Bất đẳng thức liên quan đến mũ và logarit (phần 1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT
Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit
Ví dụ 1 : So sánh : 
Giải : 
Ta có => 
Ví dụ 2 : So sánh : log34 , log1011
Giải : 
Ta có log34 = log916> log911= 
 Mà log1110>log119>0=> 
Nên log34> log1011
Ví dụ 3: So sánh : log316, log16729
Giải : Ta có log316.log16729=log3729=6
 Mặt khác 
=>Suy ra 
Khi đó : , => log316> log16729
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2a+b.2b+c.2c )(a+b+c)( 2a+2b+2c), a,b,c
Giải : 
Ta có hàm số y=2x đồng biến trên R 
Khi đó : (2a-2b)(a-b) 0=> a.2a+b.2b a.2b+b.2a , a,b
 (2b-2c)(b-c) 0=> b.2b+c.2c b.2c+c.2b , b,c
 (2c-2a)(c-a) 0=> c.2c+a.2a c.2a+a.2c , c,a
2(a.2a+b.2b+c.2c )(a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)
3(a.2a+b.2b+c.2c )(a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)+ (a.2a+b.2b+c.2c)
3(a.2a+b.2b+c.2c ) (a+b+c)(2a+2b+2c) (đpcm)
Ví dụ 5 : Chứng ming rằng : ,a,b,c>0
Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo)
Ta có (lna-lnb)(a-b) 0=> a.lna+b.lnb a.lnb+b.lna , a,b>0
 (lnb-lnc)(b-c) 0=> b.lnb+c.lnc b.lnc+c.lnb , b,c>0
 (lnc-lna)(c-a) 0=> c.lnc+a.lna c.lna+a.lnc , c,a>0
2(a.lna+b.lnb+c.lnc )(a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)
3(a.lna+b.lnb+c.lnc )(a+b+c)(lna+lnb+lnc)
3lnaabbcclnabca+b+c 
 (đpcm)
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng : , với mọi a>0
Giải : 
Ta có : , 
Nên 
 (đpcm)
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : 
Giải : 
Đặt : A=logab => b=Aa>A>1
Ta có 
=> 
=> A>
=> (đpcm)
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : 
Giải : 
Đặt A= logb+ca => (b+c)A = a> 
Mà 1 22A> => 2A>=> A>
logb+ca >
Tương tự : logc+ab >, logb+ac >
Suy ra : ( đpcm)
Ví dụ 9 : Chứng minh rằng : 
Giải : 
Ta có : 
=> 
Khi đó : 
Mặt khác : logab,logbc,logca>0 => 
=> (đpcm)
Dầu bằng xảy ra ó a=b=c=1/2