Các bài toán về tọa độ trong không gian

1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
MẶT PHẲNG 
1/ Cho tứ diện ABCD với 𝐴 5; 1; 3 ,𝐵 1; 6; 2 ,𝐶 5; 0; 4 ,𝐷(4; 0; 6). 
 a/ Viết pt mp(BCD) (6𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 − 42 = 0) 
 b/ Viết ptmp đi qua A,B và //CD (10𝑥 + 9𝑦 + 5𝑧 − 74 = 0). 
2/ Cho 𝐴 𝑎; 0; 0 ,𝐵 0; 𝑏; 0 ,𝐶 0; 0; 𝑐 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0. 
 a/ Viết ptmp(ABC) ( 
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1 ) 
 b/ Tính diện tích ∆𝐴𝐵𝐶 (𝑆 = 𝑎2. 𝑏2 + 𝑏2. 𝑐2 + 𝑐2.𝑎2 2 ) 
 c/ Giả sử a,b,c thay đổi nhưng luôn thỏa mãn: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑘2 không đổi; tìm các GT của a, b, c để 
dttg ABC đạt GTLN. Chứng tỏ khi đó d(O;ABC) cũng đat. GTLN. (4𝑆2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2 3 =
𝑘4 3 ;𝑂𝐻 ≤ 𝑘 3 ). 
3/ Viết ptmp đi qua điểm M( 1; 3; -2 ) và vuông góc với hai mp: 
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0; 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 + 4 = 0. ( 11𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 − 22 = 0 ) 
4/ Lập ptmp(P) chứa đt(d): 
𝑥−2
−1
= 𝑦 =
𝑧−2
−4
 và: a/ // với mp(P): 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 
 b/ Vgóc với mp(Q): 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0 ; c/ // với đt(d’): 
𝑥
2
=
𝑦+8
7
=
𝑧+4
4
 . 
 ( 𝑎: 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 0; 𝑏: 𝑥 − 7𝑦 − 2𝑧 + 2 = 0; 𝑐: 32 𝑥 − 2 − 4𝑦 − 9 𝑧 − 2 = 0 ) 
5/ Lập ptmp chứa đt(d): 
𝑥−2
4
=
𝑦−2
7
=
𝑧−1
2
 và vgóc với đt(d’): 
𝑥−1
1
=
𝑦
−2
=
𝑧−2
5
 . 
( 1. 𝑥 − 2 − 2. 𝑦 − 2 + 5. 𝑧 − 1 = 0 ) 
6/ Lập ptmp(P) chứa đt(d): 𝑥 =
𝑦−2
−1
= 𝑧 𝑣à 𝑡ạ𝑜 𝑣ớ𝑖 𝑚𝑝 𝑄 : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 2 = 0 1 𝑔ó𝑐 600. 
 2𝑥 + 1 ± 5 𝑦 − 2 + −1 ± 5 𝑧 − 1 = 0 
7/ Lập ptmp(P) chứa đt(d): 
𝑥−1
1
=
𝑦+1
−2
=
𝑧−2
−1
 𝑣à 𝑡ạ𝑜 𝑣ớ𝑖 đ𝑡 𝑑′ : 
𝑥−2
1
=
𝑦
−1
=
𝑧+3
1
 1 𝑔ó𝑐 600. 
( −6 ± 3 2 𝑥 − 1 + 2 𝑦 + 1 + −10 ± 3 2 𝑧 − 2 = 0 ) 
8/ Lập ptmp(P) chứa đt(d): 
𝑥−2
3
=
𝑦−1
−5
=
𝑧
1
 và cách điểm A(1; -1; 0) một khoảng bằng 1. 
( 17 ± 91 𝑥 − 2 + 9 𝑦 − 1 − 6 ± 3 91 𝑧 = 0 ) 
9/ Viết ptmp(P) đi qua điểm A( 1; 2; 1) và chứa đt(d): 
𝑥
3
=
𝑦−1
4
=
𝑧+3
1
 15𝑥 − 11𝑦 − 𝑧 + 8 = 0 
10/ Viết ptmp(P) chứa đt(d): 
𝑥−1
2
=
𝑦+2
3
=
𝑧−3
1
 và vgóc với mp(Oxy). 3𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0 
11/ Viết ptmp(P) đi qua 2 điểm M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mp(Oxy) một góc 600. 
 𝑃 :
𝑥
3
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
1
= 1 𝑣ớ𝑖 𝑏 = ±
3
 26
12/ Trong KG Oxyz cho hhcn có 𝐴 3; 0; 0 ,𝐵 0; 4; 0 ,𝐶 0; 0; 5 , ),𝑂(0; 0; 0) và D là đỉnh đói diện 
với O. Xác định tọa độ đỉnh D; viết ptmp(ABD); tính d(C:ABD). 
( 𝐷 3; 4; 5 ; 20𝑥 + 15𝑦 − 12𝑧 − 60 = 0;𝑑 = 120 769 ) 
13/ Tìm quĩ tích các điểm cách đều hai mp: 
 a/ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 + 1 = 0 & 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 5 = 0 ( 𝑥 + 𝑦 + 4 = 0; 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 2 = 0 ) 
 b/ 6𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 & 6𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 ( 6𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 ) 
14/ Tìm M trên trục Oz cách đều điểm 𝑁 1; 2;−2 & 𝑚𝑝(𝑃): 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0(𝑧𝑀 = −
7
4
;−4) 
15/ Tính k/c giữa 2 mp: 7𝑥 − 5𝑦 + 11𝑧 − 3 = 0 𝑣à 7𝑥 − 5𝑦 + 11𝑧 − 5 = 0 ( 𝑑 = 2 195 ). 
16/ Tìm điểm M trên trục Oy cách đều 2 mp: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 & 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 ( 𝑀 0;−3; 0 ). 
2 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
17/ Cho 4 điểm 𝐴 −2; 1; 0 ,𝐵 −2; 0; 1 ,𝐶 1;−2;−6 ,𝐷 −1; 2; 2 
 a/ Tính thể tích khối tứ diện ABCD; ( V = 3 ) 
 b/ Viết pt các mp (ABC) & (ABD); ( 𝐴𝐵𝐶 : 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 5 = 0; 𝐴𝐵𝐷 : 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 7 = 0 ) 
 c/ Tính k/c giữa AB và CD; ( 𝑑 = 9/ 38 ) 
 d/ Viết pt phân giác của nhị diện cạnh AB của tứ diện ABCD; ( 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 ) 
 e/ Tìm trên cạnh CD điểm I cách đều 2 mp (ABC) & (ABD); ( 𝐼 −0,5; 1; 0 ) 
 f/ G là điểm thỏa mãn ht: 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷 = 0 . Xác định xem G nằm trong tứ diện ABCI hay 
tứ diện ABDI ? ( G nằm trong tứ diện ABCI ) 
18/ Cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 𝑣à
1
𝑎
+
1
𝑏
+
1
𝑐
= 2. Chứng minh khi a,b,c 
thay đổi thì mp(ABC) luôn đi qua một điểm cố định. 
19/ Cho 3 đ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c là các số dương thỏa mãn ht: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 3. Xác 
định a,b,c sao cho d(O;(ABC)) có GTLN? 
20/ Trong KG Oxyz cho 3 đ A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). Viết ptmp(P) chứa OA sao cho d( B; (P) ) = 
d( C; (P) ). ( 6𝑥 − 3𝑦 ± 4𝑧 = 0 ) 
ĐƯỜNG THẲNG 
1/ Viết ptđt(d) vgóc với mp(P): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 và cắt cả 2 đt: 
𝑥−1
2
=
𝑦+1
−1
= 𝑧;
𝑥+2
−1
=
𝑦+3
0
= 𝑧 
( 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 & 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 − 3 = 0 ) 
2/ Viết ptđt đi qua điểm M( 1; 1; 1) và cắt cả 2 đt: 
𝑥−1
−3
=
𝑦−1
−1
=
𝑧+1
2
;
𝑥+2
2
=
𝑦
−1
= 𝑧 − 2 
 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 & 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 
3/ Viết ptđt // Oz và cắt cả 2 đt: 
𝑥+103
32
=
𝑦+10
4
= 𝑧;
𝑥−3
2
=
𝑦+2
−2
= 𝑧 
4/ Viết ptđt đi qua điểm A( 3; 2; 1) cắt và vgóc với đ𝑡 𝑑 :
𝑥
2
=
𝑦
4
= 𝑧 + 3 ( 
𝑥−3
9
=
𝑦−2
−10
=
𝑧−1
22
 ) 
5/ Viết ptđt đi qua điểm M( -4; -5; 3) và cắt cả hai đt: 𝑑 :
𝑥+1
3
=
𝑦+3
−2
=
𝑧−2
−1
& 𝑑′ :
𝑥−2
2
=
𝑦+1
3
=
𝑧−1
−5
 𝑥 + 3𝑧 − 5 = 0 & 7𝑥 − 13𝑦 − 5𝑧 − 22 = 0 
6/ Viết ptđt đi qua điểm A(0;1;1), vgóc với 𝑑 :
𝑥−1
3
=
𝑦+2
1
=
𝑧
1
 𝑣à 𝑐ắ𝑡 đ𝑡 𝑑′ : 
𝑥+1
0
=
𝑦+1
1
=
𝑧
1
𝑥
−1
=
𝑦 − 1
1
=
𝑧 − 1
2
7/ Viết ptđt(d’) đi qua điểm A( 1; 1; -2), // với mp(P): 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0 𝑣à 𝑣𝑔ó𝑐 𝑣ớ𝑖 đ 𝑑 : 
𝑥 + 1
2
=
𝑦 − 1
1
=
𝑧 − 2
3
𝑥 − 1
2
=
𝑦 − 1
5
=
𝑧 + 2
−3
8/ Viết ptđt đi qua điểm M(1; -5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy các góc bằng 600. Tìm góc tạo 
bởi đt đó với trục Oz. 𝐺ọ𝑖 𝑢 = 𝑥;𝑦; 𝑧 𝑙à 𝑣𝑡𝑐𝑝 𝑐ủ𝑎 đ𝑡 → 𝑥 = 1; 𝑦 = 1; 𝑧 = 2.𝐺ó𝑐 = 450 
9/ Viết ptđt cắt 3 đt (d), (d’), (d”) và vuông góc với véc-tơ 𝑢 = 1; 2; 3 𝑏𝑖ế𝑡: 
 𝑑 : 𝑥 + 1 = 𝑦 =
𝑧 + 1
0
 ; 𝑑′ : 𝑥 − 1 = −𝑦 =
𝑧
0
 ; (𝑑"): 𝑥 − 1 = 𝑦 =
𝑧 − 1
0
 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 & 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 1,5 = 0 
10/ Hãy chứng tỏ hai đt sau đồng phẳng và lập ptmp chứa hai đt đó: 
 a/ 
𝑥−1
−2
=
𝑦+2
1
=
𝑧−4
3
 𝑣à 
𝑥+1
1
=
𝑦
−1
=
𝑧+2
3
 ; 𝑏: 
𝑥−5
2
=
𝑦−1
−1
=
𝑧−5
−1
 𝑣à 
𝑥−3
2
=
𝑦+3
−1
=
𝑧−1
−1
( 𝑎: 6𝑥 + 9𝑦 + 𝑧 + 8 = 0; 𝑏: 𝑦 − 𝑧 + 4 = 0 ) 
3 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
11/ Trong KG Oxyz cho điểm A( 0; 1; 1) và 2 đt 𝑑 :
𝑥−1
3
=
𝑦−2
1
=
𝑧
1
; 𝑑′ :
𝑥+1
0
= 𝑦 = 𝑧 − 1. Lập pt đt 
đi qua A, vgóc với (d) và cắt (d’). 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 & 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 
12/ Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và pt hai trung tuyến: 
𝑥−3
−2
=
𝑦−6
2
=
𝑧−1
1
; 
𝑥−4
1
=
𝑦−2
−4
=
𝑧−2
1
 . 
Viết ptCT các cạnh của tam giác. ( 
𝑥−1
1
=
𝑦−2
0
=
𝑧−5
−1
; 
𝑥−7
−3
=
𝑦−2
4
=
𝑧+1
0
; 
𝑥−1
0
=
𝑦−14
2
=
𝑧+1
−1
 ) 
13/ Cho ∆𝐴𝐵𝐶 𝑐ó 𝐴 0; 1; 2 ,𝐵 2; 3; 1 ,𝐶(−2; 0; 1). Viết pt đường phân giác trong của góc B. 
 𝐷 −
3
4
;
5
8
;
13
8
 , 𝑝𝑡 𝐵𝐷:
𝑥−2
22
=
𝑦−3
11
=
𝑧−1
−5
 ; (14/ 
𝑥−1
13
=
𝑦−2
−21
=
𝑧−3
−22
 ) 
14/ Cho ∆𝐴𝐵𝐶 𝑐ó 𝐴 1; 2; 3 ,𝐵 4; 2;−1 ,𝐶(6;−10; 3). Viết pt đường phân giác trong của góc A. 
15/ Tìm các điểm thuộc đt(d): 
𝑥−1
2
=
𝑦−2
−1
=
𝑧
3
 𝑐á𝑐ℎ 𝑚𝑝 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0 một khoảng bằng 1. 
 ( 9; -2; 12) và ( -3; 4; -6) 
16/ Gọi N là điểm đối xứng của điểm M( 1; 2; -1) qua đt(d): 
𝑥+3
3
=
𝑦−2
−2
=
𝑧−2
2
 . Tính độ dài đoạn MN. 
 𝑀𝑁 = 2𝑑 𝑀; 𝑑 = 2 389 17 
17/ Tìm trên mp(P): 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 một điểm M sao cho tổng k/c từ đó đến hai điểm A( -1; 3; -2) 
và B( -9; 4; 9) là bé nhất. Đ 𝑃 𝐴 = 𝐴
′ 3; 1; 0 ,𝐴′𝐵 ∩ 𝑃 = 𝑀 −1; 2;−3 
18/ Tìm trên mp(Oxz) một điểm M sao cho hiệu các k/c từ đó đến hai điểm A(3;4; -5) và B( 8; -4; -13) 
là lớn nhất. Đ 𝑂𝑥𝑧 𝐴 = 𝐴
′ 
13
3
;
10
3
;−
13
3
 ;𝐴′𝐵 ∩ 𝑂𝑥𝑧 = 𝑀 
28
9
;
52
9
;−
13
9
19/ Cho 4 điểm: A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3) 
 a/ Chứng minh ABDC là hbh; 
 b/ Tính k/c từ C đến AB; 13 
 c/ Tìm trên đt AB điểm M sao cho tổng các k/c từ M tới C và D có GTNN. ( M(2;0;4) ) 
20/ Cho 2 điểm 𝐴 1; 3;−2 ,𝐵 13; 7;−4 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 9 = 0. Tìm điểm I trên mp(P) sao 
cho tổng các k/c từ I tới A và B đạt GTNN. ( I( 9; 1; 1) ) 
21/ Cho 2 điểm 𝐴 3; 1; 1 ,𝐵 7; 3; 9 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0. Hãy tìm trên mp(P) điểm M sao 
cho 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 có GTNN. ( M(0;-3;0) ) 
22/ Cho 2 điểm 𝐴 1;−3; 0 ,𝐵 5;−1;−2 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0. 
 a/ Chứng minh đt AB cắt mp(P) tại điểm I thuộc đoạn AB; tìm tọa độ điểm I. ( I(4;-3/2;-3/2) ) 
 b/ Hãy tìm trên mp(P) điểm M sao cho hiệu các k/c từ M tới 2 điểm A, B có GTLN. ( M(6;-1;-4) ) 
23/Tìm h/c H của điểm M(2;-1;3) trên đt(d): 
𝑥
3
=
𝑦+7
5
=
𝑧−2
2
 ;𝑇ì𝑚 𝑁 = Đ𝑑(𝑀) 𝐻 3;−2; 4 ,𝑁(4;−3; 5 
24/ Cho mp(P): 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 𝑣à 2 đ𝑡 𝑑 :
𝑥
−2
= 𝑦 = 𝑧 − 1; 𝑑′ :
𝑥−10
3
= 𝑦 =
𝑧−12
3
 . Tìm tọa độ 
giao điểm I của hình chiếu 2 đt này trên mp(P). ( 𝐼 −
4
5
;
6
5
; 1 ) 
25/ Chứng minh 2 đt: 𝑑 :
𝑥+23
8
=
𝑦+10
4
= 𝑧 & 𝑑′ :
𝑥−3
2
=
𝑦+2
−2
= 𝑧 chéo nhau. Viết ptmp(P) chứa (d), 
mp(Q) chứa (d’) sao cho (P)//(Q). Tính d((P);(Q)). 
 𝑃 : 𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 13 = 0; 𝑄 : 𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 − 5 = 0; 𝑑 𝑃 ; 𝑄 = 3 2 
 𝑥 − 8𝑦 + 23 = 0 & 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
26/ Tính k/c giữa 2 đt: 
𝑥−2
2
= 𝑦 + 1 =
𝑧−1
0
;
𝑥−1
0
= 𝑦 − 1 =
𝑧−3
−1
 𝑑 = 3 
27/ 𝐶ℎ𝑜 2 đ𝑡 𝑑 :
𝑥−2
2
=
𝑦−3
3
=
𝑧+1
−5
; 𝑑′ :
𝑥+1
3
=
𝑦−4
−2
=
𝑧−4
−1
.𝑇ì𝑚 đ𝑖ể𝑚 𝐻 ∈ 𝑑 ,𝐾 ∈ (𝑑′) sao cho 
𝐻𝐾 ⊥ 𝑑 , 𝑑′ 𝐻 10 13 ; 15 13 ; 27 13 ;𝐾 28 13 ; 28 13 ; 40 13 
28/ Lập pt đường vgóc chung của 2 đt: 
𝑥−7
1
=
𝑦−3
2
=
𝑧−9
−1
; 
𝑥−3
−7
=
𝑦−1
2
=
𝑧−1
3
 . 
4 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − 6 = 0 & 5𝑥 + 34𝑦 − 11𝑧 − 38 = 0 
29/ Cho 2 điểm 𝐴 0; 0;−3 ,𝐵 2; 0;−1 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 3𝑥 − 8𝑦 + 7𝑧 − 1 = 0. 
 a/ Tìm tọa độ giao điểm I của đt AB và mp(P) 
 b/ Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều. 
 𝐼 11 5 ; 0;− 4 5 ,𝐶1 2;−2;−3 ,𝐶2 − 2 3 ;− 2 3 ;− 1 3 
30/ Lập ptmp(P) cách đều 2 đt chéo nhau: 𝑑 : 𝑥 − 2 =
𝑦−1
−1
=
𝑧
2
 ; 𝑑′ :
𝑥−2
−2
=
𝑦−3
0
= 𝑧 
 𝑃 : 𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 − 12 = 0 
31/ Tìm tập hợp các điểm trong không gian cách đều 3 điểm: 𝐴 1; 1; 1 ,𝐵 −1; 2; 0 ,𝐶 2;−3; 2 . 
 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 & 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 7 = 0 
32/ Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với điểm 𝐴 2;−1; 1 𝑞𝑢𝑎 đ𝑡 𝑑 :
𝑥−1
0
=
𝑦
1
=
𝑧−4
−1
 ( 𝐵 0; 3; 5 ) 
33/ Cho hai đt 𝑑 :
𝑥−3
−7
=
𝑦−1
2
=
𝑧−1
3
 & 𝑑′ :
𝑥−7
1
=
𝑦−3
2
=
𝑧−9
−1
 . Hãy viết ptđt(d”) đối xứng với (d’) qua 
(d) ( (𝑑"): (𝑥 + 1)/11 = (𝑦 + 1)/−74 = (𝑧 + 7)/13 ) 
34/ (ĐHMĐC): Cho ∆𝐴𝐵𝐶 có C(3;2;3), đc AH nằm trên đt 
𝑥−2
1
=
𝑦−3
1
=
𝑧−3
−2
 và đường p/g trong của 
góc B nằm trên đt: 
𝑥−1
1
=
𝑦−4
−2
=
𝑧−3
1
 . Tính độ dài các cạnh của ∆𝐴𝐵𝐶 . ( B(1;4;3), A(1;2;5) ) 
35/ Cho 2 đ A(2;4;1), B(3;5;2) và đt 𝑑 : 
𝑥−1
0
=
𝑦−3
1
=
𝑧
1
 . Xét vtrtđ giữa đt AB và (d). Tìm đ M trên (d) 
sao cho 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 𝑐ó 𝐺𝑇𝑁𝑁. ( M(1; 4,5; 1,5 ) ) 
36/ Cho 3 đ A(2;0;1), B2;-1;0), C(1;0;1) và đt (d): 
𝑥
1
=
𝑦
2
=
𝑧
3
 . Tìm trên (d) điểm S sao cho 
 𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 + 𝑆𝐶 đạ𝑡 𝐺𝑇𝑁𝑁 𝑆 3 14; 3 7 ; 9 14 . 
37/ Cho các đ A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). M, N là trđ của OA&BC. P, Q là hai đ nằm trên OC&AB 
sao cho OP/OC = 2/3 và 2 đt MN&PQ cắt nhau. Viết ptmp MNPQ và tìm tỉ số AQ/AB ? ( = 2/3; 
Q(1;2;0); 4x + y + 3z – 6 = 0 ) 
38/( Khó ): Cho đt 𝑑𝑚 : 
𝑚𝑥 − 𝑦 −𝑚𝑧 + 1 = 0
𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 + 𝑚 = 0
 Viết ptđt (d) là h/c của đt 𝑑𝑚 trên mp(Oxy). CM 
(d) luôn t/x với 1 đtr cố định có tâm là gốc tọa độ. ( 𝑑 : 2𝑚 𝑥 +
2𝑚
𝑚2+1
 + 𝑚2 − 1 𝑦 +
𝑚2−1
𝑚2+1
 = 0) 
39/ Cho họ đt 𝑑𝑚 : 
𝑥
4𝑚2
=
𝑦
4𝑚 (1−𝑚)
=
𝑧−3/4
−𝑚
 . CM 𝑑𝑚 luôn nằm trong 1 mp cố định . 
( x + y + 4(z-3/4) = 0 ) 
40/ Cho 3 đ A(4;0;0), B(0;4;0)&C(0;0;4). Tìm đ D để ABCD là td đều. ( D(-4/3; -4/3; -4/3) ) 
41/ Viết ptct của đt(d) đi qua đ A(1;2;-1), tạo với Ox một góc 450 và tạo với Oy một góc 
600 𝑢 𝑎; 𝑏; 𝑐 → 𝑎 = 2; 𝑏 = 𝑐 = 1 .𝑇í𝑛ℎ 𝑔ó𝑐 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑑 𝑣à 𝑂𝑧 ? 
42/ Cho tg ABC với A(2;5;7), B(0;-1;-1), C(3;1;-2). Viết ptct của đường vg hạ từ A xuống trung tuyến 
xuất phát từ đỉnh C. ( 𝐻 −0,4; 2,7; 6,5 ,
𝑥−2
24
=
𝑦−5
−23
=
𝑧−7
5
 ) 
43/ Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 : 
𝑥
−1
=
𝑦−3
2
=
𝑧+1
3
 , 𝑑′ : 
𝑥−4
1
=
𝑦
1
=
𝑧−3
2
 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 4𝑥 − 3𝑦 + 11𝑧 −
26 = 0. Viết ptđt (d”) nằm trong (P) đồng thời cắt cả (d)&(d’). ( (𝑑"): 
𝑥+2
5
=
𝑦−7
−8
=
𝑧−5
−4
 ) 
44/Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 : 
𝑥−1
3
=
𝑦+2
1
=
𝑧
1
 , 𝑑′ : 
𝑥
1
=
𝑦−1
2
=
𝑧+1
1
 𝑣à đ 𝑀 3; 2; 1 .Tìm t độ các đ 
𝐴 ∈ 𝑑 𝑣à 𝐵 ∈ 𝑑′ 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 3 đ 𝐴,𝑀,𝐵 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 ℎà𝑛𝑔. ( 𝐴 −2;−3;−1 ,𝐵 4 3; 11 3 ; 1 3 , 
A’(13;2;4), B’(1/2;2;-1/2) ) 
45/ Trong KG Oxyz cho mp(P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và 2 đ M(4;0;0), N(0;4;0). Gọi I là trđ của MN. 
Hãy xđ tđ đ K sao cho 𝐾𝐼 ⊥ 𝑃 &𝐾𝑂 = 𝑑 𝐾; 𝑃 . ( 𝐾(-1/4;1/2;3/4) ) 
5 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
46/ Trong hệ Oxyz viết ptmp(Q) // (P): x + y – 2z + 3 = 0 sao cho (Q) cắt hai đt 
 𝑑 : 
𝑥 − 1
2
=
𝑦 + 1
1
=
𝑧
1
 & 𝑑′ : 
𝑥 − 1
1
=
𝑦 − 2
2
=
𝑧
1
 𝑡ℎ𝑒𝑜 đ𝑜ạ𝑛 𝐴𝐵 = 9 
 𝑄 : 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 𝑚 = 0 → 𝐴 1 − 2𝑚;−1 −𝑚;−𝑚 ,𝐵 −2 −𝑚;−4 − 2𝑚;−𝑚 − 3 → 𝑚 = −3; 9 
MẶT CẦU 
1/ Lập ptmc có tâm I(2;3;-1) và cắt đt(d): 
𝑥−1
2
= 𝑦 + 5 =
𝑧+15
−2
 tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16. 
(𝑅2 = 289) 
2/ Viết ptmc biết: a/ Tâm I(4;-1;2) và đi qua điểm A(1;-2;-4) 𝑅2 = 46 
 b/ Đường kính AB với A(2;-3;5), B(4;1;-3) ( Tâm I(3;-1;1), 𝑅2 = 21 ) 
 c/ mc đi qua 4 điểm: 𝐴 6;−2; 3 ,𝐵 0; 1; 6 ,𝐶 2; 0;−1 ,𝐷 4; 1; 0 
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 − 3 = 0 
3/ Viết ptmc biết tâm 𝐼 3;−5;−2 𝑣à 𝑡𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑚𝑝 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0 𝑅 = 18 14 
4/ Viết ptmc biết bk R = 3 và tx với mp(P): 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 3 = 0 𝑡ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑀 1; 1;−3 
( I(2;3;-1) hoặc I(0;-1;-5) ) 
5/ Viết ptmc biết mc đó tx với 2 mp: 6𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 − 35 = 0 𝑣à 6𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 + 63 = 0 𝑡ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 
 𝑀 5;−1;−1 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑚ộ𝑡 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 2 𝑚𝑝 đó 𝑚𝑐 𝑐ó 𝑡â𝑚 𝐼 −1; 2; 1 𝑣à 𝑏𝑘 𝑅 = 7 
6/ Viết ptmc biết mc có tâm nằm trên đt(d): 
𝑥−2
3
=
𝑦−1
−2
=
𝑧−1
−2
 và tx với 2 mp 
 𝑃 : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 2 = 0 & 𝑄 : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0 𝐼 −1;−1;−1 ,𝑅 = 1 
7/Lập ptmp(P) chứa đt(d):
𝑥−4
4
=
𝑦−1
3
= 𝑧 − 1 𝑣à 𝑡𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑚𝑐 𝑆 : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 + 8 = 0 
 𝑃 : 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 − 2 = 0 
8/ Xđịnh tđộ tâm và tính bk đtr: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 22 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 + 14 = 0
 𝐻 −
2
7
;−
13
7
;−
11
7
 ; 𝑟 = 4 
9/ Lập ptmc có tâm thuộc mp:𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 𝑣à 𝑐ℎứ𝑎 đ𝑡𝑟ò𝑛: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 + 17 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0
 𝐼 3;−5;−1 ;𝑅 = 20 
10/ Trong KG Oxyz cho 2 mp 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0, 𝑄 : 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0 và điểm A(-1;1;1) 
nằm trong khoảng giữa 2 mp đó. Gọi (S) là mc qua A và tx với (P) và (Q). 
 a/ Chứng minh (S) có bk không đổi, tính bk này. 
 b/ Gọi I là tâm mc(S). Chứng minh I nằm trên 1 đtròn cố định; xđịnh tđộ tâm và tính bk đtròn này. 
 𝐻 −11 9 ; 10 9 ; 7 9 , 𝑟 = 2 2 3 
11/ (ĐHBK HN): Cho 4 đ S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). CM S.ABC là h/c có đáy là tg đều 
và các mặt bên là các tgvc. Tìm tđ đ D đx với C qua AB. M là đ bk thuộc mc 𝑆 𝐷; 18 ( M không 
thuộc mp(ABC) ). Tam giác có độ dài các cạnh bằng MA,MB,MC có đđ gì? ( là tgv ) 
12/ Cho mc (S): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 11 = 0. Tìm tâm 
và bk mc (S). Tìm đ M trên (S) sao cho d( M; (P) ) bé nhất. 
13/ Cho mc (S): (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 2)2 = 9. Xác định tâm và tính bk đtr (C ) là giao của (S) 
với mp(Oxy). Trong mp(Oxy) lập pttt với (C ) biết tt này đi qua đ N(4;7). ( 𝐶 : (𝑥 + 1)2 +
(𝑦 − 2)2 = 5.2 𝑡𝑡 𝑙à: 𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0 𝑣à 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ) 
14/ Cho 2 đ S(0;0;1), A(1;1;0). Hai đ M(m;0;0)&N(0;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 với m; n là các số 
dương. CM V(S.OMAN) không phụ thuộc vào m; n ( V = 1/6 ). Tính k/c từ A tới mp(SMN) từ đó suy 
ra mp(SMN) luôn t/x với 1 mc cố định ( R = 1 ) 
6 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
15/ Trong KG Oxyz cho mp(P): 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 5 = 0 𝑣à 𝑐á𝑐 đ 𝐴 0; 0; 4 ,𝐵(2; 0; 0). Lập ptmc đi qua 3 
đ O, A, B và t/x với mp(P). ( 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 + 𝑧 − 2 2 = 6 ) 
16/ Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 : 
𝑥+1
3
=
𝑦+3
−2
=
𝑧−2
−1
 , 𝑑′ : 
𝑥−2
1
=
𝑦+1
2
=
𝑧−1
1
. Viết ptmc có đk là đoạn 
vuông góc chung của 2 đt (d) và (d’). 
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
A/2007: Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 :
𝑥
2
=
𝑦−1
−1
= 𝑧 + 2 & 𝑑′ :
𝑥−1
2
= 𝑦 − 1 =
𝑧−3
0
 . Chứng minh (d) & 
(d’) chéo nhau. Viết ptđt(d”) vgóc với mp(P): 7𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 0 𝑣à 𝑐ắ𝑡 2 đ𝑡 𝑑 & 𝑑′ . ( (𝑑"): (𝑥 −
2)/7 = 𝑦 = (𝑧 + 1)/−4 )B/2007: Trong KG Oxyz cho mc(S): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 3 =
0 và mp(P): 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 14 = 0.𝑉𝑖ế𝑡 𝑝𝑡𝑚𝑝 𝑄 𝑐ℎứ𝑎 𝑂𝑥 𝑣à 𝑐ắ𝑡 𝑆 𝑡ℎ𝑒𝑜 1 đ𝑡𝑟ò𝑛 𝑐ó 𝑏𝑘 𝑏ằ𝑛𝑔 3. 
Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho k/c từ M đến (P) lớn nhất. ( 𝑄 :𝑦 − 2𝑧 = 0;𝑀 −1;−1;−3 ) 
D/2007: Trong KG Oxyz cho 2 điểm 𝐴 1; 4; 2 ,𝐵 −1; 2; 4 & đ𝑡 𝑑 :
𝑥−1
−1
= 𝑦 + 2 =
𝑧
2
 . Viết ptđt(d’) đi 
qua trọng tâm G của ∆𝑂𝐴𝐵 và vgóc với mp(OAB). Tìm tọa độ điểm M∈ 𝑑 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2nhỏ 
nhất. ( 𝑑′ :
𝑥
2
=
𝑦−2
−1
= 𝑧 − 2;𝑀 −1; 0; 4 ) 
A/2008: Trong KG Oxyz cho điểm 𝐴 2; 5; 3 𝑣à đ𝑡 𝑑 :
𝑥−1
2
= 𝑦 =
𝑧−2
2
 . Tìm tọa độ h/c của A trên (d). 
Viết ptmp(P) chứa (d) sao cho k/c từ A tới (P) lớn nhất. ( 𝐻 3; 1; 4 ; 𝑃 : 𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 ) 
B/2008: Trong KG Oxyz cho 3 điểm 𝐴 0; 1; 2 ,𝐵 2;−2; 1 ,𝐶 −2; 0; 1 .𝑉𝑖ế𝑡 𝑝𝑡𝑚𝑝 𝐴𝐵𝐶 . Tìm tọa 
độ điểm 𝑀 ∈ 𝑚𝑝 𝑃 : 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶. ( 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 6 =
0;𝑀 2; 3;−7 ) 
D/2008: : Trong KG Oxyz cho 4 điểm 𝐴 3; 3; 0 ,𝐵 3; 0; 3 ,𝐶 0; 3; 3 ,𝐷 3; 3; 3 . Viết ptmc đi qua 4 
điểm A,B,C,D. Tìm tọa độ tâm đtròn ngoại tiếp ∆𝐴𝐵𝐶. 
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 3𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 0 ;𝐻 2; 2; 2 ) 
A/2009: 1/ Trong KG Oxyz cho mc(S): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 6𝑧 − 11 = 0 và mp(P): 
2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − 4 = 0. Chứng minh mp(P) cắt mc(S) theo 1 đtròn xđ tâm và tính bk đtròn này. 
( 𝐻 3; 0; 2 ; 𝑟 = 4 ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 : 𝑥 + 1 = 𝑦 =
𝑧+9
6
 & 𝑑′ :
𝑥−1
2
= 𝑦 − 3 =
𝑧+1
−2
 và mp(P): 
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0.𝑋đ 𝑡đ đ𝑖ể𝑚 𝑀 ∈ 𝑑 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑑 𝑀, 𝑑′ = 𝑑 𝑀, 𝑃 . 𝑀 
18
35
;
53
35
;
3
35
B/2009: 1/ Trong KG Oxyz cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1). Viết 
ptmp(P) đi qua A, B sao cho d( C;(P) ) = d(D; (P) ). 
( 4𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 − 15 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 2𝑥 + 3𝑧 − 5 = 0 ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho 2 điểm 𝐴 −3; 0; 1 ,𝐵 1;−1; 3 & 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0. 
Trong các đt đi qua A và // (P) hãy viết ptđt mà k/c từ B đến nó là nhỏ nhất. ( 
𝑥+3
26
=
𝑦
11
=
𝑧−1
−2
 ) 
7 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI-HƯNG YÊN 
D/2009:1/Trong KG Oxyz cho 3 điểm A(2;1;0),B(1;2;2),C(1;1;0) và mp(P):𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 20 = 0. Xác 
định tọa độ điểm 𝐷 ∈ 𝐴𝐵 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 CD // (P). ( D( 2,5; 0,5; -1) ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho đ𝑡 𝑑 : 𝑥 + 2 = 𝑦 − 2 = −𝑧 & 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0. Viết 
ptđt(d’) nằm trong (P) sao cho (d’) cắt và vgóc với đt(d). ( 𝑥 + 3 =
𝑦−1
−2
=
𝑧−1
−1
 ) 
A/2010: 1/ Trong KG Oxyz cho đ𝑡 𝑑 :
𝑥−1
2
= 𝑦 =
𝑧+2
−1
 𝑣à 𝑚𝑝 𝑃 : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0. Gọi C là giao điểm 
của (d) và (P); M là điểm thuộc (d). Tính d(M;(P) ) biết 𝑀𝐶 = 6. ( 𝑑 = 1 6 ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho điểm A(0;0;-2) và đ𝑡 𝑑 :
𝑥+2
2
=
𝑦−2
3
=
𝑧+3
2
 .𝑇í𝑛ℎ 𝑑 𝐴; 𝑑 . Viết 
ptmc tâm A, cắt (d) tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8. ( 𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 + 2)2 = 25 ) 
B/2010:1/Trong KG Oxyz cho 3 đ A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với b,c dương và mp(P) 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0. 
Xác định b và c biết mp(ABC)⊥ 𝑃 𝑣à 𝑑 𝑂; 𝐴𝐵𝐶 =1/3. ( b = c = 1/2 ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho đ𝑡 𝑑 :
𝑥
2
= 𝑦 − 1 =
𝑧
2
 .𝑋đ 𝑀 ∈ 𝑂𝑥 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑑 𝑀; 𝑑 = 𝑂𝑀. 
( M(-1;0;0) hoặc M(2;0;0) ) 
D/2010: 1/ Trong KG Oxyz cho 2 mp 𝑃 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 & 𝑄 : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0. Viết ptmp(R) 
vgóc với (P), (Q) và d( O; (R )) = 2. ( 𝑥 − 𝑧 ± 2 2 = 0 ) 
 2/ Trong KG Oxyz cho 2 đt 𝑑 : 𝑥 − 3 = 𝑦 = 𝑧 & 𝑑′ :
𝑥−2
2
= 𝑦 − 1 =
𝑧
2
 . Xác định tọa độ 
điểm M thuộc (d) sao cho d( M; (d’) )=1. ( M(4;1;1) hoặc M(7;4;4) ) 
-------------------- o0o ------------------