Các bài toán điển hình về khảo sát hàm số _ Luyện thi Đại học & Cao đẳng

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2. (m là tham số) (1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Bài 2: Cho hàm số y =x3 – 3x2 + mx (1).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng (d): x – 2y – 5 = 0.
Bài 3: Cho hàm số y = – x3 + 3x
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = – 9x.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) .
Tìm trên (C) điểm A sao cho: Khoảng cách từ a đến điểm K(2;–4) là nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 6: Cho hàm số: y = (2 – x)(x + m)2 (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1.
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (1).
Bài 7: Cho hàm số: y = x3 – (m – 1)x2 +3(m – 2)x + (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2.
Tìm giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên (2;).
Bài 8: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 2, có đồ thị (C) 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
Tìm tất cả những điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 9: Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m (1) có đồ thị (Cm)
Khảo sát hàm số (1) khi m = 1.
Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng.
Bài 10: Cho hàm số y = x(4x2 + m)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –3
Tìm m để với mọi x [0;1]
Bài 11: Cho hàm số y = có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;2) và tiếp xúc với (C)
Bài 12: Cho hàm số y = x4 – 6x2 +5 có đồ thị là (C )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 – 6x2 – log2m = 0
 Bài 13: Cho hàm số y = x4 + 2(m + 1)x2 + 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Tìm phương rình đường cong đi qua các điểm cực trị đó.
Bài 14: Cho hàm số y =x4 – 3x2 + 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C )
Tìm a để tiếp tuyến của (C ) tại x = a cắt (C ) tại hai điểm khác nhau.
Bài 15: Cho hàm số y = 2mx4 – x2 – 4m + 1 (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m =–1 .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5.
Bài 16: Cho họ (Pm): y = x2 + (2m + 1)x + m2 – 1 .
a). Tìm quỹ tích các đỉnh
b). Tìm các điểm họ không đi qua. Suy ra (Pm) tiếp xúc với một đường thẳng cố 
 định.
ĐS: a). y =x – b). y = x – 1 .
Bài 17: Cho (P): y = f(x) = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng y = 3x – 2 tại A(2;4)
a). Tính b, c theo a.
b). Chứng minh nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm thì phương trình f[f(x)] = x 
 cũng vô nghiệm.
ĐS: a). f(2) = 4, f’(2) = 0 b). 
Bài 18: Cho (P): y = –x2 + 2x + 3 và (P’): y = x2 – 4x + 3.
a). Tìm các giao điểm của (P) và (P’).
b). Tìm m để d: y = m cắt (P) và (P’) tại 4 điểm phân biệt M,N và M’, N’ và 
 MN =M’N’.
ĐS: a). (0;3) và (4;–5) b). –5 < m < 4 , m 3.
Bài 19: Cho (Cm): y = (2m + 1)x3 – mx + m + 1.
a). Tìm điểm cố định.
b). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
ĐS: a). (–1;0) b). (0;2)
Bài 20: Cho hàm số y = (2 – x)(x + 1)2
a). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b). Biện luận số nghiệm của phương trình: (2 –x)(x+1)2 = (2 – a)(a + 1)2.
HD: y’ = 3(x + 1)(1 – x).
Bài 21: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 .
a). Khảo sát và vẽ đò thị với m = –2 
b). Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt mà 3 giao điểm đó có đúng hai hoành độ âm.
ĐS: b). 0 < m < 
Bài 22: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1
a). Khảo sát và vẽ đò thị với m = 3
b). Chứng tỏ m đồ thị cắt y = x3 + 2x2 + 7 tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm quỹ tích trung điểm I 
 của AB.
ĐS: a). y = x3 + 3x2 + 3x + 1 b). y = 4x3 + 4x2 + 18x 49.
Bài 23: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m – 3)x + 4
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b). Lập parabol qua CĐ, CT của (C) và tiếp xúc với (d): y = –2x + 2.
ĐS: a). y = x3 – 3x2 + 4 b). y = x2 – 6x + 4.
Bài 24: Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b). Tìm m để đường thẳng qua hai cực trị và vuông góc với đường thẳng y = x.
ĐS: m = 2, m = 4.
Bài 25: Cho (C): y = x3 + mx2 – 2(m + 1)x + m + 3tan
 (P): y = mx2 + 2 – m.
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1 ,.
b). Tìm để hai họ cùng qua một điểm cố định A.
ĐS: b). k.
Bài 26: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 6 
a). khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b). Chứng minh nếu (d): y = ax + b cắt đồ thị tại ba điểm phân có hoành độ lập cấp số cộng thì (d) đi qua một điểm cố định.
ĐS: b). K(1;–8)
Bài 27: Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
a). khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b). Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
 23 – 9x2 + 12 = m.
ĐS: 4 < m < 5.
Bài 28: Cho hàm số (C ): y = 3 + 2x2 – x4 
a). khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b). Biện luận số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 = m4 – 2m2.
HD: a). CT(1;4) b) f(x) = f(m).
Bài 29: Cho hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. Lập phương trình tiếp tuyến 
qua B(0;10).
b). Tìm a để y = a cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
HD: a). B(0;10) là điểm cực đại b). x4 = 3x3.
Bài 30: Cho (C) y = f(x) = 2x4 – 3x2 + 2x + 1 và đường thẳng d: y = g(x) = 2x – 1 
a). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (L): y = f(x) – g(x).
b). Chứng minh d không cắt (C) . Tìm m thuộc (C) có khoảng cách bé nhất đến 
đường thẳng d.
HD: a). y = 2x4 – 3x2 + 2 b). Tìm tiếp tuyến song song với d.
Bài 31: Cho hàm số (1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Chứng minh rằng với mọi thì đường thẳng y = mx – 2m luôn luôn cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt và trong đó có ít nhất một giao điểm của nó có hoành độ dương.
Bài 32: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị đó.
Bài 33: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Cho điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh M0 là trung điểm cảu đoạn AB.
Bài 34: Cho hàm số (với m là tham số) (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
Tìm các giá trị của m để trên đồ thị của hàm số (1) có ít nhất một điểm cách đều hai trục toạ độ, đồng thời hoành độ và tung độ của điểm này trái dấu nhau.