Các dạng bài tập Hệ phương trình

Hệ phương trình hai ẩn
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình: 
 Cách giải: 
b1. Tính các định thức: ; ; 
b2. Ta có:
i/. : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với , 
ii/. : Hệ phương trình vô nghiệm 
iii/. : Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm 
( nên thay giá trị cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận )
2. Các ví dụ: 
VD1: Cho hệ phương trình: 
 (I)
1. Giải và biện luận hệ (I)
2. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0), tìm các giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số nguyên.
VD2: Cho hệ phương trình:
1. Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện ?
2. Với các giá trị của m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
( ĐH An Ninh 98 )
VD3: Giải và biện luận hệ phương trình 
VD4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình có nghiệm
 ( ĐH Công Đoàn 98 )
3. Bài tập làm thêm:
B1. Giải và biện luận hệ phương trình 
B2. Cho hệ phương trình 
a). Giải và biện luận hệ phương trình 
b). Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m.
B3. Cho hệ phương trình 
a). Giải và biện luận hệ phương trình 
b). Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
1. Dạng: (1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y
2. Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi. Tức là: 
 Chẳng hạn: hệ phương trình 
3. Cách giải:
b1. Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy. Ta được: (2)
b2. Giải hệ phương trình (2)
 + Nếu S0 , P0 là một nghiệm của hệ (2) thì nghiệm x, y của hệ (1) là nghiệm của hệ
 + Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t2 – S0.t + P0 = 0 (3)
b3. Kết luận 
4. Chú ý:
a). Hệ (1) có nghiệm (x; y) Hệ (2) có nghiệm (S0; P0) 
b). Nếu thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt 
 và 
 Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng và 
c). Nếu thì phương trình (3) có nghiệm kép 
 Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng 
d). Do tính đối xứng, 
 “ nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ (1) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ (1)” .
 Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x0; x0)
e). Các biểu thức đối xứng thông dụng:
f). Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn ở mẫu )
5. Các ví dụ: 
VD1: Giải hệ phương trình ( ĐH Mỏ – Địa chất 98 )
VD2: Ch hệ phương trình (I) ( ĐHQG Hà Nội 99 )
Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm 
Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
VD3: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm 
 ( ĐH Y Dược TpHCM 98 )
6. Bài tập làm thêm
B1. Giải hệ phương trình ( ĐH Ngoại thương 97, khối D )
B2. Cho hệ phương trình ( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D )
Giải hệ phương trình khi m = 1
Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm 
B3. Cho hệ phương trình ( ĐH Su phạm Quy Nhơn 99 )
Giải hệ phương trình với m = 3
Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm 
B4. Giải hệ phương trình ( ĐH Ngoại thương 98 )
B5. Giải hệ phương trình ( ĐH Ngoại thương 99, khối A )
B6. Cho hệ phương trình ( ĐH Ngoại thương 97, khối A )
Giải hệ phương trình khi m = 12
Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm 
B7. Giải hệ phương trình ( ĐHQGHCM 2000, khối D )
B8. Giải hệ phương trình ( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B )
B9. Giải hệ phương trình 
B10. Giải hệ phương trình 
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 
1. Dạng: 
2. Nhận dạng: 
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại. 
 Ta có: 
 Chẳng hạn: hệ phương trình 
3. Cách giải: 
b1. Biến đổi 
b2. Giải hệ phương trình (A) và (B)
Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau:
 ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại 1 )
b3. Kết luận 
4. Các ví dụ: 
VD1: Giải hệ phương trình ( ĐHQG Hà Nội 99, khối B )
VD2: Cho hệ phương trình ( ĐHSưphạm Vinh 99 )
 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
 ( ĐH Hàng hải 97 )
VD4: Giải hệ phương trình ( ĐH khối B 2003 )
5. Bài tập làm thêm: 
B1. Giải hệ phương trình ( ĐHQG Hà Nội 98 )
B2. Giải hệ phương trình ( ĐHQG Hà Nội 97 )
B3. Cho hệ phương trình ( ĐHQG TpHCM 96 )
 Xác định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B4. Giải hệ phương trình 
B5. Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 0
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B6. Giải hệ phương trình ( ĐHQG Hà Nội 2000)
B7. Giải hệ phương trình ( HV Chính trị 2001 )
B8. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
 ( ĐH Sưphạm HCM 2001 )
B9. Cho hệ phương trình ( ĐH Hàng hải 97 )
Giải hệ phương trình khi m = –1
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B10. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 
1. Dạng: (I), với: 
+ Đa thức hai biến x và y có dạng: 
+ Trong đó: n là số nguyên dương và các hệ số không đồng thời bằng 0 được gọi là đa thức dẳng cấp bậc n 
2. Cách giải: 
 b1. Giải hệ (I) khi x = 0
 b2. Giải hệ (I) khi 
 + Đặt y = t.x , ta được: (II) 
 + Thay t = t0 vào (II), ta có: (III) 
 b3. Kết luận 
3. Chú ý: 
 3.1. Theo cách giải nêu trên, ta có thể giải hệ (I) như sau:
 b1. Giải hệ (I) khi y = 0
 b2. Giải hệ (I) khi . Đặt x = t.y ( làm tương tự như trên )
 b3. Kết luận 
 3.2. Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải như sau:
 b1. Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( hoặc khử x2 ). Từ đó tính y theo x 
 ( hoặc tính x theo y )
 b2. Sử dụng phép thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương.
 b3. Giải phương trình bậc 4 trùng phương nói trên và kết luận 
4. Các ví dụ: 
VD1: Giải hệ phương trình (QGHN 97)
VD2: Giải hệ phương trình ( Mỏ địa chất 97 )
VD3: Giải hệ phương trình ( ĐH Ngân hàng 2001 )
VD4: Cho hệ phương trình (QGHCM 98 )
Giải hệ phương trình khi m = 0
Xác định m để hệ phương trình có nghiệm 
5. Bài tập làm thêm: 
B1. Giải hệ phương trình ( ĐH Kiến trúc HCM 95 )
B2. Giải hệ phương trình ( ĐH SưphạmHCM 2000 )
B3. Giải hệ phương trình ( ĐH Hàng hải 2000 )
B4. Giải hệ phương trình ( ĐH Kiến trúc HàNội 98 )
B5. Giải hệ phương trình 
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
1. Cách giải: 
Dùng các phép biến đổi, đưa về hệ phương trình đã biết cách giải. Thường gặp các trường hợp như sau:
+ Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế
+ Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phương trình
 tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản
+ Trường hợp 3: Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng thì ta dùng
 ẩn số phụ
2. Các ví dụ: 
VD1: Cho hệ phương trình ( ĐHQGHCM 97 )
Giải hệ phương trình khi m = 4
Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm 
VD2: Cho hệ phương trình (HV Kỹ thuật QS 98 )
Giải hệ khi a = b = 1
Xác định a, b để hệ có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt 
VD3: Giải hệ phương trình ( ĐHGTVT 99 )
VD4: Giải hệ phương trình ( ĐH 2003, khối A )
3. Bài tập làm thêm: 
B1. Giải hệ phương trình ( ĐH Hồng Đức 99 )
B2. Giải hệ phương trình 
B3. Giải hệ phương trình ( ĐH Sưphạm HàNội 99 )
B4. Giải hệ phương trình ( ĐH Xâydựng 97 )
B5. Giải hệ phương trình ( ĐH Thủy sản 98 )
B6. Giải hệ phương trình 
 a). b). c). d). 
 e). f). g). h). 
B7. Giải hệ phương trình
 a). b). c). 
B8. Giải và biện luận hệ phương trình 
 a). b). 
B9. Giải hệ phương trình 
 a). b). c). d).