Bộ đề thi thử Đại học, cao đẳng môn Toán - Đề số 11

Trần Sĩ Tùng 
Trường THPT Phan Châu Trinh 
ĐÀ NẴNG 
Đề số 11 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN – Khối A 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 3 2
1 2 3 .
3
y x x x= - + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O. 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: 2 sin 2 3sin cos 2
4
x x xpæ ö+ = + +ç ÷
è ø
. 
 2) Giải hệ phương trình: 
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
ì - =ï
í
- = -ïî
Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 2 2 2 2m x x x- + = + có 2 nghiệm phân biệt. 
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó. 
Câu V (1 điểm): Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện ( )2 22 1x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
 nhất của biểu thức: 
4 4
2 1
x yP
xy
+
=
+
. 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: 2.27 18 4.12 3.8x x x x+ = + . 
 2) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2
tan
1 cos
xf x
x
=
+
. 
Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )-I 1; 2;3 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp 
xúc với trục Oy. 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Giải bất phương trình: 4 log3 243xx + > . 
 2) Tìm m để hàm số 
2 1mxy
x
-
= có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất. 
Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) + + =C x y x2 2: 2 0 . Viết phương trình tiếp tuyến 
của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) PTTT D của (C) tại điểm ( )M x y0 0 0; là ( )( )D = - + - + - +y x x x x x x x2 3 20 0 0 0 0 01: 4 3 2 33 
 D qua O 0 00, 3x xÛ = = Þ Các tiếp tuyến cần tìm: 3y x= , 0y = . 
Câu II: 1) PT Û ( )( )sin cos 1 2cos 3 0x x x+ + - = 
 Û 
21sin cos 1 sin 2
4 2 2
x k
x x x
x k
p
pp
p p
é = - +æ ö ê+ = - Û + = - Ûç ÷ êè ø = +ë
. 
 KL: nghiệm PT là 2 ; 2
2
x k x kp p p p= - + = + . 
 2) Ta có: ( )( )3 3 2 2 3 2 2 32 2 2 2 2 5 0x y y x y x x x y xy y- = - - Û + + - = 
 Khi 0y = thì hệ VN. 
 Khi 0y ¹ , chia 2 vế cho 3 0y ¹ ta được: 
3 2
2 2 5 0x x x
y y y
æ ö æ ö æ ö
+ + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Đặt 
xt
y
= , ta có : 3 22 2 5 0 1t t t t+ + - = Û = 2 1, 11
y x
x y x y
y
=ìïÛ Û = = = = -í
=ïî
Câu III: Ta có: 2 2 2 1x x- + ³ nên PT 
2
2
2 2
xm
x x
+
Û =
- +
 Xét 
2
2( )
2 2
xf x
x x
+
=
- +
( )2 2
4 3'( )
2 2 2 2
xf x
x x x x
-
Þ =
- + - +
 ( ) 4 4' 0 ; 10; lim ( ) 1; lim ( ) 1
3 3 x x
f x x f f x f x
®-¥ ®+¥
æ ö= Û = = = - =ç ÷
è ø
 Kết luận: 1 10m< < 
Câu IV: Gọi O là giao điểm AC và BD ( )SO ABCDÞ ^ . Ta có: 
2
2 2 2 2 2
4 2
a aSO SA OA a= - = - = 
 2 3.
1 2
6ABCD S ABCD
S a V a= Þ = 
 Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN. Ta chứng minh I cách đều các mặt 
 của hình chóp 
( )
( )22 2 2 3 1
44 3
SMN
a aS pr r
a a
D
-
= Þ = =
+
Câu V: Đặt t xy= . Ta có: ( )( )xy x y xy xy xy2 11 2 2 4
5
+ = + - ³ - Þ ³ - 
 Và ( )( )xy x y xy xy xy2 11 2 2 4
3
+ = - + ³ Þ £ . 
 Suy ra : 
( )
( )
x y x y t t
P
xy t
22 2 2 2 22 7 2 1
2 1 4 2 1
+ - - + +
= =
+ +
. Điều kiện: t
1 1
5 3
- £ £ . 
 Do đó: 
( )
( )
t t
P
t
2
2
7
'
2 2 1
- -
=
+
, t thoaûP
t loaïi
0 ( )' 0
1 ( )
é == Û ê = -ë
 P P
1 1 2
5 3 15
æ ö æ ö
- = =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 và ( )P 10
4
= . 
Trần Sĩ Tùng 
 Kết luận: Max P = 
1
4
 và Min P = 
2
15
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) PT 3 2 2 32.3 2 .3 4.2 3 3.2x x x x x xÛ + = + 
3 23 3 32 4 3 0
2 2 2
x x x
æ ö æ ö æ öÛ + - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Û 1x = 
 2) Ta có: ( )2 2
cos sin
cos 1 cos
x xI dx
x x
=
+ò
. Đặt 2cos 2cos sint x dt x xdx= Þ = - 
 Suy ra : 
( )
1 1 1 1 1 1ln
2 1 2 1 2
dt tI dt C
t t t t t
+æ ö= - = - = +ç ÷+ +è øò ò = 
2
2
1 1 cosln
2 cos
x C
x
æ ö+
= +ç ÷
è ø
Câu VII.a: Gọi M là hình chiếu của ( )-I 1; 2;3 lên Oy, ta có: ( )0; 2;0M - . 
 ( )1;0; 3 10IM R IM= - - Þ = =
uuur
 là bán kính mặt cầu cần tìm. 
 Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 10x y z- + + + - = . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Điều kiện : x > 0 . BPT ( )3 34 log log 5x xÛ + > 
 Đặt 3logt x= . Ta có: 
2 4 5 0 5t t t+ - > Û < - hoặc 1 t< Û 10
243
x . 
 2) Ta có: 
2
2
1' mxy
x
+
= . Hàm số có 2 cực trị ' 0yÛ = có 2 nghiệm phân biệt, khác 0 0mÛ < 
 Khi đó các điểm cực trị là: 
( ) ( )
21 1 4;2 , ; 2 16A m B m AB m
mm m
æ ö æ ö- - - - Þ = + -ç ÷ ç ÷ -- -è ø è ø
( ) ( )
2 42 .16 16AB m
m
³ - =
-
. Dấu "=" xảy ra Û
1
2
m = - . Kết luận: 1
2
m = - . 
Câu VII.b: ( ) ( ) ( )2 2: 1 1 1;0 ; 1C x y I R+ + = Þ - = . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là 3± . 
 Þ PT (D) có dạng ( )1 : 3 0x y bD - + = hoặc ( )2 : 3 0x y bD + + = 
 · ( )1 : 3 0x y bD - + = tiếp xúc (C) ( )1,d I RÛ D = 
3
1 2 3
2
b
b
-
Û = Û = ± + . 
 Kết luận: ( )1 : 3 2 3 0x yD - ± + = 
 · ( )2 : 3 0x y bD + + = tiếp xúc (C) ( )2,d I RÛ D =
3
1 2 3
2
b
b
-
Û = Û = ± + . 
 Kết luận: ( )2 : 3 2 3 0x yD + ± + = . 
=====================