Chủ đề 1: Nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x(a;b),ta có: F’(x) = f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b)
Ta viết :f(x)= F’(x) 
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a) b) ,(a0)
c) [f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+g(x)dx
d) f(t)dt= F(t) + Cf(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
 Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
 Nguyên hàm của các hàm số hợp
1.dx= x+C
2. +C
3. = ln+C
4. exdx= ex+ C
5. axdx = +C , (0 < a1)
6. cosx dx= sinx +C
7. sinxdx = -cosx +C
8.= tgx +C
9.=-cotgx+C
10.+C
11.+C
12. tgxdx= -ln+C
13. cotgxdx= ln+C
14.+C
15.+C
16.
 +C
17.
18.
19.
1.du= u+C
2. +C
3. = ln+C
4. eudu= eu+ C
5. audu = +C , (0 < a1)
6. cosudu= sinu +C
7. sinudu = -cosu +C
8.= tgu +C
9.=-cotgu+C
10.+C
11.+C
12. tgudu= -ln+C
13. cotgudu= ln+C
14.+C
15.+C
16.
 +C
17.
18.
19.
Chứng minh một số công thức cơ bản :
10.+C
11.+C
 Chứng minh :
10. Ta có : 
11.Ta có :cosx= sin(x+)=kết quả
14.+C
 Ta có :
Do đó :I=
15.+C
Ta đặt :
16. +C
Ta đặt:
VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=
*Sử dụng đồng nhất thức :x=
Hoặc :
*
VD1 :Tính I=
Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)
Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x
VD2 :Tính J= 
Tương tự :
VD3 : Tính K= 
HD :
 Ta có :
Cách 2 :
Ta có :
VD4 : Tính J =
HD :
Sử dụng đồng nhất thức : x=
VD 5 :Tính K= 
HD :
Sử dụng đồng nhất thức : 
VD 6 : Tính H = 
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...)
VD 7 : Tính A= 
HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1
Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt
VD8 : Tính B= 
HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1
Cách 2 :
Đặt : t= 1-x
VD 9 :Tính C = 
HD :
Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
VD 10 : Tính D= 
HD :
Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
VD 11 : Tính E =
HD :
Ta phân tích :
Đặt : t= 
VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1 :
Cách giải :
Bước 1 :Đồng nhất thức :
Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả
°Lưu ý :Dạng 
 Ta sử dụng : 
Ta sử dụng :
VD 1 : Tính 
HD :
Cách 1 : Ta có 
Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :
DẠNG 2 :
Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin=
-Đưa về dạng 1 để giải
°Lưu ý :Dạng 
Làm tương tự.
VD 1 : Tính 
HD :
Ta có :
Sử dụng đồng nhất thức :
VD 2 : Tính K= 
HD :
Ta có :
Do :
DẠNG 3 :
Cách giải :
Ta biến đổi :
Đưa về dạng 1 để giải.
VD 1 : Tính 
HD :
Cách 1 :
Ta có :
Khi đó xét : 
Sử dụng đồng nhất thức : 
Cách 2 :
DẠNG 4 :
I=
Cách giải :
Sử dụng công thức : asinx +bcosx=
Cách 2 : Ta có
Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2
VD 1 : Tính 
HD :
Ta có :
DẠNG 5 : 
Cách giải :
Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx)
Để ý :a2sinx+b2cosx=
Kết hợp dạng 3-4 để giải.
VD 1: Tính 
HD:
Biến đổi:
Phân tích :
Đồng nhất đẳng thức :
VD 2: Tính 
HD:
Ta có:
Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx
DẠNG 6 :
I= 
HD :
TH1 : 
Ta biến đổi :
TH2 : 
Ta biến đổi :
TH3 : 
Ta thực hiện phép đặt :
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số
VD 1 : Tính 
HD :
Ta thấy : (vì : )
Đặt : 
VD 2 : Tính 
HD :
Ta thấy : (vì :)
Ta biến đổi :
VD3 : Tính 
HD :Tương tự VD2
DẠNG 7 :
I= 
Cách giải :
Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c
Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải.
VD 1: Tính 
HD:
Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C
 =(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C
Tính : 
Đặt : 
Vậy :
DẠNG 8 :
I= 
HD :
Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x)
Đưa về dạng quen thuộc để giải.
VD 1:Tính 
HD: 
Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x=
VD2 : Tính I=
HD :
Ta phân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+cosx)+C(sin2x+cos2x)=
 = (B+C)cos2x+(B+A)sinxcosx+(A+C)sin2x
Tính : 
DẠNG 9 :
I= 
Cách giải :
Biến đổi :
I= 
Đặt : t=tgx 
Dạng quen thuộc giải được
VD1 : Tính I= 
HD :
Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1) 
Đặt :t=tgx 
Ta phân tích :
Vậy : 
DẠNG 10 :
Cách giải :
Để ý rằng :
TH 1 : 
TH2 :
VD 1 :Tính 
HD :
Ta phân tích :
VD 2 :Tính 
HD :
Ta phân tích :
DẠNG 11 :
SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ
VD 1 :Tính 
HD :
Ta biến đổi :
VD2 : Tính 
HD :
Ta biến đổi : =
Đặt : t=sinx dt= cosxdx
VD3 :Tính 
HD :
Ta biến đổi : =
Đặt : t= tgx 
VD3 :Tính 
HD :
Ta biến đổi : 
Đặt : t= tgx