Các bài tập về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 
2 2 2a b c 3+ + =
CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT 
Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng : 
 ( )
3
2 2 2
a b c 10
abc
c a b 9 a b c
+ + + ≥
+ +
Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả mãn : a+b+c=abc . Chứng minh rằng : 
 2 2 2
1 1 11 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥
Bài 3 . Cho 3 sè d−¬ng a,b,c tho¶ mn : 9a b c+ + = 
 Chøng minh r»ng: ( )2 2 27 7 7 7 3 31 1 1 6 2a b c a b cb c a+ + + + + ≥ + + + 
Bài 4. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 23
2 2 2 2 2 2
a b c2abc a b c
b c c a a b
 
+ + < + + 
+ + + 
Bài 5. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng : 
( )3 a b ca b c
2b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 6. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
5 5 5
4 4 4
3 2 3 2 3 2
a b c
a b c
b c c a a b
+ + + + +
+ + +
Bài 7. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=1 , chứng minh rằng : 
1 1 30
1 2(ab bc ca) abc+ ≥− + + 
Bài 8. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2a b c b c a
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
Bài 9. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [0;1], tìm giá trị lớn nhất của : 
 P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 
Bài 10. Cho a,b,c là các số thực khác 0 , chứng minh rằng : 
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 
 ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 2 2
a b c 3
5a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +
Bài 11. Cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ca=1 . Chưng minh rằng : 
3 3 3
1 1 1 16b 6c 6a
a b c abc
+ + + + + ≤
Bài 12. Cho x,y,z dương , chứng minh rằng : 
 ( )2 3 3 32 2 2
1 6 3
x y z x y zx y z
+ ≥
+ + + ++ +
Bài 13. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 
2 2 2
a b c 3
2ab b bc c ca a
+ + ≥
+ + +
Bài 14. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn 3x y z
2
+ + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của : 
2 2 2 1 1 1M x y z
x y z
= + + + + +
Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng : 
2 2 2a abc b abc c abc 1
c ab a bc b ac 2 abc
+ + +
+ + ≤
+ + +
Bài 16. Cho a,b,c dương chứng minh rằng : 
 3 2 3 2 3 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
a b b c c a 2 a b c
 
+ + ≤ + + + + +  
Bài 17. Cho a,b,c là các số dương và abc=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 a, 2 2 2 2 2 2
bc ca abA
a b a c b a b c c b c a
= + +
+ + +
 b, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ca abB
a b a c b a b c c b c a
= + +
+ + +
Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng : 
3
3
3 3
1 a 1 ab b
a b a b
+ + ≥ + + 
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 
Bài 20. Cho a,b,c thoả mãn : a+b+c=1 , chứng minh rằng : 
a b c a b c
1 1 1 a b c3
3 3 3 3 3 3
 
+ + ≥ + + 
 
Bài 21. Cho tam giac ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
246 1 tg A
2
64sin B 4 2M
tg A 12sin B
++
=
+
Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y ≥ 4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 2
2
3x 4 2 yA
4x y
+ +
= +
Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh rằng : 
 a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≤ + + 
Bài 24. Cho x,y,z là các số dương , chứng minh rằng : 
3
x y z x y z1 1 1 2 1
y z x xyz
   + +  
+ + + ≥ +           
Bài 25. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn : 3x y z
2
+ + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của : 
 ( ) 22 2 21 1P x y 1 zx y z= + + + + 
Bài 26. Cho x,y,z là các số dương , tìm giá trị nhỏ nhất của : 
2 2 2
2 2 2
x y zA
x 2yz y 2zx z 2xy
= + +
+ + +
Bài 27. Cho x,y là các số thực không âm thoả mãn : x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2008 2008A 1 x 1 y= + + + 
Bài 28. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 ( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1A
x y z y z x z x y
= + +
+ + +
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 
Bài 29. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
2 2 2M a abc b abc c abc 9 abc= + + + + + + 
Bài 30. Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn : 1 1 1 1
x y z
+ + = chứng minh rằng : 
 x yz y zx z xy xyz x y z+ + + + + ≥ + + + 
CÁC BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 31. Tìm các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ : 
1 4 9 3
x y z
x y z 12

+ + =

 + + ≤
Giải các hệ sau : 
 Bài 32. ( ) ( )
x y
2 2
2 2 y x xy 2
x y 2

− = − +

+ =
Bài 33 ( ) ( )
2 2
ln 1 x ln 1 y x y
x 12xy 20y 0
 + − + = −

− + =
Bài 34. 
3 3 2
2 2
2 22 2
x y 6y 3x 9y 2 0
1 x 1 xlog log 2 0
y 4y 5 2 4y y 3
 − + − − + =

− +
+ + =
− + + − −
Bài 35. 
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−
 + − + = +

+ − + = +
Bài 36. 
2 2
2
8xy
x y 16
x y
x y x y

+ + = +
 + = −
Bài 37. 
( ) ( )
2 2
2
y x
2
3 2
x 1
e
y 1
3log x 2y 6 2log x y 2 1
−
 +
=
+
 + + = + + +
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 
Bài 38 . 
3
2 2
x y 1 x y 5
x xy 4 y xy 4 12
 + + + + =

+ + + + + =
Bài 39 . 
10 10 4 4
x y
xy
y x
x y 8x y

+ =

 + =
Bài 40. 
23
23
x 1 y 6 y 1
y 1 x 6 x 1

− + + = −

− + + = −
Còn nữa