Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 môn: Đại số

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
(BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 sao cho P = đạt GTLN.
HD: P = x1x2(1 – 3x1x2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
(BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 – ax - =0 . Chứng minh rằng. b4 + c4 ≥ 2 + .
(BT_363_9/07)Cho a,b,c,d Î R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = 0.
(BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = 0 , x2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.
(BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1 = 0.
HD: Chuyển về A2 = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Đặt u = , v = Chuyển phương trình về dạng aA + b+ cB = 0. 
(BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32.
HD: Chuyển về A2 = B2.
(BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.
(BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0.
(Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + 1 = 0(1), x2 + bx + 1 = 0 (2) , x2 + cx + 1 = 0 (3). Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc = 4.
HD: Áp dụng Định lí viét. . Nhân (4); (5) ta có .
Từ (4),(5) ta có . Nhân lại ta có 
.
Nghiệm của phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a2 + b2 cũng là số tự nhiên.
Có thể có hay không biệt số D của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23.
Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x ÎZ thì ax2 + bx + c cũng nguyên. 
Tìm a Î Z để phương trình có nghiệm nguyên.
a) x2 + ax + a = 0 .
b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0.
c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = 0.
d) x2 + (a + 1)x + a + 2 = 0.
Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và là các số nguyên.
Cho f(x) = ax2 + bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm.
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
HD: Giả sử a ≥ 0.
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm.
HD: ay1 > 0 Þ PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm.
b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có 4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)2 > 4(b + c + 1).
Cho f(x) = ax2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng.
a) |a| + |b| + |c| ≤ 3.
b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2.
Cho f(x) = ax2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. |f(x) | ≤ , " |x| ≤ 1.
II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
(BT_364_10/07) Giải phương trình. .
HD: Đặt u = , v = . Chuyển về hệ phương trình.
(BT_364_10/07) Giải phương trình 
HD: Đặt t = . Tính theo t. Chuyển về phương trình ẩn t.
(BT_364_10/07) Giải phương trình 
HD: 
(BT_363_9/07) Giải phương trình 
HD: C1: Đặt u = , v = . Chuyển về HPT.
C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A2 = B2.
(BT_365_11/07) Giải phương trình .
HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b+ cB = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + 2 = 2.
HD: C1: aA + b+ cB = 0. C2: Chuyển về A2 = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Chuyển về A2 + B2 + C2 = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Đặt t = . Chuyển về phương trình ẩn t.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Đặt y = . Chuyển về hệ phương trình.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
C2: Đặt . Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Đặt t = . Chuyển về phương trình ẩn t.
(BT_366_12/07) Giải phương trình .
HD: Đặt u = (x + 1)2, v = . Chuyển về hệ phương trình.
(BT_362_8/07) Giải phương trình .
HD: Đặt z = , y = . Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z.
(BT_361_7/07) Tìm m để phương trình có nghiệm.
HD: Đặt t = . Do t = nên 0 ≤ t < 1. Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai.
(BT_361_7/07) Tìm m để phương trình có nghiệm.
HD: Đặt t = . Tìm điều kiện của t. Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai.
(BT_359_5/07) Giải phương trình .
HD: Áp dụng công thức 
(BT_359_5/07) Giải phương trình 
(BT_368_2/08) Gải phương trình .
(BT_368_2/08) Giải phương trình .
(Olympic 04) Giải phương trình .
HD: Đặt t = .Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số.
PT Û Û Û t = v t = 
PT: t = Vô nghiệm.
PT: t = . Bình phương hai vế chuyển về .
(Olympic 99) Giải phương trình .
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
(Olympic 95 - 05) Giải phương trình .
HD: Đặt y = . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
(Olympic 95 - 05) Giải phương trình 
HD: Đặt = y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
(Olympic 95 - 05) Giải phương trình .
HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP.
(Olympic 95 - 05) Giải phương trình , x ≥ - 1.
HD: Đặt = y + 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
(Olympic 95-05) Giải phương trình .
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
(Olympic 95-05) Giải phương trình 
HD: Đặt y = . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II.
(Olympic 95-05) Giải phương trình .
HD: Chuyển vế bình phương hai vế. Chuyển về phương trình đẳng cấp.
(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 
.
HD: Đặt t = ; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai.
(Olympic 95-05) Giải phương trình .
HD: Đặt ẩn phụ u = , v = . Chuyển về phương trình tích.
(Olympic 95-05) Giải phương trình .
HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)2. Áp dụng BĐT .
(Olympic 95-05) Giải phương trình .
HD: Phương pháp BĐT . Xét 
(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. .
HD: Đặt ẩn phụ , - 1 ≤ t ≤ .
(Olympic 95-05) Giải phương trình 
HD: Đặt ẩn phụ . Chuyển về HPT đối xứng loại II.
(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. .
HD: Đặt ẩn phụ , ≤ t ≤ . 
(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm .
HD: Xét . Ta có AB = 1 và PT Û |AM – BM| < AB = 1
(Olympic 06) Giải phương trình .
HD: Đặt t = . Tính x2 , Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
(Olympic 06) Giải phương trình .
HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP.
(Olympic 06) Giải phương trình .
HD: PT Û .
(Olympic 04_11) Giải phương trình 
HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4
(Olympic 06) Giải phương trình . 
HD: Quy đồng. Nhân liên hợp
(BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm. .
(BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm. .
III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
(BT_359_5/07) Giải bất phương trình .
(Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình .
HD: Bình phương hai vế. Đặt t = . Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
(Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình .
HD: Nhân hai vế với . Phân tích 
Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; ), C(- 1; - ). Ta có BPT Û MA + MB + MC ≤ 6
và D ABC đều.Dùng phép quay . MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = 6.
BPT Û M º O.
(Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình . 
HD: Đặt x = , Đặt t = a + .
IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
(BT_364_10/07) Giải hệ phương trình .
HD: Đặt u = x + , v = y + .
(BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 
HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x = . TH2: C/m PT vô nghiệm.
(BT_363_9/07) Giải hệ phương trình 
HD: c/m x, y , z cùng dấu. . Tương tự.
c/m xy < 0 . Suy ra HPT vô nghiệm.
(Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 
(BT_367_1/08) Giải hệ phương trình .
(BT_365_11/07) Giải hệ phương trình .
HD: PT(2) Û x3 + y3 = 1(x2 + y2) Û x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2).
(BT_366_12/07) Giải hệ phương trình .
(BT_361_7/07) Hệ phương trình có nghiệm (x;y). Tìm GTLN , GTNN của P = x3 + y3.
(BT_361_7/07) Tìm m > 0 để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
(BT_359_5/07) Giải hệ phương trình .
HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II.
(BT_368_2/08) Giải hệ phương trình .
(BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 
(Olympic 05) Giải hệ phương trình .
HD: TH1: xyz = 0. Xét các khả năng.
TH2: xyz ≠ 0. Chia hai vế của các phương trình cho x2y2z2. Đặt . Cộng hai vế của các phương trình.
(Olympic 02) Giải hệ phương trình .
HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;.;x2008) thì x1, x2,.,x2008 phải cùng dấu và 
 (-x1; -x2;.;-x2008) cũng là một nghiệm của HPT.
Ta chỉ xét x1, x2,.,x2008 > 0. Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ 1. Cộng theo vế các phương trình ta có x1 + x2 + .+x2008 = . Từ đó ta có x1= x2=.= x2008 = 1.
Suy ra x1= x2=.= x2008 = ± 1
(Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 
HD: Cộng theo vế. chyển về tổng các lập phương. Xét các trường hợp.
TH1: x > 2 Þ y, z > 2. HPT vô nghiệm. TH2: x < 2 Þ y, z < 2. HPT vô nghiệm.
TH3: x = 2 Þ y = z = 2.
(Olympic 06) Chứng minh rằng hệ phương trình có một nghiệm duy nhất trong tập các số thực dương. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt.
HD: Nhận xét (2;2;2) là một nghiệm. HPT Û 
(x + y)2 ≥ 4xy Û (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 0.
(Olympic 06) Giải hệ phương trình . .
HD: TH1: Xét y = , TH2: Xét y ≠ . Rút x2 = theo y. Suy ra 0 ≤ y < . Tương tự.
0 ≤ x,y,z < . KN1: x = y = z = 0 . KN2: =  ≤ 1.Tương tự.
(Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình . Tính giá trị P = xy + 2yz + 3zx.
HD: Xét D ABC có AB = 4, BC = 5, CA = 3 và điểm M trong D ABC sao cho. 
D MBC có các cạnh và .
D MCA có các cạnh và .
D MAB có các cạnh và .
Ta có . Suy ra P = .
(Olympic 02_11) Giải hệ phương trình .
HD: Tính theo x, y. Quy đồng và cộng trừ theo vế. Suy ra tính (x + y)5 và (x – y)5.
(BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
HD: Hệ đối xứng loại II.
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Giải hệ phương trình .
HD: Xét x = 0, y = 0. Chia hai phương trình đặt t = 
(BT_364_10/07) Giải hệ phương trình .
(BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 
HD: Đặt t = . Giải phương trình (1) theo ẩn t.
(BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình 
HD: Chia cả hai vế cho phương trình (1), Chia cả hai vế cho PT(2).
Cộng và trừ hai PT ta được HPT mới.
Nhân hai vế của hai PT. Giải phương trình đẳng cấp.
(BT_365_11/07) Giải hệ phương trình .
HD: Đặt a = , b = , c = . Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3).
(BT_361_7/07) Giải hệ phương trình .
HD: Hệ phương trình đối xứng loại II.
(BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
(Olympic 2000) Giải hệ phương trình 
HD: Chia PT (1) cho , chia PT(2) cho . Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình. Nhân theo vế hai phương trình ta có phương trình đẳng cấp
(Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm .
HD: Đặt ẩn phụ , u, v ≥ 0. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại I.
(Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 
HD: Hệ phương trình đối xứng loại II. Trừ vế theo vế. Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
(BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. .
HD: Đặt ẩn phụ u , v.
(BT) Giải hệ phương trình .
(BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
V - BẤT ĐẲNG THỨC.
(BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng 
HD: BĐT Û .
Quy đồng từng cặp ở VT và phân tích đa thức thành nhân tử .Thay ở VP 1 = ab + bc + ca. Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức.
Đặt .
BĐT Û .
(BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ - thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ 0. Chứng minh a + b + c ≥ 0.
HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT Û xyz ≥ 1. 
Cần c/m x + y + z ≥ 3.
TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y 0 c/m 0 < xy ≤ 
(BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn nhất sao cho $ số thực k Î [ 1; 2 ] để bất đẳng thức được thoả mãn " a,b,c >0.
HD: Cho a = b = c. Ta có 32k ≥ 9(k +1) + m. Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy ra khi k = 2.
Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = 2. Áp dụng BĐT Cauchy.
(BT_363_9/07) Cho a,b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng .
(BT_363_9/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng .
HD: BĐT Cauchy . Tương tự.
(BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN của biểu thức P = .
(BT_366_12/07) Cho x > y và xy = 1. Chứng minh rằng .
HD: . Áp dụng BĐT Cauchy
(BT_366_12/07) Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = xyz. Tìm GTLN của P = .
HD: Áp dụng BĐT Cauchy ở các mẫu thức. Sau đó áp dụng BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
(BT_366_12/07) Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của D ABC. Chứng minh rằng. .
HD: BĐT Svácsơ và BĐT Bunhiacôpsky cho mẫu thức. Sau đó c/m BĐT 4(a + b + c)3 – 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) ≥ 0 bằng cách Þ aGA2 + bGB2 + cGC2 > abc.
(BT_362_8/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của .
(BT_362_8/07) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng .
HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky. C/m 
(BT_361_7/07) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của .
HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho các tử. Đặt . Áp dụng BĐT Svácsơ.
(BT_359_5/07) Cho x, y Î R và x2 – xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng. .
(BT_359_5/07) Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca ≤ 3abc. Chứng minh rằng. .
HD: Áp dụng BĐT Cauchy. Sau đó nhân thêm abc vào tử và mẫu. Áp dụng BĐT Cauchy cho mãu.
(BT_368_2/08) Cho a, b, c, d > 0 .Tìm GTNN của P = 
HD: Đặt t = . Theo BĐT Cauchy C/m t ≥ 4.
(BT_368_2/08) Cho x,y thoả mãn (x2 + y2 + 1)2 – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = 0. Tìm GTNN, GTLN của P = x222222222 + 2y2 – 3x2y2.
HD: (x2 + y2 + 1) – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = 0 Û (x2 + y2)2 – 3(x2 + y2) + 2 = - x2 – 3x2y2 ≤ 0. Đặt t = x2 + y2 với 1 ≤ t ≤ 2. Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + 2 , với t Î [ 1; 2 ]. Suy ra GTNN, GTLN của P.
(BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b Î [ 2007; 2008 ]. Tìm GTNN, GTLN của P = 
HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008. Đặt t = , điều kiện . Tìm GTNN, GTLN của P = (t + 1)(t + ). Chứng minh rằng hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất nếu hàm số f(x) đồng biến trên [ x1; x2 ] thì f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)
TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008. Đặt t = 
(BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ 0 thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy. Tìm GTLN của P = .
HD: Đặt t = . Giả thiết Û .Ta có 
Chứng minh 0 ≤ t ≤ 4. Do đó P = t2.
(BT_368_2/08) Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ . Tìm GTNN của P = x + y + z + .
(BT_368_2/08) Cho x, y Î R thay đổi thoả mãn điều kiện 2(x2 + y2) = xy + 1. Tìm GTNN, GTLN của P = 7(x4 + y4) + 4x2y2.
(BT_368_2/08) Cho x, y, z Î [ a; b ] với 0 < a < b. Tìm GTLN của P = (x + y+ z)().
(BT_368_2/08) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng .
(BT_368_2/08) Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≥ 4. Tìm GTNN của .
HD: Áp dụng BĐT Svácsơ.
(BT_368_2/08) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. Tìm GTLN của .
(Olympic 05) Cho x,y,z,t ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 + z2 + t2 = 2007. Tìm GTNN của biểu thức .
HD: Đặt . Ta có a,b,c,d ≥ 0 và a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Suy ra a,b,c,d Î [ 0; 1 ]. Áp dụng BĐT Svácsơ
c/m: 1 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ a + b+ c + d + 4 abcd
(Olympic 01) Cho x,y,z Î [ 0; 1 ] . Tìm GTLN của P = (x + y + z).
HD: Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2. Ta có . Nhân ra và cộng theo vế. Ta có P = 
 Đặt t = ,t Î . Ta có Û . Thay vào P.
(Olympic 06) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤ .
HD: TH1: x ≥ . suy ra và y + z ≤ . Từ đó xy+xz < .
TH2: x < . yz ≤ = . BĐT cần c/m Û 
Û (x + 1)(3x – 1)2 ≥ 0.
(Olympic 06) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của .
HD: 1 – 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2. Thay 1 ở tử ở số hạng thứ 2. Áp dụng BĐT Svácsơ
(Olympic 06) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng .
HD: Giả sử a + b + c = 3. Thay b + c = 3 – a vào số hạng thứ nhất. C/m . Cộng theo vế ta có đpcm.
(Olympic 06) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. Tìm GTLN của P = 9ab + 10ac + 22bc.
HD: P = . Xét hàm số f(t) = - t2 + t, 0 ≤ t ≤ 3.
(Olympic 06) Cho x, y Î R và x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN của P = x3y + xy3.
HD: Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Đặt u = x2 + y2, v = xy.
(Olympic 06) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của .
HD: Áp dụng BĐT Svácsơ. Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacôpski.
(Olympic 06) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức. .
HD: Áp dụng BĐT Cauchy. .
(Olympic 06) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
HD: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
(Olympic 03_11) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) ≥ 0.
HD: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x. Áp dụng BĐT Bunhiacôpski.
(Olympic 04_11) Tìm GTLN của , với |x| ≤ 1.
HD: Áp dụng BĐT Cauchy ≤ ? , ≤ 
(BT) Tìm GTNN của P = x2 – 2xy + 3y2 – 4x + 8y – 7.
HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, D < 0.
(BT) Tìm GTLN của P = - 4x2 + 12xy – 9y2 - 4x + 6y + 8.
HD: Giải theo tam thức bậc hai a < 0, D < 0.
(BT) Chứng minh rằng 3x2 + 4xy + 2b2 + 2a + 3b + ≥ 0.
HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, D < 0.
(BT) Cho a,b,c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng. .
HD: Giả sử a = Max {a,b,c }. Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với bằng cách áp dụng .
(BT) Cho a,b,c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng. 
HD: Giả sử a = Max {a,b,c }. Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với 1 ≤ a ≤ 2 bằng cách VT ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc(b + c).
(BT) Cho a,b,c thoả mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 3 và a + b + c = 6. Chứng minh rằng. a2 + b2 + c2 ≤ 14.
HD: Giả sử a = Max {a,b,c }. Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với 2 ≤ a ≤ 3 bằng cách VT ≤ a2 + b2 + c2 + 2(b – 1)(c – 1).
(BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 + xy + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của P = x2 – 2xy + 3y2.
HD: C1: Đặt t = xét tỷ số P/ 2 = ?. 
C2: Tìm gt của m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = 2 và x2 – 2xy + 3y2 = m.
(BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của P = xy + y2.
HD: C1: Đặt t = xét tỷ số P/ 1 = ?. 
C2: Tìm gt của m để hệ phương trình có nghiệm.x2 - xy + y2 = 1 và xy + y2 = m.
 Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm GTNN 
HD: Áp dụng BĐT Cauchy ≥ ?
Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d ≤ 4. Chứng minh rằng