Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 8: Số phức

htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 8
Số phức
Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;

2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;
3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;
4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;
5. z1.z2 = z1.z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;
6. Với bất kì số phức z , 0, có z−1 = (z)−1 ;
7.
z1
z2
‹
=
z1
z2 
, z2 , 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ;
8. ℜ(z) = z + 2
2 
và ℑ(z) = z − z
2i 
.
Bài 8.2 : 1. Tính z =
5 + 5i
3 − 4i +
20
4 + 3i ;
2. Giả sử z1, z2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z1.z2 + z1.z2 là một số thực.
Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :
1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ;
2. |z| = | − z| = |z| ;
3. z.z = |z|2 ;
4. |z1.z2| = |z1|.|z2| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ;
5. |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| ;
6. |z−1| = |z|−1, z , 0 ;
7.
z1
z2
=
|z1|
|z2| , z2 , 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ;
8. |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2|.
Bài 8.4 : Chứng minh rằng
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)
với mọi số phức z1, z2.
Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1| = |z2| = 1 và z1.z2 , −1, thì z1 + z21 + z1z2 là số thực.
Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và
§
Ma = z ∈ C∗ : z + 1
z
ª
= a .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ Ma.
167
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có
|z + 1| ≥ 1√
2 
hoặc |z2 + 1| ≥ 1.
Bài 8.8 : Chứng minh rằng :
r
7
2 ≤ |1 + z| + |1 − z + z
2| ≤ 3
r
7
6
với mọi số phức mà |z| = 1.
Bài 8.9 : Xét tập
H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}.
Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H.
Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho
y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1).
Chứng minh rằng
|z| − |y|
|z − y| ≥
|z| − |x|
|z − x| ≥
|y| − |x|
|y − x| .
Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức
z2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2 + px + q2 = 0 có cùng
môđun, thì
p
q 
là một số thực.
Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.
1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2 = ac.
2. Nếu mỗi phương trình
az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0
có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|.
Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C :
1. z2 + z + 1 = 0 ; 2. z3 + 1 = 0.
Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau :
1. (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ;
2.
x − 3
3 + i +
y − 3
3 − i = i ;
3. (4 − 3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 − 1
2 
x2 + (3xy − 2y2)i.
Bài 8.16 : Tính :
1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ;
2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ;

3.
1 + i
1 − i
‹16
+
1 − i
1 + i
‹8
;
‚
4.
−1 + i √3
2
Œ6
+
‚
1 − i √7
2
Œ6
;
5.
3 + 7i
2 + 3i +
5 − 8i
2 − 3i .
Bài 8.17 : Tính :
1. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ;
2. En = 1 + i + i2 + · · · + in, với n ≥ 1 ;
3. i1.i2.i3 . . . i2000 ;
4. i−5 + (−i)7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 168
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :
1. z2 = i ; 2. z2 = −i ; 3. z2 = 1
2 
− i
√
2
2 
.
Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z + 1
z 
∈ R.
Bài 8.20 : Chứng minh rằng :
1. E1 = (2 + i 
√
5)7 + (2 − i √5)7 ∈ R ; 2. E2 =
19 + 7i
9 − i
‹n
+
20 + 5i
7 + 6i
‹n
∈ R.
Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau :
1. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2 ;
2. |1 + z1z2|2 + |z1 − z2|2 = (1 + |z1|2)(1 + |z2|)2 ;
3. |1 − z1z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|)2 ;
4. |z1 + z2 + z3|2 + | − z1 + z2 + z3|2 + |z1 − z2 + z3|2 + |z1 + z2 − z3|2 = 4(|z1|2 + |z2|2 + |z3|2).
Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗ sao cho z3
+
1
z3 
≤ 2. Chứng minh rằng z
+
1
z 
≤ 2.
Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :
1. |z| = 1 và |z2 + z2| = 1 ; 2. 4z2 + 8|z|2 = 8 ; 3. z3 = z.
Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C vớiℜ(z) > 1. Chứng minh rằng
1
z 
−
1
2 
<
1
2
.
Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −1
2
+ i 
√
3
2 
. Tính
(a + bω + cω2)(a + bω2 + cω).
Bài 8.26 : Giải các phương trình :
1. |z| − 2z = 3 − 4i ;
2. |z| + z = 3 + 4i ;
3. z3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ;
4. iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ;
5. z4 + 6(1 + i)z2 + 5 + 6i = 0 ;
6. (1 + i)z2 + 2 + 11i = 0.
Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
z3 + (3 + i)z2 − 3z − (m + i) = 0
có ít nhất một nghiệm thực.
Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho
z′ = (z − 1)(z + i)
là một số thực.
Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z|
=
1
z 
.
Bài 8.30 : Giả sử z1, z2 ∈ C là các số phức sao cho |z1 + z2| =
√
3 và |z1| = |z2| = 1. Tính |z1 − z2|.
‚
Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
−1 + i √3
2
Œn
+
‚
−1 − i √3
2
Œn
= 2.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 169
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình
zn−1 = iz.
Bài 8.33 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức với
|z1| = |z2| = |z3| = R > 0.
Chứng minh rằng
|z1 − z2|.|z2 − z3| + |z3 − z1|.|z1 − z2| + |z2 − z3|.|z3 − z1| ≤ 9R2.
Bài 8.34 : Giả sử u, v,w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w = v(u − z)
u.z − 1 . Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1.
Bài 8.35 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho
z1 + z2 + z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3| = 1.
Chứng minh rằng
z21 + z
2
2 + z
2
3 = 0.
Bài 8.36 : Xét các số phức z1, z2, . . . , zn với
|z1| = |z2| = · · · = |zn| = r > 0.
Chứng minh rằng số
E =
(z1 + z2)(z2 + z3) · · · (zn−1 + zn)(zn + z1)
z1.z2 · · · zn
là số thực.
Bài 8.37 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức khác nhau sao cho
|z1| = |z2| = |z3 > 0.|
Nếu z1 + z2z3, z2 + z1z3 và z3 + z1z2 là các số thực, chứng minh rằng z1z2z3 = 1.
Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2 − x + 1 = 0. Tính
1. x20001 + x
2000
2 ; 2. x
1999
1 + x
1999
2 ; 3. x
n
1 + x
n
2, với n ∈ N.
Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau :
1. x4 + 16 ; 2. x3 − 27 ; 3. x3 + 8 ; 4. x4 + x2 + 1.
Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :
1. (2 + i)(3 − i) ; 2. 5 + i
2 − i ;
3. i51 + 2i80 + 3i45 + 4i38.
Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau
|z1 + z2| + |z2 + z3| + |z3 + z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1 + z2 + z3|
đúng với mọi số phức z1, z2, z3.
Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1 = 3 + i ; z2 = −4 + 2i ; z3 = −5 − 4i ; z4 = 5 − i ; z5 = 1 ; z6 = −3i ; z7 = 2i ;
z8 = −4.
Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :
1. |z − 2| = 3 ;
2. |z + i| < 1 ;
3. |z − 1 + 2i| > 3 ;
4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 170
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
5. 0 < ℜ(iz) < 1 ;
6. −1 < ℑ(z) < 1 ;
7. ℜ

z − 2
z − 1
‹
= 0 ;
8.
1 + z
z 
∈ R ;
9. |
√
x2 + 4 + i 
√
y − 4| = √10, với z = x + yi ;
10. z +
1
z 
= 2.
Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1. z1 = −1 − i ; 2. z2 = 2 + 2i ; 3. z3 = −1 + i 
√
3 ; 4. z4 = 1 − i 
√
3.
Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1. z1 = 2i ; 2. z2 = −1 ; 3. z3 = 2 ; 4. z4 = −3i.
Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức
z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π).
Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z|
= 1 và z
z
+
z
z
= 1.
Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000.
Bài 8.49 : Chứng minh rằng
sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cos t.
Bài 8.50 : Tính z =
(1 − i)10( √3 + i)5
(−1 − i √3)10 .
Bài 8.51 : Tính :
1. (1 − cos a + i sin a)n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; 2. zn + 1
zn 
, nếu z +
1
z
=
√
3.
Bài 8.52 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = |z3| = r > 0
và z1 + z2 + z3 , 0. Chứng minh rằng
z1z2 + z2z3 + z3z1
z1 + z2 + z3
= r.
Bài 8.53 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = r > 0.
Chứng minh rằng

z1 + z2
r2 + z1z2
‹2
+

z1 − z2
r2 − z1z2
‹2
≥ 1
r2 
.
Bài 8.54 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho
|z1| = |z2| = |z3| = 1
và
z21
z2z3
+
z22
z3z1
+
z23
z1z2
+ 1 = 0.
Chứng minh rằng
|z1 + z2 + z3|{1; 2}.
Bài 8.55 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = 1. Chứng minh rằng
|z1 + 1| + |z2 + 1| + |z1z2 + 1| ≥ 2.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 171
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1. Chứng minh rằng
n|1 + z| + |1 + z2| + |1 + z3| + · · · + |1 + z2n| + |1 + z2n+1| ≥ 2n.
Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính
C019 −C219 + C419 − · · · + C1619 −C1819.
Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z.
Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức.
Bài 8.60 (A09) : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2.
Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( √2 + i)2(1 − √2i).
Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z =
(1 − √3i)3
1 − i . Tìm môđun của số phức z + iz.
Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = √10 và z.z = 25.
Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :
|z − i| = |(1 + i)z| .
Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2.
Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = √2 và z2 là số thuần ảo.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 172
Download tài liệu học tập tại :