Bộ đề thi thử Đại học, cao đẳng môn Toán - Đề số 2

Trần Sĩ Tùng 
Trung tâm BDVH & LTĐH 
THÀNH ĐẠT 
Đề số 2 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x x x3 2
1 83
3 3
= - - + (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ). 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: x x2
1(1 4sin )sin3
2
- = 
 2) Giải phương trình: x x x x2 2 23 1 tan 1
6
p
- + = - + + 
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
+ -ò 
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 060 . Gọi M là điểm đối 
xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của 
hai phần đó. 
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y z2 2 2 1+ + = . Chứng minh: 
 P = 
x y z
y z z x x y2 2 2 2 2 2
3 3
2
+ + ³
+ + +
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 9- + + = và đường thẳng d: 
x y m 0+ + = . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới 
đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm). 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 
x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . 
Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( )
n
x2 2+ , biết: 
 n n nA C C
3 2 18 49- + = (n Î N, n > 3). 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có phương trình: 
 (C1): x y2 2( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2( 5) ( 4) 32+ + - = 
 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: 
x y z2
1 2 2
-
= = và mặt phẳng (P): 
x y z 5 0- + - = . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D 
một góc 045 . 
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y xy
x y x y
2 2 2
2
lg lg lg ( )
lg ( ) lg .lg 0
ìï = +
í
- + =ïî
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m. 
 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x x m3 2
1 83
3 3
- - + = Û x x x m3 23 9 8 3 0- - + - = (1) 
 Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A, 
B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x x x x2 21 2( )( ) 0- - = Û x x x x x x x
3 2 2 2
2 1 1 2 0- - + = (2) 
 Đồng nhất (1) và (2) ta được: 
x
x
x x m
2
2
1
2
1 2
3
9
8 3
ì =
ï
=í
ï = -î
 Û 
x
x
m
1
2
3
3
19
3
ì = ±
ïï =
í
ï = -
ïî
. Kết luận: d: y
19
3
= - . 
Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: 
 PT Û x x x x32sin3 (4 cos 3cos ) cos- = Û x x x2sin3 .cos3 cos= Û x xsin 6 sin
2
pæ ö
= -ç ÷
è ø
 Û 
k k
x x
2 2
14 7 10 5
p p p p
= + Ú = + 
 2) PT Û x x x x2 4 2
33 1 1
3
- + = - + + (1) 
 Chú ý: x x x x x x4 2 2 21 ( 1)( 1)+ + = + + - + , x x x x x x2 2 23 1 2( 1) ( 1)- + = - + - + + 
 Do đó: (1) Û x x x x x x x x2 2 2 2
32( 1) ( 1) ( 1)( 1)
3
- + - + + = - + + - + . 
 Chia 2 vế cho ( )x x x x
2
2 21 1+ + = + + và đặt x xt t
x x
2
2
1, 0
1
- +
= >
+ +
 Ta được: (1) Û t t2
32 1 0
3
+ - = Û 
t
t
3 0
2 3
1
3
é -
= <ê
ê
ê =êë
 Û 
x x
x x
2
2
1 1
31
- +
=
+ +
 Û x 1= . 
Câu III: I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
+ -ò = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ò + x x dx
2
2 2
2
4
-
-ò = A + B. 
 · Tính A = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ò . Đặt t x= - . Tính được: A = 0. 
 · Tính B = x x dx
2
2 2
2
4
-
-ò . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2p . 
Câu IV: Gọi P = MN Ç SD, Q = BM Ç AD Þ P là trọng tâm DSCM, Q là trung điểm của MB. 
 · MDPQ
MCNB
V MD MP MQ
V MC MN MB
1 2 1 1. . . .
2 3 2 6
= = = Þ DPQCNB MCNBV V
5
6
= 
 · Vì D là trung điểm của MC nên d M CNB d D CNB( ,( )) 2 ( ,( ))= Þ MCNB DCNB DCSB S ABCDV V V V .
12
2
= = = 
 Þ DPQCNB S ABCDV V .
5
12
= Þ SABNPQ S ABCDV V .
7
12
= Þ SABNPQ
DPQCNB
V
V
7
5
= . 
Câu V: Từ giả thiết x y z2 2 2 1+ + = Þ x y z0 , , 1< < . 
 · Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương: x x x2 2 22 ,1 .1- - ta được: 
Trần Sĩ Tùng 
x x x
x x
2 2 2
2 2 232 (1 ) (1 ) 2 (1 )
3
+ - + -
³ - Û x x2 2 23
22 (1 )
3
- £ 
 Û x x2
2(1 )
3 3
- £ Û 
x
x
x
2
2
3 3
21
³
-
 Û 
x
x
y z
2
2 2
3 3
2
³
+
 (1) 
 · Tương tự ta có: 
y
y
z x
2
2 2
3 3
2
³
+
 (2), 
z
z
x y
2
2 2
3 3
2
³
+
 (3) 
 · Từ (1), (2), (3) Þ 
x y z
x y z
y z z x x y
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3( )
2 2
+ + ³ + + =
+ + +
 Dấu "=" xảy ra Û x y z
3
3
= = = . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh 
bằng 3 Þ IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m) Î d. 
 IA2 18= Û x m x2 2( 1) ( 2) 18- + - - + = Û x m x m m2 22 2(3 ) 4 13 0- - + - - = (1) 
 Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = m m2 2 35 0- + + = Û m
m
7
5
é =
ê = -ë
. 
 2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0+ + = (với A B C2 2 2 0+ + ¹ ). 
 · Vì (P) ^ (Q) nên: A B C1. 1. 1. 0+ + = Û C A B= - - (1) 
 · d M P( ,( )) 2= Û A B C
A B C2 2 2
2 2+ - =
+ +
 Û A B C A B C2 2 2 2( 2 ) 2( )+ - = + + (2) 
 Từ (1) và (2) ta được: AB B28 5 0+ = Û B
A B
0 (3)
8 5 0 (4)
é =
ê + =ë
 · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z 0- = 
 · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x y z5 8 3 0- + = . 
Câu VII.a: Ta có: n n nA C C
3 2 18 49- + = Û n nn n n n8 ( 1)( 1)( 2) 49
2
-
- - - + = Û n n n3 27 7 49 0- + - = Û n 7= . 
 n k k k
k
x x C x
7
2 2 7 2(7 )
7
0
( 2) ( 2) 2-
=
+ = + = å . Số hạng chứa x8 Û k2(7 ) 8- = Û k = 3. 
 Þ Hệ số của x8 là: C3 37 .2 280= . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). 
 Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 
 Û a a a a2 2 2 2( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 
 Þ Phương trình (C): x y2 2( 1) 2+ + = . 
 2) Gọi d Pu u n, ,D
r r r lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử du a b c a b c
2 2 2( ; ; ) ( 0)= + + ¹r . 
 · Vì d Ì (P) nên d Pu n^
r r Þ a b c 0- + = Û b a c= + (1) 
 · ·( )d 0, 45D = Û a b c
a b c2 2 2
2 2 2
23
+ +
=
+ +
 Û a b c a b c2 2 2 22( 2 ) 9( )+ + = + + (2) 
 Từ (1) và (2) ta được: c ac214 30 0+ = Û c
a c
0
15 7 0
é =
ê + =ë
 · Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x t y t z3 ; 1 ; 1= + = - - = 
 · Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: {x t y t z t3 7 ; 1 8 ; 1 15= + = - - = - . 
Trần Sĩ Tùng 
Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0. 
 Hệ PT Û x y x y
x y x y
2 2 2
2
lg lg (lg lg )
lg ( ) lg .lg 0
ìï = + +
í
- + =ïî
 Û 
y x y
x y x y2
lg (lg lg ) 0
lg ( ) lg .lg 0
ì + =
í
- + =î
 Û 
y
x y2
lg 0 (1)
lg ( ) 0
ì =
í
- =î
 hoặc 
x y
x y x y2
lg lg 0
lg ( ) lg .lg 0
ì + =
í
- + =î
 (2) 
 · (1) Û y
x y
1
1
ì =
í - =î
 Û x
y
2
1
ì =
í =î
. 
 · (2) Û 
y
x
x x
x x
2
1
1 1lg lg .lg 0
ì
=ïï
í æ öï - + =ç ÷ï è øî
 Û 
y
x
x x
x
2
2 2
1
1lg lg
ì
=ïï
í æ ö-ï =ç ÷
ï è øî
 Û y x
x2
1
2
ì
=ï
í
ï =î
 Û 
x
y
2
1
2
ì =ï
í =ïî
 Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và 
12;
2
æ ö
ç ÷
è ø
. 
=====================