Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát à vẽ đồ thị hàm số

I. SƠ ĐỒKHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát
Hàm đa thức :
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
Hàm nhất biến :
1. 
TXĐ
§ Tập xác định D = 
§ Tập xác định D = 
(là nghiệm của phương trình cx + d = 0)
2. 
Sự 
biến
thiên
§ Giới hạn : 
 Ä
 Ä
§ Bảng biến thiên :
 Ä Tính y’
 Ä Giải phương trình y’=0 (nếu y’vô
 nghiệm thì y’cùng dấu với hệ số a)
 Ä Lập bảng biến thiên
 Ä Kết luận các khoảng đồng biến, 
 nghịch biến, cực đại, cực tiểu.
§ Giới hạn, tiệm cận :
 Älà tiệm cận đứng
 Ätiệm cận ngang
§ Bảng biến thiên :
 Ä Tính y’(dấu của y’ là dấu của tử số)
 Ä Lập bảng biến thiên
 Ä Kết luận các khoảng đồng biến, 
 nghịch biến, cực đại, cực tiểu
3. 
Đồ 
thị
§ Vẽ đồ thị :
 Ä Thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trị bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trị bên phải.
 Ä Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
 Ä Nếu y’ vơ nghiệm, tính y”, giải phương trình y”= 0 Þ điểm uốn. Tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn điểm uốn và một điểm có hoành độ lớn hơn điểm uốn.
§ Vẽ đồ thị :
 Ä Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, lấy đối xứng qua giao điểm của hai tiệm cận, cho thêm một số điểm khác để dễ vẽ.
 Ä Nếu đồ thị khơng cắt các trục tọa độ thì tìm hai điểm thuộc một khoảng (cĩ hồnh độ nhỏ hơn x0 hoặc lớn hơn x0) rồi lấy đối xứng qua giao điểm của hai tiệm cận.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1) Cho hàm số y = x3 – 3m x2 + 4m3. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1.
2) Cho hàm số y = x4 – m x2 + 4m -11. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =4.
3) Cho hàm số y=. Khảo sát hàm số khi m = 2. 
4) y = x(x – 3)2
5) y = 
6) Cho hµm sè ( Cm) ( m lµ tham sè)
	a) T×m m ®Ĩ ( Cm) qua ®iĨm A(0; -1). ĐS: m = 0
	b) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m võa t×m ®­ỵc.
II. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG
Cho hai hàm số: y = f(x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C’). 
Tìm giao điểm của (C) và (C’).
Phương pháp giải:
B1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và(C’): f(x) = g(x) 	(1)
B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x0,x1,x2 . . . thì các giao điểm của (C) và (C’) là M0(x0; f(x0)); M1(x1; f(x1)); M2(x2; f(x2)) . . .
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho đường cong (C): y = và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k.
Biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
Bài 2: Cho (C) : y = f(x) = 4x3 – 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2. Biện luận theo 
 m số giao điểm của (C) và (d). 
ĐS: m 9: 3 giao điểm.
BÀI TOÁN 2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x) =.
Phương pháp giải:
 B1: Vẽ đồ thị (C) của hàm f(x) (thường đã có trong câu khảo sát hàm số )
 B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=. 
 Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: 
 a/ Khảo sát hàm số y = x4 – 4 x2 + 5.
 b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
x4 – 4 x2 + 5 = m.
Bài 2: Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau cĩ đúng 3 nghiệm phân biệt :
.	ĐS: 
Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x – 2 có đồ thị (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2 = m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho (C) : y = x3 – 3x2 + 2.
1) Khảo sát hàm số 
2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của : x3 – 3x2 – m = 0
	ĐS: Phương trình có 1 nghiệm 
 Phương trình có 2 nghiệm 
 Phương trình có 3 nghiệm.
Bài 5: Cho hàn số y = x3 + 3x2 + 1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m : 
x3 + 3x2 + 1 = . 
ĐS: m>10 hoặc m< 2 : 1 nghiệm; m = 10 hoặc m= 2 : 2 nghiệm; 2<m<10 : 3 nghiệm
Bài 6: Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm
số đã cho tại hai điểm phân biệt.	ĐS: m 1.
Bài 7: Cho hàm số y = 
a) Khảo s¸t và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b) T×m m để Ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiƯm ph©n biƯt. ĐS: 0 < m < 1
Bài 8: Cho hµm sè 
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (c) cđa hµm sè.
b) T×m m ®Ĩ ®­êng th¼ng d: y = - x + m c¾t (c) t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt.
ĐS :
Bài 9: Cho đường cong (C): y =. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số giao điểm
 của (C) và đường thẳng y = k.
BÀI TOÁN 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = (x–x0) + f(x0)
2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) 
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là: y = (x–x0) + f(x0)
3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y0f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 f /(x0) 
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = (x–x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : =k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 f(x0) phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì có f/(x0) = a.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì có f/(x0).a = - 1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) :
Cách 1:
B­íc 1: Gäi M(x0; y0) lµ tiÕp ®iĨm .
=> ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M(x0,y0) lµ: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
B­íc 2: Do tiÕp tuyÕn ®i qua A(x1; y1) nªn y1=f’(x0)(x1-x0)+f(x0) (*)
B­íc 3: Gi¶i (*) t×m x0 quy vỊ bµi to¸n 2.
Cách 2:
B­íc 1: Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: 
y = k(x–x1) + y1 	(1)
B­íc 2: d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm :
B­íc 3: Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến. 
Thế k vào (1) Þ phương trình tiếp tuyến.
Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. 
b/ Tại điểm có hoành độ bằng 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3. 
d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2008.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x + 2009. 
f/ Biết tiếp tuyến đi qua A(1; -2).
Bài 2: Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M (;0).
ĐS: ; y = 0; .
Bài 3: Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với đường thẳng (d) x-9y+3=0
ĐS: y = -9x -16 ; y = -9x +16
Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại:
a) Điểm M cĩ hồnh độ xM = 0 	ĐS: y = – 3x + 2
b) Giao điểm của ( C ) với trục hồnh	ĐS: 
Bài 5: Cho (C) : y = f(x) = x3 – 2x + 2. lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
a) Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 	ĐS: y = x + 4
b) Tiếp tuyến vuơng gĩc với (d)	ĐS: y = – x + 2 
Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 )	ĐS: y = – 3x + 2; y = 24x – 52
Bài 7: Cho hµm sè 
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C) t¹ ®iĨm cã tung ®é b»ng 1. ĐS: y = - 4x+3
III. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
 + TXĐ D = 
 + Tính : y/ = , tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 (nếu có). 
 + BXD (sắp các nghiệm của phương trình y/ = 0 và giá trị khơng xác định của y/ từ trái sang phải tăng dần)
 * y/ > 0 thì hàm số tăng; y/ < 0 thì hàm số giảm. 
 + Kết luận : hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (thường dùng để tìm gía trị m):
	a) f/(x) ³ 0, " x Ỵ (a; b) (chỉ bằng không tại hữu hạn điểmỴ (a;b) ) thi f(x) tăng trong khoảng (a;b). 
	b) f/(x) £ 0, " x Ỵ (a; b) (chỉ bằng không tại hữu hạn điểmỴ (a;b) ) thi f(x) giảm trong khoảng (a;b).
Các dạng tốn:
Dạng 1. Xác định tính đơn điệu của hàm số (Xét sự biến thiên của hàm số. Chứng minh hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định)
Bài 1: T×m c¸c kho¶ng ®¬n ®iƯu cđa c¸c hµm sè sau:
a) y = 3x2 + 1. ĐS: Hµm sè nghÞch biÕn trªn (- ¥; 0) vµ ®ång biÕn trªn (0; +¥).
b) y = cosx trªn . 
ĐS: Hµm sè ®ång biÕn trªn tõng kho¶ng , vµ nghÞch biÕn trªn .
c) y = 3x + + 5
ĐS: Hµm sè ®ång biÕn trªn tõng kho¶ng (-¥; -1); (1; +¥). Hµm sè nghÞch biÕn trªn tõng kho¶ng (-1; 0); (0; 1).
Bài 2. Cho hàm số (m tham số). Tìm m để hàm số đồng biến trên 
	ĐS: 
Bài 3: Chứng minh rằng hàm số:
a. nghịch biến trên đoạn [1; 2]
b. đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
c. nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0; 2].
d. nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ.
e. đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ.
f. nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước.
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
+ Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Bài 1: Cho hµm sè y = x3 -3(2m+1)x2+(12m+5)x+2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
§S: 
Bài 2: Cho hµm sè y = mx3 -(2m-1)x2+(m -2)x -2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
§S: Kh«ng tån t¹i m tho¶ m·n đề bài.
Bài 3: Cho hµm sè y = 2x3 + 3mx2 - 2m +1
T×m m ®Ĩ hµm sè nghÞch biÕn trªn (1; 2). §¸p sè: m ≤ -2
Bài 4: Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 3mx - 1.
T×m m ®Ĩ hµm sè ®ång biÕn trªn. §¸p sè: m ≥ 0
Bài 5: Cho hµm sè y = x3 - (m+3)x2+ mx + m + 5
T×m m ®Ĩ hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 2. §¸p sè: 
Bài 6: Cho hàm số: (m tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên .
	ĐS: 
Bài 7: Cho hµm sè : . T×m a ®Ĩ hµm sè nghÞch biÕn trªn R.
§S: 
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f (x) đồng biến trên [a; b] thì
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì 
Bài 1: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
 a) cosx > 1 - (x > 0) 
b) tgx > x + ( 0 < x <)
 c) sinx + tgx > 2x ( 0 < x <)
IV. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
· Dấu hiệu cần : Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0) = 0
Tìm cực trị theo dấu hiệu I
 + TXĐ D =?
 + Tính : y/ = , tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 . Tính yCĐ ; yCT 
 + BBT: (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Kết luận cực trị ?
Chú ý: 
 1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).
 2. Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
 3. x0 là cực trị của hàm số ĩ
Tìm cực trị theo dấu hiệu II
 + TXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. 
 cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 .. .( nếu có ) 
 + Tính y//(x1); y//(x2).
 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II thường dùng khi xét dấu y/ gặp khó khăn. 
Bài 1: Xác định m để hàm số: đạt cực đại tại x = 2. ĐS: m = -3.
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y= luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
ĐS: Hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài 3: Định m để hàm số y= có cực đại, cực tiểu. ĐS : m > 0.
Bài 4: Cho hµm sè y =x3 -(sina+cosa)x2 +x.sin2a + 1. T×m a ®Ĩ hµm sè cã cùc trÞ.
ĐS: .
Bài 5: Cho hµm sè y = (x+a)3 + (x+b)3 - x3. T×m ®iỊu kiƯn cđa a,b ®Ĩ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
ĐS: ab0 th× hµm sè ®· cho kh«ng cã cùc trÞ.
Bài 6: Định m để y = đạt cực đại tại x = 1. ĐS: m = 2
Bài 7: Cho hµm sè y= x3+ (cosa -3sina)x2 - 8(cos2a +1)x+1. CMR: Hµm sè lu«n cã cùc tri.
 	H­íng dÉn: TÝnh y’=12cos2a -3sin2a +21, chøng minh y’ > 0, 
Bài 8: Cho hµm sè y = x3 - ax2+ 9
Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hµm sè cã cùc trÞ.
T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm cùc trÞ cđa ®­êng cong ®· cho khi a biÕn thiªn.
§¸p sè: Víi th× hµm sè cã cùc trÞ.
TËp hỵp tÊt c¶ c¸c ®iĨm M cÇn t×m lµ ®å thÞ cđa hµm sè y=x3+9.
Bài 9: Cho hµm sè y = -mx3+2m2x2+5. T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x =, ®ã lµ ®iĨm cùc ®¹i hay cùc tiĨu. 
 	 §¸p sè: m =1 vµ x =lµ ®iĨm cùc ®¹i
Bài 10: Cho hµm sè y = x3-3mx2+3(m2 -1)x+ m. T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc tiĨu t¹i t¹i x=2.
 	 §¸p sè: m =1.
Bài 11: Cho hµm sè y = x3 -(3+m)x2+ mx + m + 5.T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc tiĨu t¹i t¹i x=2
 	 §¸p sè: m = 0.
Bài 12: Định m để hàm số y = f(x) = 
a. Cĩ cực đại và cực tiểu.	§¸p sè: m > 3 
b. Đạt cực trị tại x = 2.	§¸p sè: m = 4
c. Đạt cực tiểu khi x = -1	§¸p sè: m = 7
Bài 13: Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x4 +2mx2 -2m+1. Hd : y’= -4x(x2 - m)
V. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CUûA HÀM SỐ
 Phương pháp giải: 
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (a ; b)
	- Tập khảo sát : D = (a ; b), 
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0. Chỉ chọn các nghiệm thuộc D
- Tìm các điểm thuộc D mà tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm số vẫn liên tục. 
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đĩ.
- Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên Þ GTLN, GTNN.
2) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]
	- Tập khảo sát : D = [a ; b], 
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0. Chỉ chọn các nghiệm thuộc D
- Tìm các điểm thuộc D mà tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm số vẫn liên tục. Giả sử các điểm đĩ là x1, x2,, xn
- Tính các giá trị f(a), f(x1), f(x2),., f(xn) , f(b) 
- Kết luận : 
	GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm được, 
	GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ghi chú : 
Nếu đề bài không cho tập khảo sát thì ta phải tìm tập xác định D. 
	Tùy theo D là khoảng hay đoạn mà lựa chọn phương pháp thích hợp.
	Nếu D = R thì giải như mục 1)
Bài 1: 
Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y=.
ĐS : , .
 Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên [; 2 ] 
ĐS : = f(= f(2) = ; .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
ĐS: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
ĐS: 
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : trên đoạn 
ĐS: + + .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của hàm số : 
ĐS: ; .
	g) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của hàm số : 
ĐS: 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất nếu có của hàm số 
ĐS: ; .
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0
ĐS: .
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : . 	Kết quả : y = f(±1) = 
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = x – 5 + với x > 0. Kết quả: y = f(1) = -3
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x – 5 + .
Kết quả: ; .