. Viết pt tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 Biết: 
 1. Tiếp điểm M (2;2) 2. Tiếp tuyến đi qua A (2;5) 3. Hệ số góc k = 1
Bài 16. Viết pt tiếp tuyến chung của hai đường tròn : 
(C1) : x2 + y2 – 6x + 5y = 0; (C2) : x2 + y2 – 12x – 6y + 44 = 0 
Bài 17. Lập phương trình đường tròn đi qua A (2;1) và các giao điểm của đường tròn: 
 x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 và đường thẳng: x – 2y + 6 = 0
Bài 18. Viết pt đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết: A(-1;7) ; B(4;-3) ; C(-4;1) 
 ĐS : (x + 1)2 + (y - 2)2 = 0 
Bài 19. Viết pt đường thẳng đi qua O(0;0) và cắt (C): x2 + y2 - 2x + 6y – 15 = 0 bởi hai điểm A và B, biết AB = 8 
Bài 20. Cho họ đường cong: (Cm): x2 + y2 - 2x – 2y + m = 0 (m là tham số )
 1) Với điều kiện nào của m thì(Cm) là đường tròn
 2) Tìm m để (Cm) có R = 1. Viết pt tiếp tuyến của đường tròn này tại . 
 3) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến với tiếp tuyến trên.
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho ABC tại A. PT BC: x – y -= 0 ; các đỉnh A, B thuộc Ox và R đường tròn nội tiếp r = 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC 
 HD: A(0;0), B(1;0) S = p.r = 2 + 2 G1, G2.
Bài 22. CâuVIa(Đề thi ĐH-KA-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: và d2:.Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương. ĐS: 
Bài 23. CâuVIb(Đề thi ĐH-KA-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm toạ độ đỉnh B và C, biết điểm E(1; - 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) hoặc B(-6; 2), C(2; -6).
Bài 24. CâuVIa(Đề thi ĐH-KB-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(- 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. ĐS: 3x – 4y + 16 = 0.
Bài 25.CâuVIb(Đề thi ĐH-KD-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. ĐS: 
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của Elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. ĐS: 
Bài 27. Tong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và Elíp (E) . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và ABC đều. ĐS
Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E): và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm của AB. 
Bài 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E) hai điểm M, N lần lượt di động trên các tia Ox và Oy sao cho MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N sao cho MN nhỏ nhất.
Bài 30. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x+5)2 + y2 = 441; 
(C2) : (x-5)2 + y2 = 25. Gọi M là tâm của đường tròn (C) di động sao cho (C) tiếp xúc trong với (C1), tiếp xúc ngoài với (C2). Tìm quỹ tích điểm M. ĐS: .