Các chủ đề ôn thi tốt nghiệp môn Toán

BUỔI 1
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU:
1.Về kiến thức:
Nắm vững phương pháp tìm GTLN, NN của hàm số trên khoảng, đoạn.
2.Về kĩ năng:
Tìm được gtln, nn của hs trên khoảng, đoạn.
3.Về tư duy và thái độ:
Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận.
Tích cực, chủ động nắm kiến thức, tham gia xây dựng bài.
II. CHUẨN BỊ:
1.Giáo viên: 
Giáo án, thước kẻ,bảng phụ, phiếu học tập, đèn chiếu (nếu có) 
2.Học sinh:
SGK, Xem lại phương pháp tìm gtln, nn của hàm số và các nội dung kiến thức có liên quan đến bài học.
Làm các bài tập về nhà.
III. PHƯƠNG PHÁP: 
Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề, hoạt động sửa bài tập trên bảng của học sinh là chính
IV. TIẾN TRÌNH: 
1.Ổn định lớp: (1’)
2.Kiểm tra bài cũ: 
Nêu quy tắc tìm gtln, nn của hàm số trên đoạn. Áp dụng tìm gtln, nn của hs
 y = x3 – 6x2 + 9x – 4 trên đoạn [0;5]; [-2;-1]; (-2;3).
Nhận xét, đánh giá.
Bài mới
 . Bài mới
 Ôn lý thuyết 
Yêu cầu các nhóm trình bày các phần lý thuyết đã học có liên quan
Như : Cực đại,cực tiểu,GTLN,GTNN
Dùng máy hoặc bảng phụ để kiểm tra kết quả.
Hoạt động 1: Cho học sinh tiếp cận dạng bài tập tìm gtln, nn trên đoạn
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
Dựa vào phần kiểm tra bài cũ gv nêu lại quy tắc tìm gtln, nn của hs trên đoạn. Yêu cầu học sinh vận dung giải bài tập:
- Cho học sinh làm bài tập: 
- Nhận xét, đánh giá 
- Học sinh thảo luận nhóm .
- Đại diện nhóm trình bày lời giải trên bảng. 
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3. (f(x) = f(1) = 2)
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3].	(f(x) = f(1) = 2 và f(x) = f(3.) = 6
Hoạt động 2: Cho học sinh tiếp cận với các dạng toán thực tế ứng dụng bài tập tìm gtln, nn của hàm số.
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
- Cho học sinh làm bài tập 
- Nhận xét, đánh giá bài làm và các ý kiến đóng góp của các nhóm.
- Nêu phương pháp và bài giải .
- .
- Học sinh thảo luận nhóm.
- Đại diện nhóm lên bảng trình bày bài giải.
- Các nhóm khác nhận xét .
3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = với x<1.(f(x) = f(0) = -4)
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
 y = 3 sinx – 4 cosx.
Hoạt động 3:Cho học sinh tiếp cận với dạng bài tập tìm gtln , nn trên khoảng
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
- Cho học sinh làm bài tập: 4b, 5b sbt tr 24.
- Nhận xét, đánh giá câu 4b, 5b.
- Học sinh thảo luận nhóm.
- Đại diện nhóm lên bảng trình bày bài giải.
 5. Tìm GTLN: y = -x2+2x+3. 	(y = f(1 ) = 4)
6. Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0.	(y = f(1 ) = -3)
 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x3+3x2-1 trên đoạn 
(; )
8. Tìm GTLN, GTNN của:
a. y = x4-2x2+3.	(y = f(±1) = 2; Không có y)
 b. y = x4+4x2+5.	(y=f(0)=5; Không có y)
9, y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên [–4;4]
10, y = x4 – 3x2 + 2 trên đoạn [0;3]
11, trên đoạn 
 d) y = x + trên [2;4]
Gv sửa sai,hoàn thiện lời giải
Cũng cố):
 BUỔI 2 
 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
I. MỤC TIÊU: 
1.Về kiến thức:
Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số bậc 3 : Tìm tập xác định ,chiều biến thiên , tìm cực trị, lập bảng biến thiên , tìm điểm đặc biệt , vẽ đồ thị đoạn
2.Về kĩ năng:
Biết vận dụng đạo hàm cấp 1 để xét chiều biến thiên và tìm điểm cực trị của hàm số , biết vẽ đồ thị hàm số bậc 3
3.Về tư duy và thái độ:
Vẽ đồ thị cẩn thận , chính xác , Nhận được dạng của đồ thị
Biết được tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3,vẽ chính xác đồ thị đối xứng.
II. CHUẨN BỊ:
1.Giáo viên: 
Giáo án , thước kẻ , phấn màu , bảng phụ 
2.Học sinh:
Soạn bài tập về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 
 	III. PHƯƠNG PHÁP: 
Gợi mở , hướng dẫn 
Học sinh lên bảng trình bày bài giải
IV. TIẾN TRÌNH: 
1. Ổn định lớp: (1’)
2.Kiểm tra bài cũ:
Phát biểu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Áp dụng : Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị hàm số y = x3 – 3x
3.Bài mới
Hoạt động : Hoạt động sửa bài tập.
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
HĐTP1
Gọi học sinh nêu tập xác định của hàm số
HĐTP2
Tính đạo hàm y’ và tìm nghiệm của đạo hàm
 y’ = 0
Dựa vào dấu của đạo hàm y’ nêu tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
HĐTP1
Phát biểu tập xác định của hàm số
HĐTP2
Phát biểu đạo hàm y’ và tìm nghiệm của đạo hàm
 y’ = 0
Phát biểu dấu của đạo hàm y’ nêu tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
1.Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 + 3x – x3 
a. TXĐ : R
b. Sự biến thiên :
* Chiều biến thiên y' = 3 – 3x2
 y' = 0 
Các giới hạn tại vô cực ;
*Bảng biến thiên 
x – 1 1 
y’ – 0 + 0 –
y 4
 0 CĐ 
 CT
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
- Hàm số đồng biến trên kh ( – 1;1) 
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = –1, 
 yCT = y( –1) = 0
- Hàm số đạt cực đại tại x = 1
 yCĐ = y(1) = 4
c. Đồ thị : Ta có 
 2 + 3x – x3 = (x+1)2(2 – x) = 0
 Vậy các giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là 
( –1;0) và (2;0) 
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là I(0;2)
Ta có đồ thị nhận I(0;2) làm tâm đối xứng và đồ thị là
HĐTP1
Nêu tập xác định của hàm số
HĐTP2
Tính đạo hàm y’ và tìm nghiệm của đạo hàm
 y’ = 0 nếu có
Nêu y’=3(x+1)2 + 1>0
Suy ra tính đơn điệu của hàm số
Tính các giới hạn ở vô cực
HĐTP3
Nêu bảng biến thiên và xác định các điểm đặc biệt
HĐTP4
Vẽ đồ thị hàm số
HĐTP1
Phát biểu tập xác định của hàm số
HĐTP2
Phát biểu đạo hàm y’ và xác định dấu của đạo hàm y’ để suy ra tính đơn điệu của hàm số
HĐTP3
Lập bảng biến thiên và tìm 
điểm đặc biệt
HĐTP4
Vẽ đồ thị hàm số
2.Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 +3x2 + 4x
a. TXĐ : 
b. Sự biến thiên :
* Chiều biến thiên 
 y' = 3x2 + 6x + 4
 Ta có 
y' = 3x2 + 6x + 4 =3(x+1)2 + 1 > 0 
với mọi x R 
* Các giới hạn tại vô cực ;
*Bảng biến thiên 
x 
y’ + 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng và không có cực trị
c. Đồ thị 
Đồ thị hàm số qua gốc toạ độ và điểm (–2;– 4), nhận điểm I(–1;–2) làm tâm đối xứng . Ta có đồ thị
Củng cố :
Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 
Bài tập về nhà 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
 a. y = x4 – 2x2 + 2 b. y = – x4 + 8x2 – 1 
BUỔI 3 
HÀM TRÙNG PHƯƠNG VÀ HÀM PHÂN THỨC
I. MỤC TIÊU:
1.Về kiến thức:
Củng cố các bước khảo sát và cách vẽ đồ thị hàm số của hàm trùng phương.
Khắc sâu sơ đồ tổng quát khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm trùng phương và các bài toán liên quan.
2.Về kĩ năng:
Rèn kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương.
HS làm được các bài toán về giao điểm, tiếp tuyến,các bài toán tìm tham số 
3.Về tư duy và thái độ:
Rèn luyện tư duy linh hoạt ,tính chính xác,logic, thái độ nghiêm túc , cẩn thận.
II. CHUẨN BỊ:
1.Giáo viên: 
Giáo án, bảng phụ 
2.Học sinh:
Làm các bài tập trước ở nhà.
III. PHƯƠNG PHÁP: 
Gợi mở, vấn đáp, học sinh lên bảng trình bày bài giải.
IV. TIẾN TRÌNH: 
1. Ổn định lớp: (1’)
2.Kiểm tra bài cũ: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 2x2.
3.Bài mới:
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
HĐ1:cho hs giải bài tập 1.
H1: gọi hs nêu lại sơ đồ khảo sát hàm số.
Gọi HS nhận xét bài làm của bạn (Kiểm tra bài cũ)
GV HD lại từng bước cho HS nắm kỹ phương pháp vẽ đồ thị hàm trùng phương với 3 cực trị.
H2: hàm số có bao nhiêu cực trị? vì sao?
Cho HS thảo luận phương pháp giải câu b.
H3:Nêu công thức viết pt tiếp tuyến của (C) qua tiếp điểm?
H4:Muốn viết được pttt cần có yếu tố nào?
H5:Muốn tìm toạ độ tiếp điểm ta làm gì?
GV HD lại phương pháp cho HS.
Gọi ý cho HS làm câu c.
Nhắc HS chú ý VDụ8/T42 sgk.
H4:ĐT d :y = m có gì đặc biệt ?
H5:khi m thay đổi thì đt d sẽ có những vị trí tương đối nào so với (C)?
Gọi HS lên bảng và trả lời câu hỏi này:
Nhận xét lại lời giải của HS:
Củng cố lại phương pháp giải toàn bài cho HS hiểu:
HĐ2:Cho HS làm tiếp bài tập 2.
Gọi HS thảo luận làm câu 2a.
H1:Đồ thị có bao nhiêu điểm cực trị và tại sao?
H2: Hình dạng của (C) có gì khác so với câu 1a.
Gọi HS lên bảng khảo sát và vẽ đồ thị câu 2a.
H3:Phương pháp biện luận theo k số giao điểm của (C) và parapol (P) .
GV HD lại phương pháp thêm lần nữa.
GV HD cho HS lên bảng trình bày lời giải:
GV củng cố lại toàn bài.
+HS ghi đề bài và thảo luận:
+HS trả lời:
+HS nhận xét bài làm của bạn:
+HS chú ý lắng nghe:
+HS trả lời:3
+HS thảo luận tìm phương án trả lời:
+HS suy nghĩ và trả lời:
+HS trả lời:
+HS trả lời:
+HS lên bảng trình bày lời giải:
+HS chú ý lắng nghe và hiểu phương pháp:
+HS suy nghĩ phương pháp ,chuẩn bị lên bảng:
 +HS đọc kỹ vdụ và chú ý phương pháp:
+HS trả lời được:
+HS trả lời 
+HS lên bảng trình bày lời giải:
+HS chú ý lắng nghe và rút kinh nghiệm:
+HS chú ý lắng nghe :
+HS trả lời: 1
HS trả lời:giống parapol.
+HS lên bảng trình bày:
+HS trả lời : lập phương trình hoành độ giao điểm:
+HS chú ý lắng nghe: +HS lên bảng trình bày lời giải:
+HS chú ý lắng nghe và củng cố phương pháp lần nữa:
Bài 1:a.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
(C) y = f(x) = x4 – 2x2.
 b.Viết pttt của (C) tại các giao điểm của nó đt y = 8 .
 c,Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của pt :x4 – 2x2 – m = 0.
Giải:
a, TXD: D = R.
 f(x) là hàm số chẵn
b,Chiều biến thiên:
y’ = 4x3 -4x , 
y’ = 0 
, hàm số không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
x
 -1 0 1 
y’
 0 0 0
y
 0 
 -1 -1
Hàm số đồng biến trên (-1;0) và (1;+).
Hàm số nghịch biến trên (;-1) và (0;1).
Điểm cực đại : O(0;0).
Điểm cực tiểu: ( -1;-1) và(1;-1)
c.Đồ thị:
b,HD: (C) cắt d tại A(-2;8) và B(2;8).
 Phương trình tiếp tuyến có dạng:
 y = f’()(x - ) + 
Thay số vào để được kq đúng
c.từ pt tacó: x4 – 2x2 = m .
Số giao điểm của đt d và đồ thị (C) chính là số nghiệm của pt, từ đó ta có kết quả sau:
KQ: m < -1 :pt vô nghiệm.
 m = -1:phương trình có hai 
 nghiêm : x = 
 -1< m<0: phương trình có bốn 
 nghiệm phân biệt
 m = 0: pt có 3 nghiệm pbiệt 
 là x= 0 và x = 
 m> 0 :pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2.a.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số(C) y = f(x) = x4 + 2x2 -1.
 b.Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (P) :y = 2x2 + k
HD:(KS theo sơ đồ và vẽ được đồ thị.)
b.PTHĐ GĐ: x4 = k +1.
Số giao điểm của (C) và (P) là số ngiệm của pt trên, ta suy ra:
 k =-1: (P) cắt (C) tai A(0;-1)
 k < -1: (P) không cắt (C)
 k > -1: (P)cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè: y = 
Ho¹t ®éng cña häc sinh
Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn
- §äc, nghiªn cøu vÝ dô 3 theo nhãm ®­îc ph©n c«ng.
- Ph¸t biÓu nªu khóc m¾c cÇn gi¶i quyÕt.
- Tr¶ lêi c©u hái cña gi¸o viªn.
- Tæ chøc cho häc sinh ®äc, nghiªn cøu vÝ dô 3 theo nhãm.
- §Þnh h­íng: Kh¶o s¸t vÏ ®ß thÞ cña hµm theo s¬ ®å kh¶o s¸t hµm sè.
- Ph¸t vÊn kiÓm tra sù ®äc hiÓu cña hs
Ho¹t ®éng 4
Kh¶o s¸t hµm sè y = f(x) = . Sö dông ®å thÞ ®Ó biÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: = k.
Ho¹t ®éng cña häc sinh
Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn
- Ho¹t ®éng gi¶i to¸n theo nhãm.
- NhËn xÐt bµi gi¶i cña b¹n.
- Tæ chøc cho häc sinh ho¹t ®éng theo nhãm.
- Gäi mét häc sinh thùc hiÖn bµi gi¶i.
- ThuyÕt tr×nh vÒ c¸c d¹ng ®å thÞ cña hµm sè d¹ng:
y = víi c ¹ 0, D ¹ ad - bc = 0 
B – BÀI TẬP CỦNG CỐ
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = 	b) y = 
c) y = 	d) y = 
e) y = 	f) y = 
BUỔI 4 
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
I. MỤC TIÊU:
1.Về kiến thức:
Củng cố bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Khắc sâu s ... + (2 - 4i) - (3 - 2i);	b) 
Bµi gi¶i
 a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) 
	 = (2 - 3) + (-3 + 2)i 
	 = -1 - i.
 VËy sè phøc ®· cho cã phÇn thùc lµ - 1, phÇn ¶o lµ - 1.
 b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã
 Do ®ã nhËn ®­îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n lµ 2 + 10i
VÝ dô 2: TÝnh 
Bµi gi¶i
 Ta cã : 
VÝ dô 3: TÝnh 
Bµi gi¶i
 Ta cã: 
Mµ . Nªn , hay lµ 
.
	VÝ dô 4: TÝnh 
Bµi gi¶i
 NhËn thÊy . 
Suy ra .
	VÝ dô 5: Cho sè phøc . 
H·y chøng minh r»ng: .
Bµi gi¶i
	Do . Nªn ;
	L¹i cã . Suy ra .
	H¬n n÷a ta cã .
	VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu . 
Bµi gi¶i
 §Æt z = x + yi, khi ®ã
 VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i.
 2. BiÓu diÔn sè phøc trong mÆt ph¼ng to¹ ®é
	a) Ph­¬ng ph¸p gi¶i
 §Ó biÓu diÔn mét sè phøc cÇn dùa vµo ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt sau:
 NÕu sè phøc z ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ , sè phøc z' ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ , th×
	z + z' ®­îc biÓu diÔn bëi ;
	z - z' ®­îc biÓu diÔn bëi ;
	- z ®­îc biÓu diÔn bëi .
	b) C¸c vÝ dô.
 VÝ dô 1: Gi¶ sö M(z) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®« biÓu diÔn sè phøc z. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau
	a) ;	b) .
Bµi gi¶i
 a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc trë thµnh 
 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n gi¶ thiÕt lµ ®­êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2.
 b) Gäi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi ®ã hay lµ
	M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB.
	NhËn xÐt: Víi phÇn b ta cã thÓ thøc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ ®· lµm ë phÇn a. Tuy nhiªn ®Ó thÓ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ vËy lµ ta ®· dùa v¸o nhËn xÐt sau:
 NÕu vÐct¬ cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z th× ®é dµi cña vect¬ lµ , vµ tõ ®ã nÕu c¸c ®iÓm A, B theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× .
 VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . T×m sè phøc z cã modul nhá nhÊt.
Bµi gi¶i
 XÐt biÓu thøc (1). §Æt z = x + yi. Khi ®ã (1) trë thµnh
 Do ®ã c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n (1) n»m trªn ®­êng trßn (C) t©m 
y
I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = .
x
- 3
 Ta cã ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi O
H
2
M
I
®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn (C) vµ gÇn O nhÊt. Do ®ã M lµ giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n.
 Ta cã OI = . KÎ MH Ox. Theo ®Þnh lÝ ta lÐt cã
	.
 L¹i cã .
VËy sè phøc cÇn t×m lµ 
	.
 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
Bµi gi¶i
Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, w, z + w. 
Ta cã . Tõ OC OA + AC suy ra .
H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC. Khi O A (hay z 0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k 0 ®Ó tøc lµ w = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng ).
VËy khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z 0 th× tån t¹i ®Ó 
w = kz.
c. c©u hái vµ bµi tËp
1. Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Òu cã . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?
2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt:
 a) ;
 b) z + w + u + v = 0.
3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m 
 a) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn ®­êng ph©n gi¸c thø hai y = - x;
 b) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn hypebol ;
 c) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch cña ®iÓm biÓu diÔn sè phøc ®Õn gèc to¹ ®é lµ nhá nhÊt.
4. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tho¶ m·n hÖ thøc .
5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc .
 a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n;
 b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng.
BUỔI 19
C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph­¬ng tr×nh bËc hai
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc
Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®­îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w.
a) NÕu w lµ sè thùc 
 + w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai: 
 + w 0 th× cã hai c¨n bËc hai: .
b) NÕu w lµ sè phøc khi ®ã ta thùc hiÖn c¸c b­íc:
 + Gi¶ sö w= a + ib, ®Æt z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña w tøc lµ: khi ®ã ta cã hÖ:
B×nh ph­¬ng 2 vÕ cña (1) vµ (2) råi céng l¹i ta ®­îc 
Do vËy ta ®­îc hÖ: 
Gi¶i hÖ t×m ®­îc vµ suy ra x vµ y ®Ó t×m z.
Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu.
2. C«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai hÖ sè phøc
Cho PT: vµ cã 
 + NÕu pt cã hai nghiÖm lµ 
 Trong ®ã lµ mét c¨n bËc hai cña .
 + NÕu = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: .
B. C¸c d¹ng bµi tËp
 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt
 a) Ph­¬ng ph¸p gi¶i
 BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng Az + B = 0, A, B . ViÕt nghiÖm 
 b) VÝ dô
 VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2iz + 1 - i = 0
Bµi gi¶i
 NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ .
 2. TÝnh c¨n bËc hai vµ gi¶iph­¬ng tr×nh bËc hai
 a) Ph­¬ng ph¸p gi¶i
 Sö dông c«ng thøc tÝnh c¨n bËc hai cña sè phøc ®Ó tÝnh c¨n bËc hai.
 Sö dông c«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh víi chó ý ph¶i ®­a vÒ ®óng d¹ng cña ph­¬ng tr×nh.
 b) C¸c vÝ dô
 VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
Bµi gi¶i
 a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ
Do b = 12 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc 
VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i.
 b) T­¬ng tù ta gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 8+ 6i tøc lµ
Do b= 6> 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc 
VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i.
 c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ
Do b = -56 < 0 nªn x vµ y tr¸i dÊu tõ ®ã cã hoÆc 
VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4.
 d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ
Do b = 4 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc 
VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i.
 VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
 	Bµi gi¶i
 a) Ta cã 
Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1d) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 1+ 2i vµ -1 - 2i. Do ®ã pt (1) cã hai nghiÖm lµ: 
 b) T­¬ng tù ta cã 
Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1b) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 3 + i vµ -3 - i. Do ®ã pt (2) cã hai nghiÖm lµ:
Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0
 VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
 Bµi gi¶i
 a) Ta cã = 12- 4.3.2 =-23<0 nªn ta cã hai c¨n bËc hai cña lµ: . Tõ ®ã nghiÖm cña pt (1) lµ: 
 b) T­¬ng tù ta cã = -3 < 0 cã hai c¨n bËc hai lµ: nªn (2) cã c¸c nghiÖm lµ: 
 c) Ta cã 
Theo b) ta cã (*) cã hai nghiÖm lµ . Tõ ®ã ta cã c¸c nghiÖm cña pt (3) lµ: 
( C¸c nghiÖm cña pt (3) ®­îc gäi lµ c¨n bËc ba cña 1).
 VÝ dô 4: Chøng minh r»ng nÕu mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc cã nghiÖm phøc th× còng nhËn lµ nghiÖm.
 Bµi gi¶i
 Gi¶ sö PT bËc hai:nhËn sè phøc lµ nghiÖm tøc lµ ta cã: . (1)
LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®­îc: . §iÒu nµy chøng tá lµ nghiÖm cña pt.
 ¸p dông: Chøng tá 1+i lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . T×m nghiÖm cßn l¹i cña pt ®ã.
 VÝ dô 5: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ ®¶o vµ thuËn cña ®Þnh lÝ Vi-et cña ph­¬ng t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc.
 ThuËn: NÕu hai sè lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh th× .
Chøng minh
 Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã:
 §¶o: NÕu hai sè tho¶ m·n: th× lµ nghiÖm cña pt: .(1)
Chøng minh
 Ta cã: 
 §iÒu nµy chøng tá lµ nghiÖm cña (1).
 ¸p dông: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm 
 Bµi gi¶i
 Theo bµi ra ta cã: vµ Theo kÕt qu¶ VD5 ta ®­îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: 
 VÝ dô 6: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: cã tæng b×nh ph­¬ng 2 nghiÖm b»ng 8.
 Bµi gi¶i
 Theo bµi ra ta cã: (1). Theo Vi-et ta cã
 Thay vµo (1) ta ®­îc . Tøc m lµ mét c¨n bËc hai cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ VD1b/ ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i.
 VÝ dô 7: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 
 Bµi gi¶i
 Tõ (2) ta cã KÕt hîp víi (1) ta cã vËy ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Do ®ã lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Ta cã theo VD1a/ ta biÕt cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + 3i vµ -2 - 3i. 
 VËy ta cã HoÆc .
 VÝ dô 8: Cho lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .
Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: Bµi gi¶i
Theo Vi-et ta cã: 
 a) Ta cã 
 b) 
 c) Ta cã .
 VÝ dô 9: Gi¶i pt: (1)
Bµi gi¶i
 §Æt Khi ®ã (1) cã d¹ng: (2).
 Ta cã: cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ 
 vµ .
 MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 
2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ:
C. c©u hái vµ bµi tËp 
Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
a) 8+6i b) 3+4i c) 
d) e) f) 
Bµi 2: Gäi lµ hai c¨n bËc hai cña vµ lµ hai c¨n bËc hai cña . TÝnh ?
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8.
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng:
Bµi 6: Cho lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: .
 Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 
Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ pt
www.VNMATH.com
BUỔI 20 SỐ PHỨC
1.ổn định lớp 
2.Kiểm tra bài cũ :
Câu hỏi 1: Căn bậc 2 của số thực a<0 là gì?
Áp dụng : Tìm căn bậc 2 của -8
Câu hỏi 2: Công thức nghiệm của pt bậc 2 trong tập số phức 
Áp dụng : Giải pt bậc 2 : x² -x+5=0
3.Nội dung:
T/gian
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
- Gọi 1 số học sinh đứng tại chỗ trả lời bài tập 1
- Gọi 3 học sinh lên bảng giải 3 câu a,b,c
Þ GV nhận xét, bổ sung (nếu cần).
- Gọi 2 học sinh lên bảng giải 
 Þ Cho HS theo dõi nhận xét và bổ sung bài giải (nếu cần). 
- Giáo viên yêu cầu học sinh nhăc lại cách tính 
z1+ z2, z1.z2 
trong trường hợp Δ > 0
- Yêu cầu học sinh nhắc lại nghiệm của pt trong trường hợp Δ < 0. ÞSau đó tính tổng z1+z2 tích z1.z2
- Yêu cầu học sinh tính z+z‾
	z.z‾
→z,z‾ là nghiệm của pt 
 X² -(z+z‾)X+z.z‾ = 0
→Tìm pt
Trả lời được :
± I ; ± 2i ; ±2i ; ±2i ; ±11i.
a/ -3z² + 2z – 1 = 0
Δ΄= -2 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt.
 z1,2 = 
b/ 7z² + 3z + 2 = 0
Δ= - 47 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. 
 z1,2 = 
c/ 5z² - 7z + 11 = 0
Δ = -171 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt
z1,2 = 
 3a/ z4 + z² - 6 = 0
 z² = -3 → z = ±i
 z² = 2	 → z = ± 
3b/ z4 + 7z2 + 10 = 0
z2 = -5 → z = ±i
z² = - 2	 → z = ± i
Tính nghiệm trong trường hợp Δ < 0
Tìm được z1+z2 = 
 z1.z2 = 
z+z‾ = a+bi+a-bi=2a
z.z‾= (a+bi)(a-bi)
 = a² - b²i² = a² + b²
→z,z‾ là nghiệm của pt 
X²-2aX+a²+b²=0
Bài tập 1
Bài tập 2
Bài tập 3
BT4:
z1+z2 = 
 z1.z2 = 
BT5:
Pt:X²-2aX+a²+b²=0
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a. 	b. 
c. 	d. ;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+.+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3+++i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau:
a. 	b. 
c. là số ảo tùy ý;	d. 
5. Các vectơ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng  ;
b. Chứng minh rằng vuông góc khi và chỉ khi 
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
 và 
8. Tìm số phức z thỏa mãn
9. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. 	b. 	c. 
10. Giải các phương trình sau trên C :
a. 	b. 
4). Củng cố toàn bài
 - Nắm vững căn bậc 2 của số âm ; giải pt bậc 2 trong tập hợp số phức
 - Bài tập củng cố:
BT 1: Giải pt sau trên tập số phức:
 a/ z2 – z + 5 = 0
 b/ z4 – 1 = 0
 c/ z4 – z2 – 6 = 0