I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m2x+1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
Trần Sĩ Tùng TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 17 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x mx m x3 2 22 9 12 1= + + + (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: CÑ CTx x 2 = . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: x x x21 1 4 3+ + = + 2) Giải hệ phương trình: x x55cos 2 4sin – 9 3 6 p pæ ö æ ö + = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: x x x f x x 2 3 2 ln( 1)( ) 1 + + = + Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 6 23a . Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: a b b a a b2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2 æ ö æ ö æ öæ ö + + + + ³ + +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè ø II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 – 3 0+ = , d x y2 : 3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): 2 2 1 3 2 x y z- + = = và mặt phẳng (P): x y z2 1 0+ - + = . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P). Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( )d : 2 1 2 0x my+ + - = và đường tròn có phương trình 2 2( ) : 2 4 4 0+ - + - =C x y x y . Gọi I là tâm đường tròn ( )C . Tìm m sao cho ( )d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m n 1+ = và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( ) x x x xx 1 2 24 – 2.2 – 3 .log – 3 4 4 + > - ============================ Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) y x mx m x mx m2 2 2 26 18 12 6( 3 2 )¢ = + + = + + Hàm số có CĐ và CT Û y 0¢ = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, Û D = m 2 > 0 Û m 0¹ Khi đó: ( ) ( )x m m x m m1 2 1 13 , 3 2 2 = - - = - + . Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy ra CÑ CTx x x x1 2,= = Do đó: CÑ CTx x 2 = Û m m m m 2 3 3 2 2 æ ö- - - + =ç ÷ è ø Û m 2= - Câu II: 1) Điều kiện x 0³ . PT Û x x x24 1 3 1 0- + - + = Û xx x x x 2 1(2 1)(2 1) 0 3 1 - + - + = + + Û x x x x 1(2 1) 2 1 0 3 1 æ ö - + + =ç ÷ + +è ø Û x2 1 0- = Û x 1 2 = . 2) PT Û x x210sin 4sin 14 0 6 6 p pæ ö æ ö + + + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û xsin 1 6 pæ ö + =ç ÷ è ø Û x k2 3 p p= + . Câu III: Ta có: x x x x x x x x f x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1) ( 1) ln( 1)( ) 1 1 1 1 + + - + = + = + - + + + + Þ F x f x dx x d x xdx d x2 2 2 1 1( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1) 2 2 = = + + + - +ò ò ò ò = x x x C2 2 2 2 1 1 1ln ( 1) ln( 1) 4 2 2 + + - + + . Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD ^ (SAC). Gọi O là tâm của đáy ABCD. Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS. Do đó DASC vuông tại S. Ta có: S ABCD S ABCV V BO SA SC ax AB OA 2 2 . . 1 12 2. . . . 6 3 = = = - = a x a xax a ax 2 2 2 22 1 3 4 6 1 3 + -- = Do đó: S ABCD a aax a xV 3 3 2 2 . 2 1 23 6 6 6 = Û - = Û x a x a 2 é = ê =ë . Câu V: Ta có: a a b a ba b a a b a 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 4 4 æ ö = - + + + ³ + +ç ÷ è ø + + = - + + + + Tương tự: b a a b2 1 2 3 4 + + ³ + + . Ta sẽ chứng minh a b a b 2 1 1 12 (2 2 2 2 æ ö æ öæ ö + + ³ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø (*) Thật vậy, (*) Û a b ab a b ab a b2 2 1 14 4 4 2 ³+ + + + + + + + Û a b 2 0( ) ³- . Dấu "=" xảy ra Û a b 1 2 = = . II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1. Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û t t t t3 4(3 2 ) 5 5 4 3(3 2 ) 2 5 + - + = + - + Û tt 2 4 é êë = = Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49 25 ( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9( 4) ( 5) 25 - + + = . 2) (D) : 2 2 2 3 1 3 2 2 2 x t x y z y t z t = +ì - + ï= = Û =í ï = - +î . (P) có VTPT n (2;1; 1)= -r . Trần Sĩ Tùng Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I t t t(2 ;3 ; 2 2 )+ - + (1 ,3 2, 1 2 )AI t t tÞ = + - - + uur là VTCP của d. Do d song song mặt phẳng (P) . 0AI nÛ = uur r ( )t t AI13 1 0 3 2; 9; 5 3 Û + = Û = - Þ = - - uur . Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 2 1 2 9 5 x y z- - + = = - - . Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= 1 2 3 4 5 6=x a a a a a a . Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm. Vì phải có mặt chữ số 0 và 1 0a ¹ nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách. Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là : 58A . Vậy số các số cần tìm là: 5. 58A = 33.600 (số) 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) ( )C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. (d) cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A, B ( , )Û <d I d R 22 2 1 2 3 2Û - + - < +m m 2 2 21 4 4 18 9 5 4 17 0Û - + Û Îm m m m m m R Ta có: ·1 1 9. sin . 2 2 2 = £ =S IA IB AIB IA IBIAB Vậy: SIAB lớn nhất là 9 2 khi · 090=AIB Û AB = 2 3 2=R Û 3 2( , ) 2 =d I d Û 3 2 21 2 2 2 m m- = + 2 2 216 16 4 36 18 2 16 32 0Û - + = + Û + + =m m m m m 4Û = -m 2) Ta có: ( ;0; 1), (0; ; 1)= - = -SM m SN n uuur uuur Þ VTPT của (SMN) là ( ; ; )=n n m mnr Phương trình mặt phẳng (SMN): 0nx my mnz mn+ + - = Ta có: d(A,(SMN)) 2 2 2 2 n m mn n m m n + - = + + 1 . 1 1 12 21 2 m n mn mnmn m n - - = = = -- + Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. Câu VII.b: BPT Û x x x xx 12(4 2.2 3).log 3 2 4 +- - - > - Û x x x2(4 2.2 3).(log 1) 0- - + > Û x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2.2 3 0 log 1 0 2.2 3 0 log 1 0 éì êí îê êì êí êîë - - > + > - - < + < Û x x x x 2 2 2 3 log 1 2 3 log 1 éì >êí > -îê êì <êí < -êîë Û x x x x 2 2 log 3 1 2 log 3 10 2 éì >ïêíê >ïêî êì <ïêíê < <ïêîë Û x x 2log 3 10 2 é > ê ê < < ë =====================
Tài liệu đính kèm: